Dumaloq konvulsiya - Circular convolution

Dumaloq konvulsiya, shuningdek, nomi bilan tanilgan tsiklik konvulsiya, bu alohida holat davriy konvolyutsiya, bu konversiya bir xil davrga ega bo'lgan ikki davriy funktsiyalarning. Davriy konvolyutsiya, masalan, diskret vaqtdagi Furye konvertatsiyasi (DTFT). Xususan, ikkita diskret ketma-ketlikdagi mahsulotning DTFT - bu alohida ketma-ketliklar DTFTlarining davriy konvolatsiyasi. Va har bir DTFT a davriy yig'ish uzluksiz Furye konversiyasining funktsiyasi (qarang. qarang DTFT § ta'rifi ). DTFTlar odatda chastotaning uzluksiz funktsiyalari bo'lishiga qaramay, davriy va aylana konvulsiyasi tushunchalari ma'lumotlarning diskret ketma-ketliklariga ham bevosita taalluqlidir. Shu nuqtai nazardan, dumaloq konvulsiya ma'lum turdagi umumiy filtrlash operatsiyalari samaradorligini oshirishda muhim rol o'ynaydi.

Ta'riflar

The davriy konvolyutsiya ikkita T davriy funktsiyasi, ${ displaystyle h_ {T} (t)}$ va ${ displaystyle x_ {T} (t)}$ sifatida belgilanishi mumkin:

{ displaystyle int _ {t_ {o}} ^ {t_ {o} + T} h_ {T} ( tau) cdot x_ {T} (t- tau) , d tau,}

^[1]^[2]

qayerda t_o ixtiyoriy parametrdir. Normal belgisi bo'yicha muqobil ta'rif chiziqli yoki aperiodik konvolutsiya, ifodalashdan kelib chiqadi ${ displaystyle h_ {T} (t)}$ va ${ displaystyle x_ {T} (t)}$ kabi davriy yig'ilishlar aperiodik komponentlarning ${ displaystyle h}$ va ${ displaystyle x}$ , ya'ni:

{ displaystyle h_ {T} (t) triangleq sum _ {k = - infty} ^ { infty} h (t-kT) = sum _ {k = - infty} ^ { infty } h (t + kT).}

Keyin:

{ displaystyle int _ {t_ {o}} ^ {t_ {o} + T} h_ {T} ( tau) cdot x_ {T} (t- tau) , d tau = int _ {- infty} ^ { infty} h ( tau) cdot x_ {T} (t- tau) , d tau triangleq (h * x_ {T}) (t) = (x * h_ {T}) (t).}

^[A]

Ikkala shaklni ham chaqirish mumkin davriy konvolyutsiya.^[a] Atama dumaloq konvulsiya^[2]^[3] ikkalasining nol bo'lmagan qismlarini cheklashning muhim maxsus holatidan kelib chiqadi ${ displaystyle h}$ va ${ displaystyle x}$ intervalgacha ${ displaystyle [0, T].}$ Keyin davriy summa a ga aylanadi davriy kengayish^[b], bu ham sifatida ifodalanishi mumkin dairesel funktsiya:

{ displaystyle x_ {T} (t) = x (t _ { mathrm {mod} T}), quad t in mathbb {R} ,}

(har qanday haqiqiy raqam )^[c]

Va integratsiya chegaralari funktsiya uzunligini pasaytiradi ${ displaystyle h}$ :

{ displaystyle (h * x_ {T}) (t) = int _ {0} ^ {T} h ( tau) cdot x ((t- tau) _ { mathrm {mod} T} ) d tau.}

^[d]^[e]

Alohida ketma-ketliklar

Xuddi shunday, alohida ketma-ketliklar va parametr uchun N, biz yozishimiz mumkin dumaloq konvulsiya aperiodic funktsiyalar ${ displaystyle h}$ va ${ displaystyle x}$ kabi:

{ displaystyle (h * x _ {_ {N}}) [n] triangleq sum _ {m = - infty} ^ { infty} h [m] cdot underbrace {x _ {_ {N }} [nm]} _ { sum _ {k = - infty} ^ { infty} x [nm-kN]}}

Ushbu funktsiya N- davriy. Eng ko'pi bor N noyob qadriyatlar. Ikkala darajaning nolga teng bo'lmaganligi uchun maxsus holat x va h bor ≤ N, u kamaytirilishi mumkin matritsani ko'paytirish bu erda integral konvertatsiya yadrosi a sirkulant matritsa.

Misol

Dumaloq konvolyutsiyani FFT algoritmi bilan tezlashtirish mumkin, shuning uchun u ko'pincha chiziqli konvolutsiyalarni samarali hisoblash uchun FIR filtri bilan ishlatiladi. Ushbu grafikalar buning qanday mumkinligini ko'rsatib beradi. Shuni esda tutingki, kattaroq FFT kattaligi (N) # 6 grafigi # 3 ning barchasiga to'liq mos kelmasligini keltirib chiqaradigan takrorlanishni oldini oladi.

Rasmda katta amaliy qiziqish uyg'otdi. Ning davomiyligi x ketma-ketligi N (yoki kamroq), va muddati h ketma-ketlik sezilarli darajada kamroq. Shunda aylana konvulsiyasining ko'pgina qiymatlari qiymatlari bilan bir xildir x ∗ h, bu aslida kerakli natijadir h ketma-ketlik a cheklangan impulsli javob (FIR) filtri. Bundan tashqari, a yordamida dumaloq konvolyutsiyani hisoblash juda samarali tez Fourier konvertatsiyasi (FFT) algoritmi va dairesel konvulsiya teoremasi.

An bilan ishlash usullari ham mavjud x uchun amaliy qiymatdan uzunroq ketma-ketlik N. Ketma-ketlik segmentlarga bo'linadi (bloklar) va qayta ishlangan qismlar. Keyin filtrlangan segmentlar bir-biriga ehtiyotkorlik bilan biriktiriladi. Edge effektlari tomonidan yo'q qilinadi ustma-ust yoki kirish bloklari yoki chiqish bloklari. Uslublarni tushuntirish va taqqoslashga yordam berish uchun ularni ikkala tarkibida muhokama qilamiz h uzunligi 201 va FFT kattaligiN = 1024.

Kirish bloklari bir-birini qoplaydi

Ushbu usulda FFT o'lchamiga (1024) teng bo'lgan blok hajmi qo'llaniladi. Biz buni avval normal yoki chiziqli konversiya. Har bir blokda normal konvulsiya bajarilganda, filtr tufayli blok qirralarida ishga tushirish va parchalanish vaqtlari mavjud kechikish (200 namunalar). Konvolyutsiyaning faqat 824 ta chiqishi chekka ta'sirga ta'sir qilmaydi. Qolganlari tashlanadi yoki oddiygina hisoblanmaydi. Agar kirish bloklari yonma-yon bo'lsa, bu chiqishda bo'shliqlarga olib keladi. Bo'shliqlarning oldini olish uchun 200 ta namunadagi kirish bloklarini bir-biriga bog'lab qo'yish kerak. Bir ma'noda, har bir kirish blokidan 200 ta element "saqlanadi" va keyingi blokga o'tkaziladi. Ushbu usul deb nomlanadi bir-birini tejash,^[4] garchi biz keyingi ta'riflaydigan usul, chiqish namunalari bilan o'xshash "saqlash" ni talab qiladi.

824 ta ta'sirlanmagan DFT namunalarini hisoblash uchun FFT ishlatilganda, bizda ta'sirlangan namunalarni hisoblash mumkin emas, lekin etakchi va so'nggi chekka effektlar bir-birining ustiga o'ralgan va aylanma konvulsiya tufayli qo'shilgan. Binobarin, 1024 balli teskari FFT (IFFT) chiqishi atigi 200 ta chekka effekt namunalarini o'z ichiga oladi (ular bekor qilinadi) va ta'sirlanmagan 824 namunalar (ular saqlanadi). Buni tasvirlash uchun o'ngdagi rasmning to'rtinchi ramkasi vaqti-vaqti bilan (yoki "aylana") kengaytirilgan blokni tasvirlaydi va beshinchi ramka butun ketma-ketlikda bajarilgan chiziqli konvulsiyaning alohida qismlarini aks ettiradi. Yon effektlar - kengaytirilgan bloklarning hissalari asl blokning qo'shimchalari bilan qoplanadigan joy. Oxirgi ramka kompozitsion chiqishi bo'lib, yashil rangdagi qism ta'sirlanmagan qismni ifodalaydi.

Chiqish bloklari ustma-ust

Ushbu usul sifatida tanilgan ustma-ust qo'shish.^[4] Bizning misolimizda u 824 o'lchovli ulashgan kirish bloklarini va har birida 200 ta nolga teng namunalar bilan pedlarni ishlatadi. Keyin u ustma-ust tushadi va 1024 elementli chiqish bloklarini qo'shadi. Hech narsa bekor qilinmaydi, ammo keyingi blok bilan qo'shilish uchun har bir chiqish blokining 200 qiymatini "saqlash" kerak. Ikkala usul ham 1024 punktli IFFT bo'yicha atigi 824 ta namunani ilgari suradi, ammo bir-birini tejashda dastlabki nolga to'ldirish va yakuniy qo'shilishdan qochish mumkin.

Shuningdek qarang

Izohlar

^ Isbot:
${ displaystyle { begin {aligned} & int _ {- infty} ^ { infty} h ( tau) cdot x_ {T} (t- tau) , d tau = {} & sum _ {k = - infty} ^ { infty} left [ int _ {t_ {o} + kT} ^ {t_ {o} + (k + 1) T} h ( tau) cdot x_ {T} (t- tau) d tau right] { stackrel { tau rightarrow tau + kT} {=}} {} & sum _ {k = - infty} ^ { infty} left [ int _ {t_ {o}} ^ {t_ {o} + T} h ( tau + kT) cdot x_ {T} (t- tau -kT) d tau right] = {} & int _ {t_ {o}} ^ {t_ {o} + T} left [ sum _ {k = - infty} ^ { infty} h ( tau + kT) cdot underbrace {x_ {T} (t- tau -kT)} _ {X_ {T} (t- tau), { text {davriyligi bo'yicha}}} o'ng] d tau = {} & int _ {t_ {o}} ^ {t_ {o} + T} underbrace { left [ sum _ {k = - infty} ^ { infty} h ( tau +) kT) o'ng]} _ { triangleq h_ {T} ( tau)} cdot x_ {T} (t- tau) d tau end {hizalanmış}}}$

Sahifalar

^ Makgillem va Kuper, p 172 (4-6)
^ Makgillem va Kuper, p 183 (4-51)
^ Oppenxaym va Shafer, p 559 (8.59)
^ Oppenxaym va Shafer, p 571 (8.114), raqamli shaklda ko'rsatilgan
^ Makgillem va Kuper, p 171 (4-22), raqamli shaklda ko'rsatilgan

Adabiyotlar

^ Jeruchim, Mishel S.; Balaban, Filipp; Shanmugan, K. Sem (oktyabr 2000). Aloqa tizimlarini simulyatsiya qilish: modellashtirish, metodika va usullar (2-nashr). Nyu-York: Kluwer Academic Publishers. 73-74 betlar. ISBN 0-30-646267-2.
^ ^a ^b Udayashankara, V. (iyun 2010). Haqiqiy vaqtda raqamli signalni qayta ishlash. Hindiston: Prentice-Hall. p. 189. ISBN 978-8-12-034049-7.
^ Priemer, Roland (1991 yil iyul). Kirish signallarini qayta ishlash. Elektr va kompyuter texnikasi bo'yicha ilg'or seriyalar. 6. Teaneck, NJ: World Scientific Pub Co Inc., 286–289 betlar. ISBN 9971-50-919-9.
^ ^a ^b Rabiner, Lourens R.; Oltin, Bernard (1975). Raqamli signallarni qayta ishlash nazariyasi va qo'llanilishi. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall. 63-67 betlar. ISBN 0-13-914101-4.

Oppenxaym, Alan V.; Shafer, Ronald V.; Buck, Jon R. (1999). Diskret vaqt signalini qayta ishlash (2-nashr). Yuqori Saddle River, NJ: Prentice Hall. pp.548, 571. ISBN 0-13-754920-2. Shuningdek, bu erda mavjud https://d1.amobbs.com/bbs_upload782111/files_24/ourdev_523225.pdf
Makgillem, Kler D.; Kuper, Jorj R. (1984). Uzluksiz va diskret signal va tizim tahlili (2 nashr). Xolt, Raynxart va Uinston. ISBN 0-03-061703-0.

Qo'shimcha o'qish

Oppenxaym, Alan V.; Willsky, S. Hamid bilan (1998). Signallar va tizimlar. Pearson ta'limi. ISBN 0-13-814757-4.

[3] Isbot:
${ displaystyle { begin {aligned} & int _ {- infty} ^ { infty} h ( tau) cdot x_ {T} (t- tau) , d tau = {} & sum _ {k = - infty} ^ { infty} left [ int _ {t_ {o} + kT} ^ {t_ {o} + (k + 1) T} h ( tau) cdot x_ {T} (t- tau) d tau right] { stackrel { tau rightarrow tau + kT} {=}} {} & sum _ {k = - infty} ^ { infty} left [ int _ {t_ {o}} ^ {t_ {o} + T} h ( tau + kT) cdot x_ {T} (t- tau -kT) d tau right] = {} & int _ {t_ {o}} ^ {t_ {o} + T} left [ sum _ {k = - infty} ^ { infty} h ( tau + kT) cdot underbrace {x_ {T} (t- tau -kT)} _ {X_ {T} (t- tau), { text {davriyligi bo'yicha}}} o'ng] d tau = {} & int _ {t_ {o}} ^ {t_ {o} + T} underbrace { left [ sum _ {k = - infty} ^ { infty} h ( tau +) kT) o'ng]} _ { triangleq h_ {T} ( tau)} cdot x_ {T} (t- tau) d tau end {hizalanmış}}}$

[4] Makgillem va Kuper, p 172 (4-6)

[6] Makgillem va Kuper, p 183 (4-51)

[7] Oppenxaym va Shafer, p 559 (8.59)

[8] Oppenxaym va Shafer, p 571 (8.114), raqamli shaklda ko'rsatilgan

[9] Makgillem va Kuper, p 171 (4-22), raqamli shaklda ko'rsatilgan

[Jeruchim-1] Jeruchim, Mishel S.; Balaban, Filipp; Shanmugan, K. Sem (oktyabr 2000). Aloqa tizimlarini simulyatsiya qilish: modellashtirish, metodika va usullar (2-nashr). Nyu-York: Kluwer Academic Publishers. 73-74 betlar. ISBN 0-30-646267-2.

[Udayashankara-2] Udayashankara, V. (iyun 2010). Haqiqiy vaqtda raqamli signalni qayta ishlash. Hindiston: Prentice-Hall. p. 189. ISBN 978-8-12-034049-7.

[Priemer-5] Priemer, Roland (1991 yil iyul). Kirish signallarini qayta ishlash. Elektr va kompyuter texnikasi bo'yicha ilg'or seriyalar. 6. Teaneck, NJ: World Scientific Pub Co Inc., 286–289 betlar. ISBN 9971-50-919-9.

[Rabiner-10] Rabiner, Lourens R.; Oltin, Bernard (1975). Raqamli signallarni qayta ishlash nazariyasi va qo'llanilishi. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall. 63-67 betlar. ISBN 0-13-914101-4.

[11] Oppenxaym, Alan V.; Shafer, Ronald V.; Buck, Jon R. (1999). Diskret vaqt signalini qayta ishlash (2-nashr). Yuqori Saddle River, NJ: Prentice Hall. pp.548, 571. ISBN 0-13-754920-2. Shuningdek, bu erda mavjud https://d1.amobbs.com/bbs_upload782111/files_24/ourdev_523225.pdf

[12] Makgillem, Kler D.; Kuper, Jorj R. (1984). Uzluksiz va diskret signal va tizim tahlili (2 nashr). Xolt, Raynxart va Uinston. ISBN 0-03-061703-0.

[1]

[2]

[A]

[a]

[3]

[b]

[c]

[d]

[e]

[4]