Yo'q qilish usuli - Annihilator method

Bu maqola emas keltirish har qanday manbalar. Iltimos yordam bering ushbu maqolani yaxshilang tomonidan ishonchli manbalarga iqtiboslarni qo'shish. Manbaga ega bo'lmagan materialga qarshi chiqish mumkin va olib tashlandi. Manbalarni toping: "Yo'q qilish usuli"  – Yangiliklar  · gazetalar  · kitoblar  · olim  · JSTOR (2009 yil dekabr) (Ushbu shablon xabarini qanday va qachon olib tashlashni bilib oling)

Yilda matematika, yo'q qilish usuli bir hil bo'lmagan ayrim turlarga ma'lum echimni topish uchun ishlatiladigan protsedura oddiy differentsial tenglamalar (ODE). Bu o'xshash aniqlanmagan koeffitsientlar usuli, lekin aniq echimni taxmin qilish o'rniga aniqlanmagan koeffitsientlar usuli, ushbu texnikada muayyan echim muntazam ravishda aniqlanadi. Bu ibora aniqlanmagan koeffitsientlar koeffitsientlar hisoblanadigan yo'q qilish usuli bosqichiga murojaat qilish uchun ham foydalanish mumkin.

Annihilator usuli quyidagicha qo'llaniladi. ODE berilgan ${ displaystyle P (D) y = f (x)}$, boshqasini toping differentsial operator ${ displaystyle A (D)}$ shu kabi ${ displaystyle A (D) f (x) = 0}$. Ushbu operatorga yo'q qiluvchi, shu bilan usulga o'z nomini berish. Qo'llash ${ displaystyle A (D)}$ ODE ning ikkala tomoniga bir hil ODE beradi ${ displaystyle { big (} A (D) P (D) { big)} y = 0}$ buning uchun biz echim asosini topamiz ${ displaystyle {y_ {1}, ldots, y_ {n} }}$ oldingi kabi. Keyin asl bir hil bo'lmagan ODE ODEni qondirish uchun chiziqli kombinatsiyaning koeffitsientlarini cheklaydigan tenglamalar tizimini qurish uchun ishlatiladi.

Ushbu usul umuman umumiy emas parametrlarning o'zgarishi yo'q qiluvchi har doim ham mavjud emas degan ma'noda.

Yo'q qiluvchi stol

f(x)	Yo'q qiluvchi stol
${ displaystyle a_ {n} x ^ {n} + a_ {n-1} x ^ {n-1} + cdots + a_ {1} x + a_ {0} !}$	${ displaystyle D ^ {n + 1} !}$
${ displaystyle e ^ {kx} !}$	${ displaystyle D-k !}$
${ displaystyle x ^ {n} .e ^ {kx} !}$	${ displaystyle (D-k) ^ {n + 1} !}$
${ displaystyle cos (bx) ; ; mathrm {or} ; ; sin (bx) !}$	${ displaystyle D ^ {2} + b ^ {2} !}$
${ displaystyle x ^ {n} cos (bx) ; ; mathrm {or} ; ; x ^ {n} sin (bx) !}$	${ displaystyle (D ^ {2} + b ^ {2}) ^ {n + 1} !}$
${ displaystyle e ^ {ax} cos (bx) ; ; mathrm {or} ; ; e ^ {ax} sin (bx) !}$	${ displaystyle (D-a) ^ {2} + b ^ {2} = D ^ {2} -2aD + a ^ {2} + b ^ {2} !}$
${ displaystyle x ^ {n} e ^ {ax} cos (bx) ; ; mathrm {or} ; ; x ^ {n} e ^ {ax} sin (bx) !}$	${ displaystyle left [(Da) ^ {2} + b ^ {2} right] ^ {n + 1} = left [D ^ {2} -2aD + a ^ {2} + b ^ {2 } o'ng] ^ {n + 1} !}$
${ displaystyle a_ {n} x ^ {n} + cdots + a_ {1} x + a_ {0} + b_ {1} e ^ { pm c_ {1} x} + cdots + b_ {k} e ^ { mp c_ {k} x} !}$	${ displaystyle D ^ {n + 1} (D mp c_ {1}). cdots. (D pm c_ {k}) !}$

Agar ${ displaystyle f (x)}$ jadvalda keltirilgan ifodalar yig'indisidan iborat, yo'q qiluvchi mos keladigan yo'q qiluvchilarning hosilasi.

Misol

Berilgan ${ displaystyle y '' - 4y '+ 5y = sin (kx)}$, ${ displaystyle P (D) = D ^ {2} -4D + 5}$.Ning eng oddiy qiruvchisi ${ displaystyle sin (kx)}$ bu ${ displaystyle A (D) = D ^ {2} + k ^ {2}}$. Nollari ${ displaystyle A (z) P (z)}$ bor ${ displaystyle {2 + i, 2-i, ik, -ik }}$, shuning uchun ${ displaystyle A (D) P (D)}$ bu ${ displaystyle {y_ {1}, y_ {2}, y_ {3}, y_ {4} } = {e ^ {(2 + i) x}, e ^ {(2-i) x} , e ^ {ikx}, e ^ {- ikx} }.}$

O'rnatish ${ displaystyle y = c_ {1} y_ {1} + c_ {2} y_ {2} + c_ {3} y_ {3} + c_ {4} y_ {4}}$ biz topamiz

${ displaystyle { begin {aligned} sin (kx) & = P (D) y [8pt] & = P (D) (c_ {1} y_ {1} + c_ {2} y_ {2}) + c_ {3} y_ {3} + c_ {4} y_ {4}) [8pt] & = c_ {1} P (D) y_ {1} + c_ {2} P (D) y_ {2 } + c_ {3} P (D) y_ {3} + c_ {4} P (D) y_ {4} [8pt] & = 0 + 0 + c_ {3} (- k ^ {2} - 4ik + 5) y_ {3} + c_ {4} (- k ^ {2} + 4ik + 5) y_ {4} [8pt] & = c_ {3} (- k ^ {2} -4ik + 5) ( cos (kx) + i sin (kx)) + c_ {4} (- k ^ {2} + 4ik + 5) ( cos (kx) -i sin (kx)) end { tekislangan}}}$

tizimni berish

${ displaystyle i = (k ^ {2} + 4ik-5) c_ {3} + (- k ^ {2} + 4ik + 5) c_ {4}}$

${ displaystyle 0 = (k ^ {2} + 4ik-5) c_ {3} + (k ^ {2} -4ik-5) c_ {4}}$

echimlarga ega bo'lgan

${ displaystyle c_ {3} = { frac {i} {2 (k ^ {2} + 4ik-5)}}}$, ${ displaystyle c_ {4} = { frac {i} {2 (-k ^ {2} + 4ik + 5)}}}$

echim to'plamini berish

${ displaystyle { begin {aligned} y & = c_ {1} y_ {1} + c_ {2} y_ {2} + { frac {i} {2 (k ^ {2} + 4ik-5)}} y_ {3} + { frac {i} {2 (-k ^ {2} + 4ik + 5)}} y_ {4} [8pt] & = c_ {1} y_ {1} + c_ {2 } y_ {2} + { frac {4k cos (kx) - (k ^ {2} -5) sin (kx)} {(k ^ {2} + 4ik-5) (k ^ {2}) -4ik-5)}} [8pt] & = c_ {1} y_ {1} + c_ {2} y_ {2} + { frac {4k cos (kx) + (5-k ^ {2) }) sin (kx)} {k ^ {4} + 6k ^ {2} +25}}. end {hizalanmış}}}$

Ushbu eritmani bir hil va bir hil bo'lmagan qismlarga ajratish mumkin. Jumladan, ${ displaystyle y_ {p} = { frac {4k cos (kx) + (5-k ^ {2}) sin (kx)} {k ^ {4} + 6k ^ {2} +25}} }$ a alohida integral bir hil bo'lmagan differentsial tenglama uchun va ${ displaystyle y_ {c} = c_ {1} y_ {1} + c_ {2} y_ {2}}$ mos keladigan bir hil tenglamani to'ldiruvchi echimdir. Ning qiymatlari ${ displaystyle c_ {1}}$ va ${ displaystyle c_ {2}}$ odatda dastlabki shartlar to'plami orqali aniqlanadi. Bu ikkinchi darajali tenglama bo'lgani uchun, ushbu qiymatlarni aniqlash uchun shunday ikkita shart zarur.

Asosiy echimlar ${ displaystyle y_ {1} = e ^ {(2 + i) x}}$ va ${ displaystyle y_ {2} = e ^ {(2-i) x}}$ yordamida yana qayta yozish mumkin Eyler formulasi:

${ displaystyle e ^ {(2 + i) x} = e ^ {2x} e ^ {ix} = e ^ {2x} ( cos x + i sin x)}$

${ displaystyle e ^ {(2-i) x} = e ^ {2x} e ^ {- ix} = e ^ {2x} ( cos x-i sin x)}$

Keyin ${ displaystyle c_ {1} y_ {1} + c_ {2} y_ {2} = c_ {1} e ^ {2x} ( cos x + i sin x) + c_ {2} e ^ {2x} ( cos xi sin x) = (c_ {1} + c_ {2}) e ​​^ {2x} cos x + i (c_ {1} -c_ {2}) e ​​^ {2x} sin x}$va konstantalarning mos ravishda o'zgarishi qo'shimcha echimning sodda va tushunarli shaklini beradi, ${ displaystyle y_ {c} = e ^ {2x} (c_ {1} cos x + c_ {2} sin x)}$.