Boltsman-Matano tahlili - Boltzmann–Matano analysis

The Boltsman-Matano usuli konvertatsiya qilish uchun ishlatiladi qisman differentsial tenglama natijasida hosil bo'lgan Fikning diffuziya qonuni osonroq hal qilingan oddiy differentsial tenglama, keyin hisoblash uchun qo'llanilishi mumkin diffuziya koeffitsienti konsentratsiya funktsiyasi sifatida.

Lyudvig Boltsman ustida ishlagan Fick Oddiy differentsial tenglamaga aylantirishning ikkinchi qonuni, holbuki Chujiro Matano diffuziya juftlari bilan tajribalar o'tkazdi va diffuziya koeffitsientlarini metall qotishmalaridagi kontsentratsiya funktsiyasi sifatida hisoblab chiqdi.^[1] Xususan, Matano A atomlarining B atomli kristalli panjaraga tarqalish tezligi B panjarada bo'lgan A atomlar miqdoriga bog'liqligini isbotladi.

Klassik Boltsman-Matano usulining ahamiyati konsentratsiya-masofadagi ma'lumotlardan diffuziviyalarni chiqarib olish qobiliyatidan iborat. Sifatida tanilgan ushbu usullar teskari usullar, ikkalasi ham zamonaviy hisoblash texnikasi yordamida ishonchli, qulay va aniq ekanligini isbotladilar.

Boltsmanning o'zgarishi

Boltsmanning o'zgarishi Fikning ikkinchi qonunini osongina echiladigan oddiy differentsial tenglamaga aylantiradi. Diffuziya koeffitsientini qabul qilish D. bu umuman konsentratsiya funktsiyasi v, Fikning ikkinchi qonuni

${ displaystyle { frac { kısalt c} { qismli t}} = { frac { qismli} { qismli x}} pastki chiziq { chap [D (c) { frac { qismli c} { qisman x}} o'ng]} _ { text {flux}},}$

qayerda t vaqt, va x masofa.

Boltsmanning o'zgarishi o'zgaruvchini kiritishdan iborat ξ, ning birikmasi sifatida aniqlangan t va x:

${ displaystyle xi = { frac {x} {2 { sqrt {t}}}}.}$

Ning qisman hosilalari ξ ular:

${ displaystyle { frac { kısmi xi} { qismli t}} = - { frac {x} {4t ^ {3/2}}} = - { frac { xi} {2t}}, }$

${ displaystyle { frac { kısmi xi} { qismli x}} = { frac {1} {2 { sqrt {t}}}}.}$

Tanishtirmoq ξ Fik qonunida uning qisman hosilalarini quyidagicha ifodalaymiz ξyordamida zanjir qoidasi:

${ displaystyle { frac { qismli c} { qismli t}} = { frac { qismli c} { qismli xi}} { frac { qismli xi} { qismli t}} = - { frac { xi} {2t}} { frac { qismli c} { qismli xi}},}$

${ displaystyle { frac { qismli c} { qismli x}} = { frac { qismli c} { qismli xi}} { frac { qismli xi} { qismli x}} = { frac {1} {2 { sqrt {t}}}} { frac { qismli c} { qismli xi}}.}$

Ushbu iboralarni Fik qonuniga kiritish quyidagi o'zgartirilgan shaklni hosil qiladi:

${ displaystyle - { frac { xi} {2t}} { frac { qismli c} { qismli xi}} = { frac {1} {2 { sqrt {t}}}} { frac { qismli} { qismli x}} chap [D (c) { frac { qismli c} { qismli xi}} o'ng].}$

Vaqt o'zgaruvchisi o'ng tomonda qanday qilib qisman hosiladan tashqariga chiqarilishi mumkinligiga e'tibor bering, chunki ikkinchisi faqat o'zgaruvchiga tegishli x.

Endi oxirgi havolani olib tashlash mumkin x yana yuqoridagi zanjir qoidasini olish uchun ishlatilgan ∂ξ / ∂x:

${ displaystyle - { frac { xi} {2t}} { frac { qismli c} { qismli xi}} = { frac {1} {4t}} { frac { qismli} { qisman xi}} chap [D (c) { frac { qisman c} { qisman xi}} o'ng].}$

Ta'rifidagi tegishli tanlov tufayli ξ, vaqt o'zgaruvchisi t endi ham yo'q bo'lib ketishi mumkin ξ endi oddiy differentsial tenglama bo'lgan tenglamadagi yagona o'zgaruvchi sifatida:

${ displaystyle -2 xi { frac { mathrm {d} c} { mathrm {d} xi}} = { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} xi}} chap [D (c) { frac { mathrm {d} c} { mathrm {d} xi}} o'ng].}$

Ushbu shaklni raqamli ravishda hal qilish ancha osonlashadi va faqat orqaga almashtirishni amalga oshirish kerak t yoki x ning ta'rifiga ξ boshqa o'zgaruvchining qiymatini topish uchun.

Parabolik qonun

Oldingi tenglamani kuzatish, a ahamiyatsiz echim ishi uchun topilgan dv/ dξ = 0, ya'ni kontsentratsiya doimiy ravishda tugaydi ξ.Bu kontsentratsiyaning oldinga siljishi vaqtning kvadrat ildiziga mutanosib deb talqin qilinishi mumkin (${ displaystyle x propto { sqrt {t}}}$), yoki teng ravishda, masofa kvadratiga mutanosib ravishda ma'lum joyga etib kelish uchun kontsentratsiya jabhasi uchun zarur bo'lgan vaqtgacha (${ displaystyle t propto x ^ {2}}$); kvadrat atama nom beradi parabolik qonun.^[2]

Matanoning usuli

Chuijiro Matano Boltzmanning transformatsiyasini diffuziya koeffitsientlarini metall qotishmalaridagi kontsentratsiya funktsiyasi sifatida hisoblash usulini qo'llagan holda qo'llagan. Har xil konsentratsiyali ikkita qotishma aloqada bo'ladi va tavlangan ma'lum bir vaqt uchun ma'lum bir haroratda t, odatda bir necha soat; keyin namuna atrof-muhit haroratiga qadar sovutiladi va konsentratsiya profili deyarli "muzlatiladi". Konsentratsiya profili v vaqtida t keyin funktsiyasi sifatida chiqarilishi mumkin x muvofiqlashtirish.

Matano yozuvida ikkita konsentratsiya quyidagicha ko'rsatilgan v_L va v_R (L va R chapga va o'ngga, aksariyat diagrammalarda ko'rsatilgandek), bu taxminiy taxmin bilan v_L > v_R; ammo bu juda zarur emas, chunki formulalar ham mavjud v_R Boshlang'ich shartlar:

${ displaystyle c = c_ {L} qquad for all x <0}$

${ displaystyle c = c_ {R} qquad forall x> 0}$

Bundan tashqari, ikkala tomonning qotishmalari cheksizgacha cho'zilib ketadi deb taxmin qilinadi, ya'ni amalda ular etarlicha katta bo'lib, ularning boshqa uchlaridagi kontsentratsiyaga eksperimentning butun davomiyligi ta'sir qilmaydi.

Ekstraktsiya qilish D. yuqoridagi Boltsmanning formulasidan biz uni birlashtiramiz ξ= + ∞, qaerda v=v_R har doim, umumiy uchun ξ^*; biz darhol soddalashtirishimiz mumkinξva o'zgaruvchilar o'zgarishi bilan biz quyidagilarni olamiz:

${ displaystyle -2 int _ {c_ {R}} ^ {c ^ {*}} xi mathrm {d} c = int _ {c = c_ {R}} ^ {c = c ^ {* }} mathrm {d} chap [D (c) chap ({ frac { mathrm {d} c} { mathrm {d} xi}} o'ng) o'ng]}$

Biz tarjima qilishimiz mumkin ξ uning ta'rifiga qaytaring va t integrallardan chiqarilgan atamalar, kabi t doimiy va Matano usulida tavlanish vaqti sifatida berilgan; o'ng tomonda, integraldan ajratish ahamiyatsiz va ta'rifdan kelib chiqadi.

${ displaystyle - { frac {1} {2t}} int _ {c_ {R}} ^ {c ^ {*}} x mathrm {d} c = left [D (c) left ({ frac { mathrm {d} c} { mathrm {d} x}} right) right] _ {c = c_ {R}} ^ {c = c ^ {*}}}$

Biz buni bilamiz dv/ dx → 0 sifatida v → v_R, ya'ni kontsentratsiya egri chizig'i konsentratsiya qiymatiga yaqinlashganda "tekislanadi". Keyin quyidagilarni o'zgartirishimiz mumkin:

${ displaystyle D (c ^ {*}) = - { frac {1} {2t}} { frac { int _ {c_ {R}} ^ {c ^ {*}} x mathrm {d} c} {( mathrm {d} c / mathrm {d} x) _ {c = c ^ {*}}}}}$

Konsentratsiya profilini bilish c (x) tavlash vaqtida tva buni teskari deb taxmin qilish mumkin x (c), so'ngra orasidagi barcha konsentrasiyalar uchun diffuziya koeffitsientini hisoblashimiz mumkin v_R va v_L.

Matano interfeysi

Oxirgi formulada bitta muhim kamchilik mavjud: unga muvofiq ma'lumotnoma haqida ma'lumot berilmagan x Boltsmanning konvertatsiyasi aniq ma'lumotisiz yaxshi ishlaganligi sababli, uni kiritish kerak emas edi x; foydalanish paytida ham Botsmanning o'zgarishi sodir bo'lishini tekshirish oson x-X_M oddiy o'rniga x.

X_M ko'pincha Matano interfeysi sifatida ko'rsatiladi va umuman tasodif emas x= 0: beri D. konsentratsiyasi bilan umumiy o'zgaruvchan bo'ladi v, konsentratsiyali profil shartli ravishda nosimmetrik emas X_M for ifodasida D (v^*) Yuqorida, ammo qiymatini ko'rsatadigan noaniqlikni keltirib chiqaradi D. to'liq o'zboshimchalik funktsiyasi X_M biz tanlaymiz.

X_Mammo, jismoniy cheklovlar tufayli faqat bitta qiymatni qabul qilishi mumkin. Maxsus atama muddati dv/ dx nolga o'tadi v → v_L (kontsentratsiya profili tekislanganda), numeratordagi integral ham xuddi shunday sharoitda nolga tenglashishi kerak. Agar bunday bo'lmasa D (v_L) jismonan mazmunli bo'lmagan cheksizlikka moyil bo'ladi. E'tibor bering, qat'iyan aytganda, bu bunga kafolat bermaydi D. cheksizlikka moyil emas, lekin buni ta'minlash uchun zarur shartlardan biri hisoblanadi.

${ displaystyle 0 = int _ {c_ {R}} ^ {c_ {L}} (x-X_ {M}) mathrm {d} c}$

${ displaystyle X_ {M} = { frac {1} {c_ {L} -c_ {R}}} int _ {c_ {R}} ^ {c_ {L}} x mathrm {d} c}$

Boshqa so'zlar bilan aytganda, X_M konsentratsiyalar bo'yicha tortilgan o'rtacha pozitsiyadir va konsentratsiya profilidan uni shaklga qaytarib beradigan holda osongina topish mumkin x (c).

Manbalar

• M. E. Glikksman, Qattiq jismlardagi diffuziya: maydon nazariyasi, qattiq holat tamoyillari va qo'llanilishi, Wiley, Nyu-York, 2000 yil.
• Matano, Chujiro. "Qattiq metallarning diffuziya-koeffitsientlari va kontsentratsiyalari o'rtasidagi munosabatlar to'g'risida (nikel-mis tizimi)". Yaponiya fizika jurnali. 1933 yil 16-yanvar.

Adabiyotlar