Blok tenglamalari - Bloch equations

Fizika va kimyoda, xususan yadro magnit-rezonansi (NMR), magnit-rezonans tomografiya (MRI) va elektron spin rezonansi (ESR), Blok tenglamalari yadro magnitlanishini hisoblash uchun ishlatiladigan makroskopik tenglamalar to'plamidir M = (M_x, M_y, M_z) qachon funktsiyasi sifatida dam olish vaqti T₁ va T₂ mavjud. Bular fenomenologik tomonidan kiritilgan tenglamalar Feliks Bloch 1946 yilda.^[1] Ba'zan ular harakat tenglamalari yadro magnitlanishi. Ular o'xshashdir Maksvell-Blox tenglamalari.

Laboratoriya (statsionar) ma'lumot bazasida

Ruxsat bering M(t) = (M_x(t), M_y(t), M_z(t)) yadro magnitlanishi. Keyin Blox tenglamalari quyidagicha o'qiydi:

${ displaystyle { frac {dM_ {x} (t)} {dt}} = gamma ( mathbf {M} (t) times mathbf {B} (t)) _ {x} - { frac {M_ {x} (t)} {T_ {2}}}}$

${ displaystyle { frac {dM_ {y} (t)} {dt}} = gamma ( mathbf {M} (t) times mathbf {B} (t)) _ {y} - { frac {M_ {y} (t)} {T_ {2}}}}$

${ displaystyle { frac {dM_ {z} (t)} {dt}} = gamma ( mathbf {M} (t) times mathbf {B} (t)) _ {z} - { frac {M_ {z} (t) -M_ {0}} {T_ {1}}}}$

bu erda γ giromagnitik nisbat va B(t) = (B_x(t), B_y(t), B₀ + ΔB_z(t)) bu magnit maydon yadrolari tomonidan tajribali z magnit maydonning tarkibiy qismi B ba'zan ikkita atamadan iborat:

• bitta, B₀, vaqtida doimiy,
• ikkinchisi, ΔB_z(t), vaqtga bog'liq bo'lishi mumkin. U mavjud magnit-rezonans tomografiya va NMR signalining fazoviy dekodlanishiga yordam beradi.

M(t) × B(t) bo'ladi o'zaro faoliyat mahsulot Ushbu ikki vektorningM₀ barqaror holatdagi yadro magnitlanishi (ya'ni, masalan, t → ∞ bo'lganda); u z yo'nalish.

Jismoniy fon

Bo'shashmasdan (bu ikkalasi ham) T₁ va T₂ → ∞) yuqoridagi tenglamalar soddalashtiriladi:

${ displaystyle { frac {dM_ {x} (t)} {dt}} = gamma ( mathbf {M} (t) times mathbf {B} (t)) _ {x}}$

${ displaystyle { frac {dM_ {y} (t)} {dt}} = gamma ( mathbf {M} (t) times mathbf {B} (t)) _ {y}}$

${ displaystyle { frac {dM_ {z} (t)} {dt}} = gamma ( mathbf {M} (t) times mathbf {B} (t)) _ {z}}$

yoki vektor yozuvida:

${ displaystyle { frac {d mathbf {M} (t)} {dt}} = gamma mathbf {M} (t) times mathbf {B} (t)}$

Bu uchun tenglama Larmor prekretsiyasi yadro magnitlanishi M tashqi magnit maydonda B.

Dam olish shartlari,

${ displaystyle left (- { frac {M_ {x}} {T_ {2}}}, - { frac {M_ {y}} {T_ {2}}}, - { frac {M_ {z } -M_ {0}} {T_ {1}}} o'ng)}$

yadro magnitlanishining ko'ndalang va uzunlamasına bo'shashishining aniqlangan fizik jarayonini anglatadi M.

Makroskopik tenglamalar sifatida

Ushbu tenglamalar emas mikroskopik: ular individual yadro magnit momentlarining harakat tenglamasini tavsiflamaydilar. Ular qonunlar bilan tartibga solinadi va tavsiflanadi kvant mexanikasi.

Blok tenglamalari makroskopik: ular namunadagi barcha yadro magnit momentlarini yig'ish yo'li bilan olinadigan makroskopik yadro magnetizatsiyasi harakatining tenglamalarini tavsiflaydi.

Muqobil shakllar

Blok tenglamalarida vektor mahsuloti qavslarini ochish quyidagilarga olib keladi.

${ displaystyle { frac {dM_ {x} (t)} {dt}} = gamma left (M_ {y} (t) B_ {z} (t) -M_ {z} (t) B_ {y } (t) o'ng) - { frac {M_ {x} (t)} {T_ {2}}}}$

${ displaystyle { frac {dM_ {y} (t)} {dt}} = gamma left (M_ {z} (t) B_ {x} (t) -M_ {x} (t) B_ {z } (t) o'ng) - { frac {M_ {y} (t)} {T_ {2}}}}$

${ displaystyle { frac {dM_ {z} (t)} {dt}} = gamma left (M_ {x} (t) B_ {y} (t) -M_ {y} (t) B_ {x } (t) o'ng) - { frac {M_ {z} (t) -M_ {0}} {T_ {1}}}}$

Yuqoridagi shakl yanada soddalashtirilgan deb taxmin qilinadi

${ displaystyle M_ {xy} = M_ {x} + iM_ {y} { text {and}} B_ {xy} = B_ {x} + iB_ {y} ,}$

qayerda men = √−1. Bir necha algebradan so'ng quyidagilar olinadi:

${ displaystyle { frac {dM_ {xy} (t)} {dt}} = - i gamma left (M_ {xy} (t) B_ {z} (t) -M_ {z} (t) B_) {xy} (t) o'ng) - { frac {M_ {xy} (t)} {T_ {2}}}}$.

${ displaystyle { frac {dM_ {z} (t)} {dt}} = i { frac { gamma} {2}} left (M_ {xy} (t) { overline {B_ {xy}) (t)}} - { overline {M_ {xy}}} (t) B_ {xy} (t) right) - { frac {M_ {z} (t) -M_ {0}} {T_ {) 1}}}}$

qayerda

${ displaystyle { overline {M_ {xy}}} = M_ {x} -iM_ {y}}$.

ning murakkab konjugati hisoblanadi M_xy. Ning haqiqiy va xayoliy qismlari M_xy mos keladi M_x va M_y navbati bilan.M_xy ba'zan deyiladi transvers yadro magnitlanishi.

Matritsa shakli

Bloch tenglamalari matritsa-vektor yozuvida qayta tiklanishi mumkin:

${ displaystyle { frac {d} {dt}} chap ({ begin {array} {c} M_ {x} M_ {y} M_ {z} end {array}} o'ng) = chap ({ begin {array} {ccc} - { frac {1} {T_ {2}}} & gamma B_ {z} & - gamma B_ {y} - gamma B_ {z } & - { frac {1} {T_ {2}}} & gamma B_ {x} gamma B_ {y} & - gamma B_ {x} & - { frac {1} {T_ { 1}}} end {array}} right) chap ({ begin {array} {c} M_ {x} M_ {y} M_ {z} end {array}} o'ng) + chap ({ begin {array} {c} 0 0 { frac {M_ {0}} {T_ {1}}} end {array}} o'ng)}$

Aylanadigan mos yozuvlar tizimida

Aylanadigan mos yozuvlar tizimida yadro magnitlanishi xatti-harakatlarini tushunish osonroq M. Bu motivatsiya:

Blok tenglamalarini T₁, T₂ → ∞

Faraz qiling:

• da t = 0 ko'ndalang yadro magnitlanishi M_xy(0) doimiy magnit maydonni boshdan kechiradi B(t) = (0, 0, B₀);
• B₀ ijobiy;
• bo'ylama va ko'ndalang bo'shashishlar mavjud emas (ya'ni T₁ va T₂ → ∞).

Keyin Bloch tenglamalari soddalashtiriladi:

${ displaystyle { frac {dM_ {xy} (t)} {dt}} = - i gamma M_ {xy} (t) B_ {0}}$,

${ displaystyle { frac {dM_ {z} (t)} {dt}} = 0}$.

Bu ikkitasi (birlashtirilmagan) chiziqli differentsial tenglamalar. Ularning echimi:

${ displaystyle M_ {xy} (t) = M_ {xy} (0) e ^ {- i gamma B_ {0} t}}$,

${ displaystyle M_ {z} (t) = M_ {0} = { text {const}} ,}$.

Shunday qilib ko'ndalang magnitlanish, M_xy, atrofida aylanadi z o'qi bilan burchak chastotasi ω₀ = γB₀ soat yo'nalishi bo'yicha (bu ko'rsatkichdagi salbiy belgiga bog'liq). bo'ylama magnitlanish, M_z vaqt ichida doimiy bo'lib qoladi. Ko'ndalang magnitlanish kuzatuvchiga xuddi shunday ko'rinadi laboratoriya ma'lumotlari (bu a statsionar kuzatuvchi).

M_xy(t) quyidagi tarzda kuzatiladigan miqdorlarga tarjima qilingan M_x(t) va M_y(t): Beri

${ displaystyle M_ {xy} (t) = M_ {xy} (0) e ^ {- i gamma B_ {z0} t} = M_ {xy} (0) left [ cos ( omega _ {0) } t) -i sin ( omega _ {0} t) o'ng]}$

keyin

${ displaystyle M_ {x} (t) = { text {Re}} chap (M_ {xy} (t) right) = M_ {xy} (0) cos ( omega _ {0} t) }$,

${ displaystyle M_ {y} (t) = { text {Im}} chap (M_ {xy} (t) right) = - M_ {xy} (0) sin ( omega _ {0} t )}$,

qayerda Re (z) va Im (z) murakkab sonning haqiqiy va xayoliy qismini qaytaradigan funktsiyalardir z. Ushbu hisob-kitobda shunday deb taxmin qilingan M_xy(0) haqiqiy son.

Aylanadigan mos yozuvlar tizimiga o'tish

Bu oldingi bo'limning xulosasi: doimiy magnit maydonda B₀ birga z ko'ndalang magnitlanishni o'qi M_xy axis burchak chastotasi bilan ushbu o'q atrofida soat yo'nalishi bo'yicha aylanadi₀. Agar kuzatuvchi xuddi shu o'q atrofida soat yo'nalishi bo'yicha burchak chastotasi rot bilan aylanayotgan bo'lsa, M_xy u burchakli chastota bilan aylanadigan yoki unga tuyuladi₀ - Ω. Xususan, agar kuzatuvchi axis burchak chastotasi bilan bir xil o'q atrofida soat sohasi bo'yicha aylanayotgan bo'lsa₀, ko'ndalang magnitlanish M_xy unga yoki unga harakatsiz ko'rinadi.

Buni matematik tarzda quyidagi tarzda ifodalash mumkin:

• Ruxsat bering (x, y, z) ning dekartian koordinatalar tizimi laboratoriya (yoki statsionar) ma'lumotnoma doirasiva
• (x′, y′, z′) = (x′, y′, z) atrofida aylanayotgan dekartian koordinatalar tizimi bo'ling z burchak chastotasi the bilan laboratoriya mos yozuvlar tizimining o'qi. Bunga aylanadigan mos yozuvlar doirasi. Ushbu mos yozuvlar tizimidagi fizik o'zgaruvchilar tub son bilan belgilanadi.

Shubhasiz:

${ displaystyle M_ {z} '(t) = M_ {z} (t) ,}$.

Nima bu M_xy′(t)? Ushbu bo'lim boshidagi argumentni matematik tarzda ifodalash:

${ displaystyle M_ {xy} '(t) = e ^ {+ i Omega t} M_ {xy} (t) ,}$.

Aylanadigan mos yozuvlar doirasidagi transvers magnitlanish harakati tenglamasi

Ning harakatining tenglamasi nima? M_xy′(t)?

${ displaystyle { frac {dM_ {xy} '(t)} {dt}} = { frac {d chap (M_ {xy} (t) e ^ {+ i Omega t} o'ng)} { dt}} = e ^ {+ i Omega t} { frac {dM_ {xy} (t)} {dt}} + i Omega e ^ {+ i Omega t} M_ {xy} (t) = e ^ {+ i Omega t} { frac {dM_ {xy} (t)} {dt}} + i Omega M_ {xy} '(t)}$

Laboratoriya ma'lumotnomasida Bloch tenglamasidan o'rnini oling:

${ displaystyle { begin {aligned} { frac {dM_ {xy} '(t)} {dt}} & = e ^ {+ i Omega t} left [-i gamma left (M_ {xy) } (t) B_ {z} (t) -M_ {z} (t) B_ {xy} (t) right) - { frac {M_ {xy} (t)} {T_ {2}}} o'ng] + i Omega M_ {xy} '(t) & = chap [-i gamma chap (M_ {xy} (t) e ^ {+ i Omega t} B_ {z} (t) ) -M_ {z} (t) B_ {xy} (t) e ^ {+ i Omega t} right) - { frac {M_ {xy} (t) e ^ {+ i Omega t}} {T_ {2}}} o'ng] + i Omega M_ {xy} '(t) & = - i gamma chap (M_ {xy}' (t) B_ {z} (t) -M_ {z} (t) B_ {xy} '(t) right) + i Omega M_ {xy}' (t) - { frac {M_ {xy} '(t)} {T_ {2}}} end {hizalangan}}}$

Ammo oldingi qismdagi taxmin bo'yicha: B_z′(t) = B_z(t) = B₀ + ΔB_z(t) va M_z(t) = M_z′(t). Yuqoridagi tenglamani almashtirish:

${ displaystyle { begin {aligned} { frac {dM_ {xy} '(t)} {dt}} & = - i gamma left (M_ {xy}' (t) (B_ {0} + ) Delta B_ {z} (t)) - M_ {z} '(t) B_ {xy}' (t) right) + i Omega M_ {xy} '(t) - { frac {M_ {xy} '(t)} {T_ {2}}} & = - i gamma B_ {0} M_ {xy}' (t) -i gamma Delta B_ {z} (t) M_ {xy} ' (t) + i gamma B_ {xy} '(t) M_ {z}' (t) + i Omega M_ {xy} '(t) - { frac {M_ {xy}' (t)} { T_ {2}}} & = i ( Omega - omega _ {0}) M_ {xy} '(t) -i gamma Delta B_ {z} (t) M_ {xy}' (t) ) + i gamma B_ {xy} '(t) M_ {z}' (t) - { frac {M_ {xy} '(t)} {T_ {2}}} end {hizalanmış}} }$

Ushbu tenglamaning o'ng tomonidagi atamalarning ma'nosi:

• men (Ω - ω₀) M_xy′(t) - burchak chastotasi rot bilan aylanadigan mos yozuvlar doirasidagi Larmor atamasi. D = ω bo'lganda u nolga aylanganiga e'tibor bering₀.
• -men γ ΔB_z(t) M_xy′(t) atamasi magnit maydonning bir xil emasligi ta'sirini tavsiflaydi (ph bilan ifodalangan)B_z(t)) ko'ndalang yadro magnitlanishi to'g'risida; bu tushuntirish uchun ishlatiladi T₂^*. Shuningdek, bu atama ortda qoldi MRI: u gradient lasan tizimi tomonidan hosil qilinadi.
• The men γ B_xy′(t) M_z(t) RF maydonining ta'sirini tavsiflaydi ( B_xy′(t) omil) yadro magnitlanishi bo'yicha. Misol uchun quyida ko'ring.
• - M_xy′(t) / T₂ ko'ndalang magnitlanishning izchilligini yo'qotishini tavsiflaydi.

Xuddi shunday, ning harakatining tenglamasi M_z aylanadigan mos yozuvlar tizimida:

${ displaystyle { frac {dM_ {z} '(t)} {dt}} = i { frac { gamma} {2}} left (M' _ {xy} (t) { overline {B '_ {xy} (t)}} - { overline {M' _ {xy}}} (t) B '_ {xy} (t) right) - { frac {M_ {z} -M_ { 0}} {T_ {1}}}}$

Aylanadigan mos yozuvlar tizimidagi tenglamalarning vaqtga bog'liq bo'lmagan shakli

Tashqi maydon quyidagi shaklga ega bo'lganda:

${ displaystyle B_ {x} (t) = B_ {1} cos omega t}$

${ displaystyle B_ {y} (t) = - B_ {1} sin omega t}$

${ displaystyle B_ {z} (t) = B_ {0}}$,

Biz quyidagilarni aniqlaymiz:

${ displaystyle epsilon = gamma B_ {1}}$ va:${ displaystyle Delta = gamma B_ {0} - omega}$ ,

va oling (matritsa-vektor yozuvida):

${ displaystyle { frac {d} {dt}} chap ({ begin {array} {c} M '_ {x} M' _ {y} M '_ {z} end { qator}} o'ng) = chap ({ begin {array} {ccc} - { frac {1} {T_ {2}}} & Delta & 0 - Delta & - { frac {1} {T_ {2}}} & epsilon 0 & - epsilon & - { frac {1} {T_ {1}}} end {array}} right) chap ({ begin {array} {) c} M '_ {x} M' _ {y} M '_ {z} end {array}} o'ng) + chap ({ begin {array} {c} 0 0) { frac {M_ {0}} {T_ {1}}} end {array}} right)}$

Oddiy echimlar

Transvers yadro magnitlanishining gevşemesi M_xy

Faraz qiling:

• Yadro magnitlanishi doimiy tashqi magnit maydonga ta'sir qiladi z yo'nalish B_z′(t) = B_z(t) = B₀. Shunday qilib ω₀ = γB₀ va ΔB_z(t) = 0.
• Hech qanday RF yo'q, ya'ni B_xy' = 0.
• Aylanadigan mos yozuvlar ramkasi burchak chastotasi Ω = with bilan aylanadi₀.

Keyin aylanadigan mos yozuvlar tizimida transvers yadro magnitlanishi uchun harakat tenglamasi, M_xy'(t) quyidagilarni soddalashtiradi:

${ displaystyle { frac {dM_ {xy} '(t)} {dt}} = - { frac {M_ {xy}'} {T_ {2}}}}$

Bu chiziqli oddiy differentsial tenglama va uning echimi

${ displaystyle M_ {xy} '(t) = M_ {xy}' (0) e ^ {- t / T_ {2}}}$.

qayerda M_xy'(0) - bu aylanayotgan freymda transvers yadro magnitlanishi t = 0. Bu differentsial tenglama uchun boshlang'ich shart.

E'tibor bering, mos yozuvlar doirasi aylanayotganda aniq Larmor chastotasida (bu yuqoridagi taxminning fizik ma'nosi Ω = ω)₀), transvers yadro magnitlanishining vektori, M_xy(t) harakatsiz ko'rinadi.

Uzunlamasına yadroviy magnitlanishning gevşemesi M_z

Faraz qiling:

• Yadro magnitlanishi doimiy tashqi magnit maydonga ta'sir qiladi z yo'nalish B_z′(t) = B_z(t) = B₀. Shunday qilib ω₀ = γB₀ va ΔB_z(t) = 0.
• Hech qanday RF yo'q, ya'ni B_xy' = 0.
• Aylanadigan mos yozuvlar doirasi burchak chastotasi Ω = with bilan aylanadi₀.

Keyin aylanadigan mos yozuvlar tizimida uzunlamasına yadro magnitlanishi uchun harakat tenglamasi, M_z(t) quyidagilarni soddalashtiradi:

${ displaystyle { frac {dM_ {z} (t)} {dt}} = - { frac {M_ {z} (t) -M_ {z, mathrm {eq}}} {T_ {1}} }}$

Bu chiziqli oddiy differentsial tenglama va uning echimi

${ displaystyle M_ {z} (t) = M_ {z, mathrm {eq}} - [M_ {z, mathrm {eq}} -M_ {z} (0)] e ^ {- t / T_ { 1}}}$

qayerda M_z(0) - bu vaqt ichida aylanadigan freymda uzunlamasına yadro magnitlanishi t = 0. Bu differentsial tenglama uchun boshlang'ich shart.

90 va 180 ° chastotali impulslar

Faraz qiling:

• Yadro magnitlanishi doimiy tashqi magnit maydonga ta'sir qiladi z yo'nalish B_z′(t) = B_z(t) = B₀. Shunday qilib ω₀ = γB₀ va ΔB_z(t) = 0.
• Da t = 0 doimiy amplituda va chastotali D chastotali impuls₀ qo'llaniladi. Anavi B '_xy(t) = B '_xy doimiy. Ushbu impulsning davomiyligi τ.
• Aylanadigan mos yozuvlar doirasi burchak chastotasi Ω = with bilan aylanadi₀.
• T₁ va T₂ → ∞. Amalda bu τ τ degan ma'noni anglatadi T₁ va T₂.

Keyin 0 for uchun t ≤ τ:

${ displaystyle { begin {aligned} { frac {dM_ {xy} '(t)} {dt}} = i gamma B_ {xy}' M_ {z} (t) end {aligned}}}$

${ displaystyle { frac {dM_ {z} (t)} {dt}} = i { frac { gamma} {2}} left (M '_ {xy} (t) { overline {B') _ {xy}}} - { overline {M '_ {xy}}} (t) B' _ {xy} right)}$

Shuningdek qarang

• The Blox-Torrey tenglamasi magnitlanishni diffuziya bilan uzatilishi tufayli qo'shilgan atamalarni o'z ichiga olgan Bloch tenglamalarini umumlashtirishdir.^[2]

Adabiyotlar

Qo'shimcha o'qish

• Charlz Kittel, Qattiq jismlar fizikasiga kirish, John Wiley & Sons, 8-nashr (2004), ISBN  978-0-471-41526-8. 13-bob Magnit-rezonansga bag'ishlangan.