Yilda statistika, Behrens-Fisher tarqatishnomi bilan nomlangan Ronald Fisher va Valter Berrens, a parametrlangan oilasi ehtimollik taqsimoti ning echimidan kelib chiqadi Behrens-Fisher muammosi birinchi navbatda Behrens tomonidan va bir necha yildan so'ng Fisher tomonidan taklif qilingan. Behrens-Fisher muammosi shu statistik xulosa ikkitasi vositalari o'rtasidagi farq haqida odatda taqsimlanadi populyatsiyalar qachon nisbat ularning farqlar ma'lum emas (va xususan, ularning farqlari teng ekanligi ma'lum emas).
Ta'rif
Behrens-Fisher taqsimoti - bu a ning taqsimlanishi tasodifiy o'zgaruvchi shaklning
![T_ {2} cos theta -T_ {1} sin theta ,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc7622b96fd4817c70d78583cc3875eb6252c87b)
qayerda T1 va T2 bor mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar har bir talaba bilan t-taqsimot, tegishli darajadagi erkinlik bilan ν1 = n1 - 1 va ν2 = n2 - 1 va θ doimiy. Shunday qilib, Behrens-Fisher taqsimotlari oilasi parametrlanadi ν1, ν2vaθ.
Hosil qilish
Faraz qilaylik, populyatsiyaning ikkita farqi teng va kattalik namunalari n1 va n2 ikki populyatsiyadan olingan:
![{ begin {aligned} X _ {{1,1}}, ldots, X _ {{1, n_ {1}}} & sim operator nomi {iid} N ( mu _ {1}, sigma ^ { 2}), [6pt] X _ {{2,1}}, ldots, X _ {{2, n_ {2}}} & sim operator nomi {iid} N ( mu _ {2}, sigma ^ {2}). end {hizalangan}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63c9179ed23512c7947dc021bfd140366128c9e9)
"i.i.d" qaerda mustaqil va bir xil taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchilar va N belgisini bildiradi normal taqsimot. Ikki namuna degani bor
![{ begin {aligned} { bar {X}} _ {1} & = (X _ {{1,1}} + cdots + X _ {{1, n_ {1}}}) / n_ {1} [6pt] { bar {X}} _ {2} & = (X _ {{2,1}} + cdots + X _ {{2, n_ {2}}}) / n_ {2} end { moslashtirilgan}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/124c854f4dd975bae37413d5e87cef0c06ccd47b)
Odatiy "birlashtirilgan " xolis umumiy dispersiyani taxmin qilish σ2 keyin
![S _ {{ mathrm {pooled}}} ^ {2} = { frac { sum _ {{k = 1}} ^ {{n_ {1}}} (X _ {{1, k}} - { bar X} _ {1}) ^ {2} + sum _ {{k = 1}} ^ {{n_ {2}}} (X _ {{2, k}} - { bar X} _ {2 }) ^ {2}} {n_ {1} + n_ {2} -2}} = { frac {(n_ {1} -1) S_ {1} ^ {2} + (n_ {2} -1) ) S_ {2} ^ {2}} {n_ {1} + n_ {2} -2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/087c10b8a96280bb99c6bc43ba2d0236127ca93e)
qayerda S12 va S22 odatiy xolis (Bessel tomonidan tuzatilgan ) populyatsiyaning ikkita farqlanishini taxmin qilish.
Ushbu taxminlarga ko'ra asosiy miqdor
![{ frac {( mu _ {2} - mu _ {1}) - ({ bar X} _ {2} - { bar X} _ {1})} { displaystyle { sqrt {{ frac {S _ {{ mathrm {pooled}}} ^ {2}} {n_ {1}}} + { frac {S _ {{ mathrm {pooled}}} ^ {2}} {n_ {2} }}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81e5b0257fc8b622c39c9916ea86b1d38fd3f899)
bor t-taqsimot bilan n1 + n2 − 2 erkinlik darajasi. Shunga ko'ra, a ni topish mumkin ishonch oralig'i uchun m2 − m1 uning so'nggi nuqtalari
![{ bar {X}} _ {2} - { bar {X_ {1}}} pm A cdot S _ {{ mathrm {pooled}}} { sqrt {{ frac {1} {n_ { 1}}} + { frac {1} {n_ {2}}}}},](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54a8bccf54ec5cd574eae280736afb4212705f77)
qayerda A t-taqsimotning tegishli foiz punktidir.
Biroq, Behrens-Fisher muammosida populyatsiyaning ikkita farqi teng ekanligi va ularning nisbati ma'lum emas. Fisher ko'rib chiqdi[iqtibos kerak ] asosiy miqdor
![{ frac {( mu _ {2} - mu _ {1}) - ({ bar X} _ {2} - { bar X} _ {1})} { displaystyle { sqrt {{ frac {S_ {1} ^ {2}} {n_ {1}}} + { frac {S_ {2} ^ {2}} {n_ {2}}}}}}}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/765a5cc1316e422ca3dabdaf780133ffc857b8c8)
Buni shunday yozish mumkin
![T_ {2} cos theta -T_ {1} sin theta, ,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7038e0bb2802c4b5f161cbd75e6216516183b856)
qayerda
![T_ {i} = { frac { mu _ {i} - { bar {X}} _ {i}} {S_ {i} / { sqrt {n_ {i}}}}} { text { uchun}} i = 1,2 ,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b956ef3a8b35a53be8f033183240f47512888ff8)
odatdagi bitta namunali t-statistika va
![tan theta = { frac {S_ {1} / { sqrt {n_ {1}}}} {S_ {2} / { sqrt {n_ {2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/424429538f58e1da9079a7cad2586a0d68d8398b)
va biri oladi θ birinchi kvadrantda bo'lish. Algebraik tafsilotlar quyidagicha:
![{ start {hizalangan} { frac {( mu _ {2} - mu _ {1}) - ({ bar X} _ {2} - { bar X} _ {1})} { displaystyle { sqrt {{ frac {S_ {1} ^ {2}} {n_ {1}}} + { frac {S_ {2} ^ {2}} {n_ {2}}}}}}}} & = { frac { mu _ {2} - { bar {X}} _ {2}} { displaystyle { sqrt {{ frac {S_ {1} ^ {2}} {n_ {1} }} + { frac {S_ {2} ^ {2}} {n_ {2}}}}}}} - { frac { mu _ {1} - { bar {X}} _ {1} } { displaystyle { sqrt {{ frac {S_ {1} ^ {2}} {n_ {1}}} + { frac {S_ {2} ^ {2}} {n_ {2}}}} }}} [10pt] & = underbrace {{ frac { mu _ {2} - { bar {X}} _ {2}} {S_ {2} / { sqrt {n_ {2} }}}}} _ {{{ text {Bu}} T_ {2}}} cdot underbrace { chap ({ frac {S_ {2} / { sqrt {n_ {2}}}} { displaystyle { sqrt {{ frac {S_ {1} ^ {2}} {n_ {1}}} + { frac {S_ {2} ^ {2}} {n_ {2}}}}} }} o'ng)} _ {{{ text {Bu}} cos theta}} - underbrace {{ frac { mu _ {1} - { bar {X}} _ {1}} {S_ {1} / { sqrt {n_ {1}}}}}} _ {{{ text {Bu}} T_ {1}}} cdot underbrace { chap ({ frac {S_ {) 1} / { sqrt {n_ {1}}}} { displaystyle { sqrt {{ frac {S_ {1} ^ {2}} {n_ {1}}} + { frac {S_ {2} ^ {2}} {n_ {2}}}}}}} o'ng)} _ {{{ text {Bu}} sin theta}}. Qquad qquad qquad (1) end { moslashtirilgan}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b614f43c80e43667416857a56ddf54146b35781)
Yuqoridagi qavs ichidagi ifodalar kvadratlari yig'indisi 1 ga teng ekanligi, ular qandaydir burchak kosinusi va sinusi ekanligini anglatadi.
Behren-Fisher taqsimoti aslida shartli taqsimlash yuqoridagi miqdor (1), berilgan cos deb belgilangan miqdorlarning qiymatlariθ va gunohθ. Aslida, Fisher yordamchi ma'lumotdagi shartlar.
Keyin Fisher "ishonchli interval "kimning so'nggi nuqtalari
![{ bar {X}} _ {2} - { bar {X}} _ {1} pm A { sqrt {{ frac {S_ {1} ^ {2}} {n_ {1}}} + { frac {S_ {2} ^ {2}} {n_ {2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6ad9ee1dc72b38c1461db3e412eb4c7b0710c8e)
qayerda A bu Behrens-Fisher taqsimotining tegishli foiz punktidir. Fisher da'vo qildi[iqtibos kerak ] ehtimolligi m2 − m1 ma'lumotlar berilgan (bu oxir-oqibat Xs) - Behrens-Fisher tomonidan taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchining - o'rtasida bo'lish ehtimoli.A vaA.
Fiducial intervallarni ishonch oralig'iga nisbatan
Bartlett[iqtibos kerak ] ushbu "fiducial interval" ishonch oralig'i emasligini ko'rsatdi, chunki u doimiy qamrov stavkasiga ega emas. Fisher, fiducial intervaldan foydalanishga qarshi e'tiroz deb o'ylamadi.[iqtibos kerak ]
Qo'shimcha o'qish
- Kendall, Moris G., Styuart, Alan (1973) Kengaytirilgan statistika nazariyasi, 2-jild: xulosa va munosabatlar, 3-nashr, Griffin. ISBN 0-85264-215-6 (21-bob)
|
---|
Diskret o'zgaruvchan cheklangan qo'llab-quvvatlash bilan | |
---|
Diskret o'zgaruvchan cheksiz qo'llab-quvvatlash bilan | |
---|
Doimiy o'zgaruvchan cheklangan oraliqda qo'llab-quvvatlanadi | |
---|
Doimiy o'zgaruvchan yarim cheksiz oraliqda qo'llab-quvvatlanadi | |
---|
Doimiy o'zgaruvchan butun haqiqiy chiziqda qo'llab-quvvatlanadi | |
---|
Doimiy o'zgaruvchan turi turlicha bo'lgan qo'llab-quvvatlash bilan | |
---|
Aralashtirilgan uzluksiz diskret bir o'zgaruvchidir | |
---|
Ko'p o'zgaruvchan (qo'shma) | |
---|
Yo'naltirilgan | |
---|
Degeneratsiya va yakka | |
---|
Oilalar | |
---|