Bergman yadrosi - Bergman kernel

In matematik o'rganish bir nechta murakkab o'zgaruvchilar, Bergman yadrosinomi bilan nomlangan Stefan Bergman, a yadroni ko'paytirish uchun Hilbert maydoni hammasidan kvadrat integral holomorfik funktsiyalar domenda D. yildaCⁿ.

Batafsil, ruxsat bering L²(D.) kvadratning integral funktsiyalari Hilbert maydoni bo'lsin D.va ruxsat bering L^2,h(D.) da holomorfik funktsiyalardan tashkil topgan pastki bo'shliqni belgilang D.: anavi,

{ displaystyle L ^ {2, h} (D) = L ^ {2} (D) cap H (D)}

qayerda H(D.) - bu holomorfik funktsiyalar makoni D.. Keyin L^2,h(D.) Hilbert fazosi: bu a yopiq chiziqli pastki bo'shliq L²(D.) va shuning uchun to'liq o'z-o'zidan. Bu holomorfik kvadrat bilan integrallanadigan funktsiya uchun asosiy taxminlardan kelib chiqadi ƒ yilda D.

{ displaystyle sup _ {z in K} | f (z) | leq C_ {K} | f | _ {L ^ {2} (D)}}

(1)

har bir kishi uchun ixcham kichik to'plam K ning D.. Shunday qilib, ichida holomorfik funktsiyalar ketma-ketligining yaqinlashuvi L²(D.) ham nazarda tutadi ixcham yaqinlashish va shuning uchun chegara funktsiyasi ham holomorfdir.

Ning yana bir natijasi (1) har biri uchun z ∈ D., baholash

{ displaystyle operatorname {ev} _ {z}: f mapsto f (z)}

a uzluksiz chiziqli funktsional kuni L^2,h(D.). Tomonidan Rizz vakillik teoremasi, bu funktsional element bilan ichki mahsulot sifatida ifodalanishi mumkin L^2,h(D.), ya'ni buni aytish kerak

{ displaystyle operatorname {ev} _ {z} f = int _ {D} f ( zeta) { overline { eta _ {z} ( zeta)}} , d mu ( zeta) .}

Bergman yadrosi K bilan belgilanadi

{ displaystyle K (z, zeta) = { overline { eta _ {z} ( zeta)}}.}

Yadro K(z, ζ) in holomorfikdir z va g-da antiholomorfik va qondiradi

{ displaystyle f (z) = int _ {D} K (z, zeta) f ( zeta) , d mu ( zeta).}

Ushbu rasmga oid asosiy kuzatuvlardan biri shu L^2,h(D.) maydoni bilan aniqlanishi mumkin ${ displaystyle L ^ {2}}$ holomorfik (n, 0) - D ga hosil bo'ladi, ko'paytirish orqali ${ displaystyle dz ^ {1} wedge cdots wedge dz ^ {n}}$ . Beri ${ displaystyle L ^ {2}}$ bu kosmosdagi ichki mahsulot D, Bergman yadrosi va unga bog'liq bo'lgan biholomorfizmlar ostida aniq o'zgarmasdir. Bergman metrikasi shuning uchun domenning avtomorfizm guruhi ostida avtomatik ravishda o'zgarmasdir.

Shuningdek qarang

Adabiyotlar

Krantz, Stiven G. (2002), Bir nechta murakkab o'zgaruvchilarning funktsiyalar nazariyasi, Providence, R.I .: Amerika matematik jamiyati, ISBN 978-0-8218-2724-6.
Chirka, EM (2001) [1994], "Bergman yadrosi funktsiyasi", Matematika entsiklopediyasi, EMS Press.