Britaniya bayrog'i teoremasi - British flag theorem

Buyuk Britaniyaning bayroq teoremasiga ko'ra, qizil kvadratlar ko'k maydonlar bilan umumiy maydonga teng

Buyuk Britaniyaning kosmosdagi bayroq teoremasi, qizil kvadratlar ko'k maydonlar bilan bir xil umumiy maydonga ega

Yilda Evklid geometriyasi, Britaniya bayrog'i teoremasi agar bu nuqta bo'lsa P ichida tanlangan to'rtburchak A B C D keyin. kvadratlari yig‘indisi Evklid masofalari dan P to'rtburchakning qarama-qarshi ikki burchagiga qarama-qarshi ikkita burchakning yig'indisi teng bo'ladi.^[1]^[2]^[3]Sifatida tenglama:

{displaystyle AP ^ {2} + CP ^ {2} = BP ^ {2} + DP ^ {2}.,}

Teorema to'rtburchaklar tashqarisidagi nuqtalarga va umuman olganda nuqtadan masofalarga ham tegishli Evklid fazosi bo'shliqqa o'rnatilgan to'rtburchakning burchaklariga.^[4] Umuman olganda, agar nuqtadan masofalar kvadratlarining yig'indisi bo'lsa P a ning qarama-qarshi ikki juft juftiga parallelogram taqqoslanadi, ikkala summa umuman teng bo'lmaydi, lekin ikkala yig'indining farqi faqat parallelogramning shakliga bog'liq bo'ladi va tanlovga bog'liq emas P.^[5]

Teoremani Pifagor teoremasining umumlashtirilishi deb ham hisoblash mumkin. Nuqtani joylashtirish P to'rtburchakning to'rtta vertikalidan har qandayida to'rtburchaklar diagonali kvadrati Pifagor teoremasi bo'lgan to'rtburchakning kengligi va uzunligi kvadratlarining yig'indisiga teng bo'ladi.

Isbot

Isbot uchun rasm

Tushirish perpendikulyar chiziqlar nuqtadan P to'rtburchaklar tomonlariga, yig'ilish tomonlariga AB, Miloddan avvalgi, CDva Mil nuqtalarda V, X, Y va Z mos ravishda, rasmda ko'rsatilgandek; bu to'rt nuqta WXYZ tepaliklarini hosil qiling ortdiagonal to'rtburchak.Ni qo'llash orqali Pifagor teoremasi uchun to'g'ri uchburchak AWPva buni kuzatish WP = AZ, bundan kelib chiqadiki

${displaystyle AP ^ {2} = AW ^ {2} + WP ^ {2} = AW ^ {2} + AZ ^ {2}}$

va shunga o'xshash argument bo'yicha masofalar uzunliklarining kvadratlari P qolgan uchta burchakka quyidagicha hisoblash mumkin

${displaystyle PC ^ {2} = WB ^ {2} + ZD ^ {2},}$
${displaystyle BP ^ {2} = WB ^ {2} + AZ ^ {2},}$ va
${displaystyle PD ^ {2} = ZD ^ {2} + AW ^ {2}.}$

Shuning uchun:

{displaystyle {egin {aligned} AP ^ {2} + PC ^ {2} & = left (AW ^ {2} + AZ ^ {2} ight) + left (WB ^ {2} + ZD ^ {2} ight ) [4pt] & = left (WB ^ {2} + AZ ^ {2} ight) + chap (ZD ^ {2} + AW ^ {2} ight) [4pt] & = BP ^ {2} + PD ^ {2} oxiri {hizalanmış}}}

Nomlash

Bayrog'i Birlashgan Qirollik.

Ushbu teorema o'z nomini qachon bo'lganligi sababli oladi chiziq segmentlari dan P to'rtburchakning burchaklariga, dalilda ishlatiladigan perpendikulyar chiziqlar bilan birga chizilgan, tugallangan rasm biroz a ga o'xshaydi Ittifoq bayrog'i.

Adabiyotlar

^ Lardner, Dionisiy (1848), Evklid elementlarining birinchi olti kitobi, H.G.Bon, p. 87. Lardner ushbu teoremani II kitob natijalaridan "xulosa qilinishi mumkin bo'lgan eng foydali va ajoyib teoremalar" deb ataydi. Evklid elementlari.
^ Yosh, Jon Uesli; Morgan, Frank Millett (1917), Boshlang'ich matematik tahlil, Macmillan kompaniyasi, p. 304.
^ B-Cher, Maksim (1915), Samolyot analitik geometriyasi: differentsial hisoblash bo'yicha kirish boblari bilan, H. Xolt va Kompaniya, p. 17.
^ Garvard-MIT matematik turniri echimlari, Muammo 28.
^ Xadamard, Jak (2008), Geometriya darslari: tekislik geometriyasi, Amerika matematik jamiyati, p. 136, ISBN 978-0-8218-4367-3.

Qo'shimcha o'qish

Nguyen Min Xa, Dao Thanh Oai: Britaniya bayrog'i teoremasining qiziqarli qo'llanmasi. Klassik va zamonaviy geometriyalar bo'yicha ilg'or tadqiqotlarning global jurnali, 4-jild (2015), 1-son, 31-bet.
Martin Gardner, Dana Richards (tahr.): Qisqa jumboq va muammolarning ulkan kitobi. V. V. Norton, 2006 yil, ISBN 978-0-393-06114-7, 147, 159 betlar (6.16 muammo)

Tashqi havolalar

Britaniya bayrog'i teoremasi artofproblemsolving.com saytida
Microsoft-ning to'rtburchaklar burchaklari bilan intervyu savolini hal qila olasizmi? (video, 5:41 daqiqa)

[1] Lardner, Dionisiy (1848), Evklid elementlarining birinchi olti kitobi, H.G.Bon, p. 87. Lardner ushbu teoremani II kitob natijalaridan "xulosa qilinishi mumkin bo'lgan eng foydali va ajoyib teoremalar" deb ataydi. Evklid elementlari.

[2] Yosh, Jon Uesli; Morgan, Frank Millett (1917), Boshlang'ich matematik tahlil, Macmillan kompaniyasi, p. 304.

[3] B-Cher, Maksim (1915), Samolyot analitik geometriyasi: differentsial hisoblash bo'yicha kirish boblari bilan, H. Xolt va Kompaniya, p. 17.

[4] Garvard-MIT matematik turniri echimlari, Muammo 28.

[5] Xadamard, Jak (2008), Geometriya darslari: tekislik geometriyasi, Amerika matematik jamiyati, p. 136, ISBN 978-0-8218-4367-3.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]