Kassini va kataloniyaliklarning o'ziga xosliklari - Cassini and Catalan identities

Kassini kimligi (ba'zan chaqiriladi Simsonning shaxsi) va Kataloniyalik shaxs bor matematik identifikatorlar uchun Fibonachchi raqamlari. Kassini kimligi, maxsus holat Kataloniyalik shaxs, deb ta'kidlaydi nFibonachchi raqami,

{ displaystyle F_ {n-1} F_ {n + 1} -F_ {n} ^ {2} = (- 1) ^ {n}.}

Kataloniyalik shaxsiyat buni umumlashtiradi:

{ displaystyle F_ {n} ^ {2} -F_ {n-r} F_ {n + r} = (- 1) ^ {n-r} F_ {r} ^ {2}.}

Vajdaning shaxsiyati buni umumlashtiradi:

{ displaystyle F_ {n + i} F_ {n + j} -F_ {n} F_ {n + i + j} = (- 1) ^ {n} F_ {i} F_ {j}.}

Tarix

Kassini formulasi 1680 yilda kashf etilgan Jovanni Domeniko Kassini, keyin Parij rasadxonasining direktori va mustaqil ravishda isbotlangan Robert Simson (1753).^[1] Ammo Yoxannes Kepler taxminan 1608 yilda kimligini bilar edi.^[2] Evgen Charlz Kataloniya 1879 yilda uning nomini olgan shaxsni topdi.^[1] Britaniyalik matematik Stiven Vayda (1901–95) Fibonachchi raqamlari to'g'risida kitob nashr qildi (Fibonachchi va Lukas raqamlari va oltin bo'lim: nazariya va qo'llanmalar, 1989), unda uning ismini ko'rsatadigan shaxsiyat mavjud.^[3]^[4] Ammo shaxsiyat 1960 yilda Dustan Everman tomonidan 1396 yilda paydo bo'lgan muammo sifatida nashr etilgan Amerika matematikasi oyligi.^[1]

Matritsa nazariyasi bo'yicha isbot

Kassini kimligini tasdiqlovchi tezkor dalil keltirilishi mumkin (Knuth 1997 yil, p. 81) ni tanib tenglamaning chap tomoni kabi aniqlovchi 2 × 2 ning matritsa Fibonachchi raqamlari. Natija deyarli matritsa "" deb ko'rilganda paydo bo'ladi $n$ determ1 determinantli matritsaning kuchi:

{ displaystyle F_ {n-1} F_ {n + 1} -F_ {n} ^ {2} = det left [{ begin {matrix} F_ {n + 1} & F_ {n} F_ { n} & F_ {n-1} end {matrix}} right] = det left [{ begin {matrix} 1 & 1 1 & 0 end {matrix}} right] ^ {n} = left ( det left [{ begin {matrix} 1 & 1 1 & 0 end {matrix}} right] right) ^ {n} = (- 1) ^ {n}.}

Izohlar

^ ^a ^b ^v Tomas Koshi: Ilovalar bilan Fibonachchi va Lukas raqamlari. Vili, 2001 yil ISBN 9781118031315, 74-75, 83, 88-betlar
^ Miodrag Petkovich: Buyuk matematiklarning mashhur jumboqlari. AMS, 2009 yil ISBN 9780821848142, S. 30-31
^ Duglas B. G'arb: Kombinatorial matematika. Kembrij universiteti matbuoti, 2020, p. 61
^ Stiven Vadja: Fibonachchi va Lukas raqamlari va oltin bo'lim: nazariya va qo'llanmalar. Dover, 2008 yil, ISBN 978-0486462769, p. 28 (1989 yil Ellis Xorvudda nashr etilgan asl nashr)

Adabiyotlar

Knuth, Donald Ervin (1997), Kompyuter dasturlash san'ati, 1-jild: Asosiy algoritmlar, Kompyuter dasturlash san'ati, 1 (3-nashr), Reading, Mass: Addison-Uesli, ISBN 0-201-89683-4

Simson, R. (1753). "Albert Jirardning Simon Stevin asarlariga sharhidagi noaniq parchaning izohi". London Qirollik Jamiyatining falsafiy operatsiyalari. 48 (0): 368–376. doi:10.1098 / rstl.1753.0056.

Verman, M.; Zayberberger, D. (1986). "Kassini Fibonachchi kimligini isbotlovchi dalil". Diskret matematika. 58 (1): 109. doi:10.1016 / 0012-365X (86) 90194-9. JANOB 0820846.

Tashqi havolalar

[Koshy-1] v Tomas Koshi: Ilovalar bilan Fibonachchi va Lukas raqamlari. Vili, 2001 yil ISBN 9781118031315, 74-75, 83, 88-betlar

[2] Miodrag Petkovich: Buyuk matematiklarning mashhur jumboqlari. AMS, 2009 yil ISBN 9780821848142, S. 30-31

[West-3] Duglas B. G'arb: Kombinatorial matematika. Kembrij universiteti matbuoti, 2020, p. 61

[4] Stiven Vadja: Fibonachchi va Lukas raqamlari va oltin bo'lim: nazariya va qo'llanmalar. Dover, 2008 yil, ISBN 978-0486462769, p. 28 (1989 yil Ellis Xorvudda nashr etilgan asl nashr)

[1]

[2]

[3]

[4]