Joy yaqinlashmoqda - Approach space

Yilda topologiya, filiali matematika, bo'shliqlarga yaqinlashish ning umumlashtirilishi metrik bo'shliqlar, nuqta-ga asoslangano'rnatilgan masofa, nuqta-nuqta masofalari o'rniga. Ular Robert Lowen tomonidan 1989 yilda, 1988-1995 yillarda yondashuv nazariyasi bo'yicha bir qator maqolalarda kiritilgan.

Ta'rif

Metrik bo'shliq berilgan (X, d), yoki umuman olganda, an kengaytirilgan psevdokvazimetrik (bu qisqartiriladi Qpq-metrik induktsiya qilingan xaritani aniqlash mumkin d: X × P (X) → [0, ∞] tomonidan d(x, A) = inf {d(x, a) : a ∈ A}. Ushbu misolni hisobga olgan holda, a masofa kuni X xarita ekanligi aniqlangan X × P (X) → [0, ∞] hamma uchun qoniqarli x yilda X va A, B ⊆ X,

  1. d(x, {x}) = 0,
  2. d(x, Ø) = ∞,
  3. d(x, A∪B) = min (d(x, A), d(x, B)),
  4. Hammasi uchun 0 "ε ≤ ∞, d(x, A) ≤ d(x, A(ε)) + ε,

qaerda biz aniqlaymiz A(ε) = {x : d(x, A) ≤ ε}.

("bo'sh cheksiz - ijobiy cheksizlik "anjumani shunga o'xshash nullary chorrahasi hamma narsa konventsiya.)

Yondashuv maydoni juftlik deb belgilanadi (X, d) qayerda d masofaviy funktsiya X. Har qanday yondashuv maydoni a ga ega topologiya, davolash orqali berilgan A → A(0) kabi Kuratovskiyni yopish bo'yicha operator.

Yaqinlashish joylari orasidagi tegishli xaritalar quyidagilardir kasılmalar. Xarita f: (X, d) → (Y, e) agar qisqarish bo'lsa e(f(x), f[A]) ≤ d(x, A) Barcha uchun x ∈ X va A ⊆ X.

Misollar

Har bir ∞pq-metrik bo'shliq (X, d) bolishi mumkin uzoqlashtirilgan ga (X, d), ta'rifning boshida aytib o'tilganidek.

To'plam berilgan X, diskret masofa tomonidan berilgan d(x, A) = 0 agar x ∈ A va d(x, A) = ∞ agar x ∉ A. The induktsiya qilingan topologiya bo'ladi diskret topologiya.

To'plam berilgan X, tushunarsiz masofa tomonidan berilgan d(x, A) = 0 agar A bo'sh emas va d(x, A) = ∞ agar A bo'sh Induktsiya qilingan topologiya - bu ajralmagan topologiya.

Berilgan topologik makon X, a topologik masofa tomonidan berilgan d(x, A) = 0 agar x ∈ Ava d(x, A) Aks holda = ∞. Induktsiya qilingan topologiya asl topologiyadir. Darhaqiqat, ikkita qiymatga ega bo'lgan masofa topologik masofalardir.

Ruxsat bering P = [0, ∞] bo'ladi kengaytirilgan salbiy bo'lmagan reallar. Ruxsat bering d+(x, A) = maksimal (x − sup  A, 0) uchun x ∈ P va A ⊆ P. Har qanday yondashuv maydoni berilgan (X, d), xaritalar (har biri uchun) A ⊆ X) d(., A) : (X, d) → (P, d+) kasılmalardır.

Yoqilgan P, ruxsat bering e(x, A) = inf {|x − a| : a ∈ A} uchun x <∞, ruxsat bering e(∞, A) = 0 agar A cheksiz va ruxsat bering e(∞, A) = ∞ agar A chegaralangan. Keyin (P, e) bu yaqinlashish maydoni. Topologik jihatdan P [0, ∞) ning bir nuqtali kompaktifikasiyasidir. Yozib oling e oddiy Evklid masofasini uzaytiradi. Buni oddiy Evklid metrikasi bilan amalga oshirish mumkin emas.

Β ga ruxsat beringN ning Tosh-Tex ixchamlashuvi bo'ling butun sonlar. Bir nuqta U ∈ βN ultrafilter hisoblanadi N. Ichki to‘plam A ⊆ βN filtrni chaqiradi F(A) = ∩ {U : U ∈ A}. Ruxsat bering b(U, A) = sup {inf {|n − j| : n ∈ X, j ∈ E } : X ∈ U, E ∈ F(A)}. Keyin (βN, b) - bu oddiy Evklid masofasini uzaytiradigan yaqinlashish maydoni N. Aksincha, βN o'lchash mumkin emas.

Ekvivalent ta'riflar

Lowen kamida ettita teng formulani taklif qildi. Ularning ikkitasi quyida.

XPQ-ga ruxsat bering (X) xpq-metrikalar to'plamini belgilang X. Subfamila G XPQ (X) a deyiladi o'lchov agar

  1. 0 ∈ G, bu erda 0 nol metrik, ya'ni 0 (x, y) = 0 hamma uchun x, y,
  2. e ≤ d ∈ G nazarda tutadi e ∈ G,
  3. d, e ∈ G max (d,e) ∈ G (bu erda "max" - bu maksimal darajadagi nuqta),
  4. Barcha uchun d ∈ XPQ (X), agar hamma uchun bo'lsa x ∈ X, ε> 0, N Mavjud e ∈ G shunday min (d(x,y), N) ≤ e(x, y) + ε hamma uchun y, keyin d ∈ G.

Agar G o'lchov moslamasi X, keyin d(x,A) = sup {e(x, a) } : e ∈ G} masofaviy funktsiya yoqilgan X. Aksincha, masofa funktsiyasi berilgan d kuni X, to'plami e ∈ XPQ (X) shu kabi e ≤ d o'lchov moslamasi X. Ikki operatsiya bir-biriga teskari.

Kasılma f: (X, d) → (Y, e) bog'liq o'lchovlar bo'yicha G va H navbati bilan, hamma uchun shunday xarita d ∈ H, d(f(.), f(.)) ∈ G.

A minora kuni X xaritalar to'plamidir A → A[ε] uchun A ⊆ X, ε ≥ 0, barchani qoniqtiradi A, B ⊆ X va δ, ε ≥ 0

  1. A ⊆ A[ε],
  2. Ø[ε] = Ø,
  3. (A ∪ B)[ε] = A[ε] ∪ B[ε],
  4. A[ε] [δ] ⊆ A[ε + δ],
  5. A[ε] = ∩δ> ε A[δ].

Masofa berilgan d, bog'liq A → A(ε) minora. Aksincha, minora berilgan xarita d(x,A) = inf {ε: x ∈ A[ε]} - bu masofa va bu ikki amal bir-biriga teskari.

Kasılma f:(X, d)→(Y, e) bog'langan minoralar nuqtai nazaridan xarita shunday, hamma uchun ε ε 0, f[A[ε]] ⊆ f[A][ε].

Kategorik xususiyatlar

Yaqinlashish joylari va ularning qisqarishlariga asosiy qiziqish shundaki, ular a toifasi metrik bo'shliqlar kabi miqdoriy bo'lishiga qaramay, yaxshi xususiyatlarga ega. O'zboshimchalik bilan qabul qilish mumkin mahsulotlar, qo'shma mahsulotlar va takliflar va natijalar topologiyalar uchun tegishli natijalarni tegishli ravishda umumlashtiradi. Hatto o'lchovsiz bunday bo'shliqlarni "ajratish" mumkinN, Tosh-texnologik ixchamlashtirish butun sonlarning

Ba'zi giperspaces, bo'shliqlarni o'lchash va ehtimollik metrik bo'shliqlari tabiiy ravishda masofa bilan ta'minlangan bo'lib chiqadi. Shuningdek, arizalar berilgan taxminiy nazariya.

Adabiyotlar

  • Louen, Robert (1997). Yondashuv bo'shliqlari: topologiya-bir xillik-metrik uchlikdagi etishmayotgan havola. Oksford matematik monografiyalari. Oksford: Clarendon Press. ISBN  0-19-850030-0. Zbl  0891.54001.
  • Lowen, Robert (2015). Indeks tahlili: Ishdagi yondashuv nazariyasi. Springer.

Tashqi havolalar