Affin Grassmannian (ko'p qirrali) - Affine Grassmannian (manifold)

Yilda matematika, atamaning ikkita aniq ma'nosi mavjud affin Grassmannian. Bittasida bu barchaning ko'p qirrali qismidir k- o'lchovli affin subspaces ning Rⁿ (ushbu sahifada tasvirlangan), boshqasida esa affin Grassmannian rasmiy Loran seriyasiga asoslangan guruh-ringning qismidir.

Rasmiy ta'rif

Sonli o'lchovli berilgan vektor maydoni V va manfiy bo'lmagan butun son k, keyin Graff_k(V) bo'ladi topologik makon hammasidan afine kning o'lchovli pastki bo'shliqlari V.

Bu tabiiy proektsiyaga ega p: Graff_k(V) → Gr_k(V), the Grassmannian barcha chiziqli kning o'lchovli pastki bo'shliqlari V belgilash orqali p(U) ning tarjimasi bo'lish U kelib chiqishi orqali pastki bo'shliqqa. Ushbu proektsiya fibratsiyadir va agar V tarkibida tola bo'lgan ichki mahsulot beriladi U bilan aniqlanishi mumkin ${ displaystyle p (U) ^ { perp}}$, ortogonal to‘ldiruvchi p(UShuning uchun tolalar - bu vektor bo'shliqlari va proektsiyasi p a vektor to'plami ustidan Grassmannian, bu belgilaydigan ko'p qirrali Graffdagi tuzilish_k(V).

Kabi bir hil bo'shliq, Affin Grassmannian n- o'lchovli vektor maydoni V bilan aniqlanishi mumkin

${ displaystyle mathrm {Graff} _ {k} (V) simeq { frac {E (n)} {E (k) times O (n-k)}}})$

qayerda E(n) bo'ladi Evklid guruhi ning Rⁿ va O (m) bo'ladi ortogonal guruh kuni R^m. Shundan kelib chiqadiki, o'lchov tomonidan berilgan

${ displaystyle dim left [ mathrm {Graff} _ {k} (V) right] = (n-k) (k + 1) ,.}$

(Ushbu aloqani keyingi qismni aniqlashdan osonroq topish mumkin, chunki koeffitsientlar soni o'rtasidagi farq, (n−k)(n+1) va tenglamalarga ta'sir qiladigan chiziqli guruhning kattaligi, (n−k)².)

Oddiy Grassmannian bilan munosabatlar

Ruxsat bering (x₁,…,x_n) odatdagi chiziqli koordinatalar bo'lishi kerak Rⁿ. Keyin Rⁿ ichiga joylashtirilgan Rⁿ⁺¹ affin giperplanasi sifatida x_n+1 = 1. The kning o'lchovli affinali subspaces Rⁿ bilan birma-bir yozishmalarda (k+1) ning o'lchovli chiziqli pastki bo'shliqlari Rⁿ⁺¹ samolyotga nisbatan umumiy holatidadir x_n+1 = 1. Darhaqiqat, a kning o'lchovli affinali subspace Rⁿ darajadagi echimlarning joylashuvi n − k afinaviy tenglamalar tizimi

${ displaystyle { begin {aligned} a_ {11} x_ {1} + cdots + a_ {1n} x_ {n} & = a_ {1, n + 1} & vdots & a_ {nk , 1} x_ {1} + cdots + a_ {nk, n} x_ {n} & = a_ {nk, n + 1}. End {hizalangan}}}$

Bular martabani belgilaydilar n−k tizimi chiziqli tenglamalar Rⁿ⁺¹

${ displaystyle { begin {aligned} a_ {11} x_ {1} + cdots + a_ {1n} x_ {n} & = a_ {1, n + 1} x_ {n + 1} & vdots & a_ {nk, 1} x_ {1} + cdots + a_ {nk, n} x_ {n} & = a_ {nk, n + 1} x_ {n + 1}. end {hizalangan}} }$

uning echimi a (k + 1) -soxtalashgan samolyot x_n+1 = 1, asl nusxasi k- samolyot.

Ushbu identifikatsiya tufayli Graff (k,n) a Zariski ochiq to'plami Grda (k + 1, n + 1).

Adabiyotlar

• Klayn, Daniel A.; Rota, Jan-Karlo (1997), Geometrik ehtimollikka kirish, Kembrij: Kembrij universiteti matbuoti