Deyarli davriy funktsiya - Almost periodic function

Yilda matematika, an deyarli davriy funktsiya erkin so'z bilan aytganda, haqiqiy sonning funktsiyasi davriy Uzoq va yaxshi taqsimlangan "deyarli davrlar" berilgan istalgan aniqlik darajasida. Kontseptsiya birinchi tomonidan o'rganilgan Xarald Bor va keyinchalik tomonidan umumlashtirildi Vyacheslav Stepanov, Hermann Veyl va Abram Samoylovich Besicovich boshqalar qatorida. Shuningdek, deyarli davriy funktsiyalar tushunchasi mavjud mahalliy ixcham abeliya guruhlari, birinchi tomonidan o'rganilgan Jon fon Neyman.

Deyarli davriylik ning mulki hisoblanadi dinamik tizimlar ularning yo'llarini orqaga qaytarish kabi ko'rinadi fazaviy bo'shliq, lekin aniq emas. Bunga misol bo'lishi mumkin sayyora tizimi, bilan sayyoralar yilda orbitalar bilan harakat qilish davrlar bunday emas mutanosib (ya'ni, bunday bo'lmagan vektor bilan mutanosib a vektor ning butun sonlar ). A Kroneker teoremasi dan diofantin yaqinlashishi bir marta sodir bo'ladigan har qanday aniq konfiguratsiya har qanday aniqlikda takrorlanishini ko'rsatish uchun ishlatilishi mumkin: agar biz uzoq kutib tursak, sayyoralarning hammasi qaytib kelishini kuzatishimiz mumkin yoyning ikkinchi qismi ular ilgari bo'lgan lavozimlarga.

Motivatsiya

Deyarli davriy funktsiyalarning bir nechta tengsiz ta'riflari mavjud. Birinchisi tomonidan berilgan Xarald Bor. Dastlab uning qiziqishi cheklangan edi Dirichlet seriyasi. Aslida uchun ketma-ketlikni qisqartirish orqali Riemann zeta funktsiyasi ζ(s) uni chekli qilish uchun, bitta turdagi sonli yig'indilar olinadi

{ displaystyle e ^ {( sigma + it) log n} ,}

bilan s deb yozilgan (σ + u) - uning haqiqiy qismi yig'indisi σ va xayoliy qism u. Tuzatish σ, shuning uchun murakkab tekislikdagi bitta vertikal chiziqqa e'tiborni cheklash, biz buni quyidagicha ko'rishimiz mumkin

{ displaystyle n ^ { sigma} e ^ {( log n) it}. ,}

Qabul qilish cheklangan bunday atamalarning yig'indisi qiyinchiliklarga yo'l qo'ymaydi analitik davomi region <1. mintaqaga "chastotalar" jurnalin barchasi mutanosib bo'lmaydi (ular butun sonlar singari ratsional sonlar bo'yicha chiziqli ravishda mustaqil n multiplikativ jihatdan mustaqil - bu ularning asosiy faktorizatsiyasiga to'g'ri keladi).

Ushbu turtki bilan turlarini ko'rib chiqish trigonometrik polinom mustaqil chastotalar bilan, matematik tahlil ushbu asosiy funktsiyalar to'plamining yopilishini muhokama qilish uchun qo'llanilgan normalar.

Nazariya tomonidan boshqa me'yorlar yordamida ishlab chiqilgan Besicovich, Stepanov, Veyl, fon Neyman, Turing, Bochner 1920-1930 yillarda va boshqalar.

Uniform yoki Bohr yoki Bochner deyarli davriy funktsiyalar

Bor (1925) belgilangan bir xil deyarli davriy funktsiyalar ga nisbatan trigonometrik polinomlarning yopilishi sifatida yagona norma

{ displaystyle | f | _ { infty} = sup _ {x} | f (x) |}

(cheklangan funktsiyalar bo'yicha f kuni R). Boshqacha qilib aytganda, funktsiya f har bir kishi uchun deyarli bir xil davriydir ε > 0 masofa kamroq bo'lgan sinus va kosinus to'lqinlarining cheklangan chiziqli birikmasi mavjud ε dan f yagona me'yorga nisbatan. Bor bu ta'rif a mavjudligiga teng ekanligini isbotladi nisbatan zich to'plam ning ε deyarli davrlar, Barcha uchun ε > 0: ya'ni, tarjimalar T(ε) = T o'zgaruvchining t qilish

{ displaystyle left | f (t + T) -f (t) right | < varepsilon.}

Bochner (1926) ga tegishli bo'lgan muqobil ta'rif Borning ta'rifiga teng va bayon qilish nisbatan sodda:

Funktsiya f har birida deyarli davriydir ketma-ketlik {ƒ(t + T_n) ning tarjimalari f bor keyingi bu bir xilda birlashadi uchun t ichida (−∞, + ∞).

Bor deyarli davriy funktsiyalari mohiyati bo'yicha doimiy funktsiyalar bilan bir xil Borni ixchamlashtirish reallarning.

Stepanov deyarli davriy funktsiyalar

Bo'sh joy S^p Stepanovning deyarli davriy funktsiyalari (uchun p ≥ 1) V.V. tomonidan kiritilgan. Stepanov (1925). U Borning deyarli davriy funktsiyalar maydonini o'z ichiga oladi. Bu trigonometrik polinomlarning normaga muvofiq yopilishi

{ displaystyle | f | _ {S, r, p} = sup _ {x} left ({1 over r} int _ {x} ^ {x + r} | f (s) | ^ {p} , ds right) ^ {1 / p}}

ning har qanday sobit ijobiy qiymati uchun r; ning turli xil qiymatlari uchun r bu me'yorlar bir xil topologiyani va shuning uchun deyarli davriy funktsiyalarning bir xil maydonini beradi (garchi bu bo'shliqdagi norma tanlovga bog'liq bo'lsar).

Weyl deyarli davriy funktsiyalar

Bo'sh joy V^p Veylning deyarli davriy funktsiyalari (uchun p ≥ 1) tomonidan kiritilgan Veyl (1927). U bo'sh joyni o'z ichiga oladi S^p Stepanovning deyarli davriy funktsiyalari. Bu seminorm ostida trigonometrik polinomlarning yopilishi

{ displaystyle | f | _ {W, p} = lim _ {r to infty} | f | _ {S, r, p}}

Ogohlantirish: nolga teng bo'lmagan funktsiyalar mavjud ƒ bilan ||ƒ||_V,p = 0, masalan, ixcham qo'llab-quvvatlashning har qanday cheklangan funktsiyasi, shuning uchun Banach bo'sh joyini olish uchun ushbu funktsiyalarni ajratib ko'rsatish kerak.

Besicovich deyarli davriy funktsiyalar

Bo'sh joy B^p Besicovichning deyarli davriy funktsiyalari tomonidan kiritilgan Besicovich (1926).Bu seminar-seminar doirasida trigonometrik polinomlarning yopilishi

{ displaystyle | f | _ {B, p} = limsup _ {x to infty} left ({1 over 2x} int _ {- x} ^ {x} | f (s) | ^ {p} , ds o'ng) ^ {1 / p}}

Ogohlantirish: nolga teng bo'lmagan funktsiyalar mavjud ƒ bilan ||ƒ||_B,p = 0, masalan, ixcham qo'llab-quvvatlashning har qanday cheklangan funktsiyasi, shuning uchun Banach bo'sh joyini olish uchun ushbu funktsiyalarni ajratib ko'rsatish kerak.

Besicovich deyarli vaqti-vaqti bilan ishlaydi B² sifatida kengayishga ega (shart emas)

{ displaystyle sum a_ {n} e ^ {i lambda _ {n} t}}

Σ bilana²
_n cheklangan va λ_n haqiqiy. Aksincha, har bir bunday seriyali Besicovitch davriy funktsiyasining kengayishi (bu noyob emas).

Bo'sh joy B^p Besicovichning deyarli davriy funktsiyalari (uchun p ≥ 1) bo'sh joyni o'z ichiga oladi V^p Veylning deyarli davriy funktsiyalari. Agar bitta "bo'sh" funktsiyalar subspace-ni taklif qilsa, uni bo'shliq bilan aniqlash mumkin L^p Borni ixchamlashtirish funktsiyalari.

Mahalliy ixcham abeliya guruhida deyarli davriy funktsiyalar

Ushbu nazariy o'zgarishlar va mavhum usullarning paydo bo'lishi bilan ( Piter-Veyl teoremasi, Pontryagin ikkilik va Banach algebralari ) umumiy nazariya mumkin bo'ldi. A ga nisbatan deyarli davriylikning umumiy g'oyasi mahalliy ixcham abeliya guruhi G funktsiyaga aylanadi F yilda L^∞(G), shunday qilib uni tarjima qiladi G shakl nisbatan ixcham Ekvivalent ravishda deyarli davriy funktsiyalar maydoni - bu belgilarning cheklangan chiziqli birikmalarining normal yopilishi.G. Agar G ixcham deyarli davriy funktsiyalar doimiy funktsiyalar bilan bir xil.

The Borni ixchamlashtirish ning G ning er-xotin guruhining barcha ehtimol uzilish belgilarining ixcham abeliya guruhidir Gva o'z ichiga olgan ixcham guruhdir G zich kichik guruh sifatida. Bir xil deyarli davriy funktsiyalar maydoni G Bor kompaktifikatsiyasi bo'yicha barcha doimiy funktsiyalar maydoni bilan aniqlanishi mumkinG. Odatda Borni ixchamlashtirishni har qanday topologik guruh uchun aniqlash mumkinGva uzluksiz yoki L^p Borni ixchamlashtirishdagi funktsiyalar deyarli davriy funktsiyalar sifatida qaralishi mumkinG.Mahalliy ixcham bog'langan guruhlar uchun G dan xarita G Borni ixchamlashtirish, agar shunday bo'lsa, in'ektsion hisoblanadi G ixcham guruhning markaziy kengaytmasi yoki ekvivalent ravishda ixcham guruh va cheklangan o'lchovli vektor makonining hosilasi.

Ovoz va musiqa sintezidagi kvaziperiodik signallar

Yilda nutqni qayta ishlash, audio signalni qayta ishlash va musiqa sintezi, a kvaziperiodik ba'zan a deb nomlangan signal kvazigarmoniya signal, a to'lqin shakli bu deyarli davriy mikroskopik, ammo shartli ravishda makroskopik emas. Bu a bermaydi kvaziperiodik funktsiya Vikipediyaning ushbu nomdagi maqolasi ma'nosida, ammo deyarli davriy funktsiyaga o'xshashroq narsa, deyarli har qanday davri uning qo'shni davrlari bilan deyarli bir xil bo'lgan, ammo vaqt o'tishi bilan ancha uzoqroq bo'lgan davrlarga o'xshash bo'lishi shart emas. Bu musiqiy ohanglarga tegishli (dastlabki hujum o'tkinchi vaqtdan keyin) qisman yoki overtones bor harmonik (ya'ni barcha overtonlar a ning butun soniga teng bo'lgan chastotalarda asosiy chastota ohang).

Qachon signal ${ displaystyle x (t) }$ bu to'liq davriy davr bilan ${ displaystyle P }$ , keyin signal to'liq qondiradi

{ displaystyle x (t) = x (t + P) qquad forall t in mathbb {R}}

yoki

{ displaystyle { Big |} x (t) -x (t + P) { Big |} = 0 qquad forall t in mathbb {R}. }

The Fourier seriyasi vakillik bo'lar edi

{ displaystyle x (t) = a_ {0} + sum _ {n = 1} ^ { infty} { big [} a_ {n} cos (2 pi nf_ {0} t) -b_ { n} sin (2 pi nf_ {0} t) { big]}}

yoki

{ displaystyle x (t) = a_ {0} + sum _ {n = 1} ^ { infty} r_ {n} cos (2 pi nf_ {0} t + varphi _ {n})}

qayerda ${ displaystyle f_ {0} = { frac {1} {P}}}$ asosiy chastota va Furye koeffitsientlari

{ displaystyle a_ {0} = { frac {1} {P}} int _ {t_ {0}} ^ {t_ {0} + P} x (t) , dt }

{ displaystyle a_ {n} = r_ {n} cos chap ( varphi _ {n} o'ng) = { frac {2} {P}} int _ {t_ {0}} ^ {t_ { 0} + P} x (t) cos (2 pi nf_ {0} t) , dt qquad n geq 1}

{ displaystyle b_ {n} = r_ {n} sin left ( varphi _ {n} right) = - { frac {2} {P}} int _ {t_ {0}} ^ {t_ {0} + P} x (t) sin (2 pi nf_ {0} t) , dt }

qayerda

{ displaystyle t_ {0} }

har qanday vaqtda bo'lishi mumkin:

{ displaystyle - infty

.

The asosiy chastota ${ displaystyle f_ {0} }$ va Furye koeffitsientlar ${ displaystyle a_ {n} }$ , ${ displaystyle b_ {n} }$ , ${ displaystyle r_ {n} }$ , yoki ${ displaystyle varphi _ {n} }$ , doimiylar, ya'ni ular vaqt funktsiyalari emas. Garmonik chastotalar asosiy chastotaning aniq ko'paytmasi.

Qachon ${ displaystyle x (t) }$ bu kvaziperiodik keyin

{ displaystyle x (t) taxminan x { big (} t + P (t) { big)} }

yoki

{ displaystyle { Big |} x (t) -x { big (} t + P (t) { big)} { Big |} < varepsilon }

qayerda

{ displaystyle 0 < epsilon ll { big Vert} x { big Vert} = { sqrt { overline {x ^ {2}}}} = { sqrt { lim _ { tau ga infty} { frac {1} { tau}} int _ {- tau / 2} ^ { tau / 2} x ^ {2} (t) , dt}}. }

Endi Fourier seriyasining vakili bo'ladi

{ displaystyle x (t) = a_ {0} (t) + sum _ {n = 1} ^ { infty} left [a_ {n} (t) cos left (2 pi n int _ {0} ^ {t} f_ {0} ( tau) , d tau right) -b_ {n} (t) sin left (2 pi n int _ {0} ^ {t} f_ {0} ( tau) , d tau right) right]}

yoki

{ displaystyle x (t) = a_ {0} (t) + sum _ {n = 1} ^ { infty} r_ {n} (t) cos left (2 pi n int _ {0} ^ {t} f_ {0} ( tau) , d tau + varphi _ {n} (t) o'ng)}

yoki

{ displaystyle x (t) = a_ {0} (t) + sum _ {n = 1} ^ { infty} r_ {n} (t) cos left (2 pi int _ {0} ^ {t} f_ {n} ( tau) , d tau + varphi _ {n} (0) o'ng)}

qayerda ${ displaystyle f_ {0} (t) = { frac {1} {P (t)}}}$ ehtimol vaqt o'zgaruvchan asosiy chastota va vaqt o'zgaruvchan Fourier koeffitsientlari

{ displaystyle a_ {0} (t) = { frac {1} {P (t)}} int _ {tP (t) / 2} ^ {t + P (t) / 2} x ( tau) ), d tau }

{ displaystyle a_ {n} (t) = r_ {n} (t) cos { big (} varphi _ {n} (t) { big)} = { frac {2} {P (t) )}} int _ {tP (t) / 2} ^ {t + P (t) / 2} x ( tau) cos { big (} 2 pi nf_ {0} (t) tau {) big)} , d tau qquad n geq 1}

{ displaystyle b_ {n} (t) = r_ {n} (t) sin { big (} varphi _ {n} (t) { big)} = = - { frac {2} {P ( t)}} int _ {tP (t) / 2} ^ {t + P (t) / 2} x ( tau) sin { big (} 2 pi nf_ {0} (t) tau) { big)} , d tau }

va oniy chastota har biriga qisman bu

{ displaystyle f_ {n} (t) = nf_ {0} (t) + { frac {1} {2 pi}} varphi _ {n} ^ { prime} (t). ,}

Holbuki, bu kvaziperiodik holatda asosiy chastota ${ displaystyle f_ {0} (t) }$ , harmonik chastotalar ${ displaystyle f_ {n} (t) }$ va Furye koeffitsientlari ${ displaystyle a_ {n} (t) }$ , ${ displaystyle b_ {n} (t) }$ , ${ displaystyle r_ {n} (t) }$ , yoki ${ displaystyle varphi _ {n} (t) }$ bor emas albatta doimiy va bor vaqt funktsiyalari asta-sekin o'zgarib turadi vaqtning funktsiyalari. Vaqtning bu funktsiyalari turlicha ko'rsatilgan cheklangan uchun asosiy chastotadan ancha kam ${ displaystyle x (t) }$ kvaziperiodik deb qaralishi kerak.

Qisman chastotalar ${ displaystyle f_ {n} (t) }$ deyarli garmonik, ammo bunga mutlaqo to'g'ri kelmaydi. Ning vaqt hosilasi ${ displaystyle varphi _ {n} (t) }$ , anavi ${ displaystyle varphi _ {n} ^ { prime} (t) }$ , qismlarni aniq butun sonli harmonik qiymatidan ajratishga ta'sir qiladi ${ displaystyle nf_ {0} (t) }$ . Tez o'zgaruvchan ${ displaystyle varphi _ {n} (t) }$ bu qism uchun bir lahzali chastotani butun sonli harmonik qiymatdan qattiq ajratilganligini anglatadi, bu degani ${ displaystyle x (t) }$ kvaziperiodik emas.

Shuningdek qarang

Adabiyotlar

Amerio, Luidji; Prouz, Jovanni (1971), Deyarli davriy funktsiyalar va funktsional tenglamalar, Oliy matematika bo'yicha Universitet seriyasi, Nyu-York-Sincinnati-Toronto-London-Melburn: Van Nostran Reynxold vp. viii + 184, ISBN 0-442-20295-4, JANOB 0275061, Zbl 0215.15701.
A.S. Besicovich, "Umumlashtirilgan deyarli davriy funktsiyalar to'g'risida" Proc. London matematikasi. Soc. (2), 25 (1926) 495-512 betlar
A.S. Besicovich, "Deyarli davriy funktsiyalar", Kembrij Univ. Matbuot (1932)
Bochner, S. (1926), "Beitrage zur Theorie der fastperiodischen Funktionen", Matematika. Annalen, 96: 119–147, doi:10.1007 / BF01209156
S. Bochner va J. fon Neyman, "II guruhdagi deyarli davriy funktsiya", Trans. Amer. Matematika. Sok., 37 yo'q. 1 (1935) 21-50 betlar
X. Bor, "Zur Theorie der fastperiodischen Funktionen I" Acta Math., 45 (1925) 29-127 betlar.
X. Bor, "Deyarli davriy funktsiyalar", "Chelsi", qayta nashr etish (1947)
Bredixina, E.A. (2001) [1994], "Deyarli davriy funktsiyalar", Matematika entsiklopediyasi, EMS Press
Bredixina, E.A. (2001) [1994], "Besicovich deyarli vaqti-vaqti bilan ishlaydi", Matematika entsiklopediyasi, EMS Press
Bredixina, E.A. (2001) [1994], "Bor deyarli davriy funktsiyalar", Matematika entsiklopediyasi, EMS Press
Bredixina, E.A. (2001) [1994], "Stepanov deyarli davriy funktsiyalar", Matematika entsiklopediyasi, EMS Press
Bredixina, E.A. (2001) [1994], "Veyl deyarli davriy funktsiyalar", Matematika entsiklopediyasi, EMS Press
J. fon Neyman, "I guruhdagi deyarli davriy funktsiyalar", Trans. Amer. Matematika. Sok., 36 yo'q. 3 (1934) 445-492 betlar
V. Stepanoff (= V.V. Stepanov), "Sur quelques généralisations des fonctions presque périodiques" C. R. Akad. Ilmiy ish. Parij, 181 (1925) 90-92 betlar
V. Stepanoff (= V.V. Stepanov), "Ueber einige Verallgemeinerungen der fastperiodischen Funktionen" Matematik. Ann., 45 (1925) 473-488 betlar
X. Veyl, "Integralgleichungen und fastperiodische Funktionen" matematikasi. Ann., 97 (1927) 338-356 betlar

Tashqi havolalar

"Deyarli davriy funktsiya (ekvivalenti ta'rifi)". PlanetMath.