Belgilar xilma-xilligi - Character variety

Bu maqola uchun qo'shimcha iqtiboslar kerak tekshirish. Iltimos yordam bering ushbu maqolani yaxshilang tomonidan ishonchli manbalarga iqtiboslarni qo'shish. Ma'lumot manbasi bo'lmagan material shubha ostiga olinishi va olib tashlanishi mumkin. Manbalarni toping: "Belgilar xilma-xilligi"  – Yangiliklar  · gazetalar  · kitoblar  · olim  · JSTOR (2017 yil yanvar) (Ushbu shablon xabarini qanday va qachon olib tashlashni bilib oling)

In matematika ning modullar nazariyasi, berilgan algebraik, reduktiv, Yolg'on guruh ${ displaystyle G}$ va a yakuniy hosil qilingan guruh ${ displaystyle pi}$, ${ displaystyle G}$-belgilar xilma-xilligi ${ displaystyle pi}$ bo'shliq ekvivalentlik darslari ning guruh homomorfizmlari

${ displaystyle { mathfrak {R}} = operatorname {Hom} ( pi, G) / ! sim ,}$.

Aniqrog'i, ${ displaystyle G}$ harakat qiladi ${ displaystyle { mathfrak {R}}}$ tomonidan konjugatsiya, va ikkita gomomorfizm ekvivalent deb belgilanadi (belgilanadi ${ displaystyle sim}$) agar va faqat ular bo'lsa orbitada yopilish joylari kesishadi. Bu konjugatsiya orbitalari to'plamidagi eng zaif ekvivalentlik munosabati bo'lib, a hosil qiladi Hausdorff maydoni.

Formulyatsiya

Rasmiy ravishda va qachon algebraik guruh orqali belgilanadi murakkab sonlar ${ displaystyle mathbb {C}}$, ${ displaystyle G}$- belgi xilma-xilligi asosiy ideallar spektri ning invariantlarning halqasi (ya'ni GIT miqdori ).

${ displaystyle mathbb {C} [ operatorname {Hom} ( pi, G)] ^ {G}}$.

Bu erda odatda algebraik tarzda yopiq deb hisoblash mumkin dalalar asosiy xarakterli. Ushbu umumiylikda belgilar navlari faqat algebraik to'plamlar bo'lib, haqiqiy navlar emas. Texnik muammolarga duch kelmaslik uchun ko'pincha ajratilgan bo'sh joyni quyidagilarga bo'lish orqali ko'rib chiqamiz radikal 0 dan (yo'q qilinmoqda nilpotentslar ). Biroq, bu ham qisqartirilmaydigan bo'shliqni keltirib chiqarmaydi. Bundan tashqari, agar biz murakkab guruhni haqiqiy guruh bilan almashtirsak, biz hatto algebraik to'plamni ham ololmaymiz. Xususan, a maksimal ixcham kichik guruh odatda a beradi yarim algebraik to'plam. Boshqa tomondan, har doim ${ displaystyle pi}$ bepul, biz doimo halol xilma-xillikni olamiz; ammo bu birlikdir.

Misollar

Masalan, agar ${ displaystyle G = mathrm {SL} (2, mathbb {C})}$ va ${ displaystyle pi}$ Ikkinchi darajadan xoli, keyin belgi xilma-xilligi ${ displaystyle mathbb {C} ^ {3}}$, chunki teoremasi bo'yicha Robert Frike, Feliks Klayn va Anri G. Vogt, uning koordinatali halqasi 3 o'zgaruvchisidagi murakkab polinom halqasiga izomorf, ${ displaystyle mathbb {C} [x, y, z]}$. Cheklash ${ displaystyle G = mathrm {SU} (2)}$ yopiq haqiqiy uch o'lchovli to'pni beradi (yarim algebraik, ammo algebraik emas).

Vogt va Frikke-Klayn tomonidan o'rganilgan yana bir misol - bu ${ displaystyle G = mathrm {SL} (2, mathbb {C})}$ va ${ displaystyle pi}$ uchinchi darajadan xoli. Shunda belgining xilma-xilligi yuqori sirt uchun izomorfdir ${ displaystyle mathbb {C} ^ {7}}$ tenglama bilan berilgan ${ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} + d ^ {2} + x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} - (ab + cd) x- (ad + bc) y- (ac + bd) z + abcd + xyz-4 = 0}$.

Variantlar

Belgilar xilma-xilligining bunday tuzilishi, albatta, bir xil emas Mark Kuller va Piter Shalen (izlarni baholash natijasida hosil bo'lgan), garchi qachon bo'lsa ham ${ displaystyle G = mathrm {SL} (n, mathbb {C})}$ chunki ular rozi bo'lishadi Klaudio Procesi bu holda invariantlarning halqasi aslida faqat izlar hosil bo'lishini ko'rsatdi. Iz funktsiyalari barcha ichki avtomorfizmlar tomonidan o'zgarmas bo'lganligi sababli, Culler-Shalen konstruktsiyasi asosan biz harakat qilyapmiz deb taxmin qiladi ${ displaystyle G = mathrm {SL} (n, mathbb {C})}$ kuni ${ displaystyle { mathfrak {R}} = operatorname {Hom} ( pi, H)}$ xatto .. bo'lganda ham${ displaystyle G not = H}$.^{[tushuntirish kerak ]}

Masalan, qachon ${ displaystyle pi}$ a bepul guruh daraja 2 va ${ displaystyle G = mathrm {SO} (2)}$, konjugatsiya harakati ahamiyatsiz va ${ displaystyle G}$- xarakterli xilma - torus

${ displaystyle S ^ {1} times S ^ {1}.}$

Ammo iz algebra - bu juda kichik subalgebra (invariantlar kamroq). Bu Torlda Kuller-Shalen xarakterlarining xilma-xilligini olish uchun hisobga olinishi kerak bo'lgan ta'sirchan harakatni ta'minlaydi. Ushbu torusdagi involyutsiya 2 ta shar hosil qiladi. Gap shundaki ${ displaystyle mathrm {SO} (2)}$-konjugatsiya barcha nuqtalar bir-biridan farq qiladi, ammo iz turli diagonal elementlarga ega elementlarni aniqlaydi (involyatsiya).

Geometriyaga ulanish

Ushbu modul bo'shliqlari va ning moduli bo'shliqlari o'rtasida o'zaro bog'liqlik mavjud asosiy to'plamlar, vektorli to'plamlar, Xiggs to'plamlari va topologik bo'shliqlardagi geometrik tuzilmalar, umuman olganda, ushbu toifadagi hech bo'lmaganda mahalliy ekvivalent ob'ektlarning konjugatsiya sinflari tomonidan parametrlanganligini kuzatish natijasida berilgan. holonomiya homomorfizmlar. Boshqacha qilib aytganda, asosiy bo'shliqqa nisbatan ${ displaystyle M}$ to'plamlar yoki geometrik tuzilmalar uchun belgilangan topologik bo'shliq uchun holonomiya homomorfizmi bu guruh homomorfizmi ${ displaystyle pi _ {1} (M)}$ tuzilish guruhiga ${ displaystyle G}$ to'plamdan.

Tarmoqli modullarga ulanish

Belgilar xilma-xilligining koordinatali halqasi bog'liq edi skein modullari yilda tugun nazariyasi.^[1][2] Skein moduli taxminan a deformatsiya (yoki kvantlash) belgilar turini. Bu 2 + 1 o'lchamdagi topologik kvant maydon nazariyasi bilan chambarchas bog'liq.

Shuningdek qarang

• Geometrik o'zgarmas nazariya
• Belgilar to'plami

Adabiyotlar