Abels yig'indisi formulasi - Abels summation formula

Yilda matematika, Abelning yig'indisi formulasitomonidan kiritilgan Nil Henrik Abel, intensiv ravishda ishlatiladi sonlar nazariyasi va o'rganish maxsus funktsiyalar hisoblash seriyali.

Formula

Ruxsat bering bo'lishi a ketma-ketlik ning haqiqiy yoki murakkab sonlar. Qisman summa funktsiyasini aniqlang tomonidan

har qanday haqiqiy raqam uchun . Haqiqiy raqamlarni aniqlang va ruxsat bering bo'lishi a doimiy ravishda farqlanadigan funktsiya kuni . Keyin:

Formulani qo'llash orqali olinadi qismlar bo'yicha integratsiya a Riemann-Stieltjes integral funktsiyalarga va .

O'zgarishlar

Chap so'nggi nuqtani bo'lish formulasini beradi

Agar ketma-ketlik bo'lsa dan boshlab indekslanadi , keyin biz rasmiy ravishda belgilashimiz mumkin . Oldingi formula bo'ladi

Abelning yig'indisi formulasini qo'llashning keng tarqalgan usuli bu formulalardan birining chegarasini quyidagicha olishdir . Olingan formulalar

Ushbu tenglamalar o'ng tomonning ikkala chegarasi mavjud bo'lganda va cheklangan bo'lganda amalga oshiriladi.

Ayniqsa, foydali holat - bu ketma-ketlik Barcha uchun . Ushbu holatda, . Ushbu ketma-ketlik uchun Abelning yig'indisi formulasi soddalashtiriladi

Xuddi shunday, ketma-ketlik uchun va Barcha uchun , formula bo'ladi

Sifatida cheklashdan keyin , biz topamiz

ikkala atama ham o'ng tomonda ham mavjudligini taxmin qiladi.

Abelning yig'indisi formulasini qaerda bo'lgan holatga umumlashtirish mumkin faqat integral integral sifatida talqin qilingan taqdirda uzluksiz deb qabul qilinadi Riemann-Stieltjes integral:

Qabul qilish orqali ba'zi bir ketma-ketlik bilan bog'liq bo'lgan qisman yig'indisi funktsiyasi bo'lishiga olib keladi qismlar bo'yicha summa formula.

Misollar

Harmonik raqamlar

Agar uchun va keyin va formuladan hosil bo'ladi

Chap tomon - bu harmonik raqam .

Riemannning zeta funktsiyasini aks ettirish

Murakkab raqamni aniqlang . Agar uchun va keyin va formula bo'ladi

Agar , keyin chegara sifatida mavjud va formulani beradi

Bu Dirichlet teoremasini chiqarish uchun ishlatilishi mumkin oddiyga ega qutb bilan qoldiq 1 da s = 1.

Riemann zeta funktsiyasining o'zaro aloqasi

Oldingi misolning texnikasi boshqalarga ham qo'llanilishi mumkin Dirichlet seriyasi. Agar bo'ladi Mobius funktsiyasi va , keyin bu Mertens funktsiyasi va

Ushbu formula uchun amal qiladi .

Shuningdek qarang

Adabiyotlar

  • Havoriy, Tom (1976), Analitik sonlar nazariyasiga kirish, Matematikadan bakalavriat matnlari, Springer-Verlag.