Dairesel qonun - Circular law

Yilda ehtimollik nazariyasi, aniqrog'i o'rganish tasodifiy matritsalar, doiraviy qonun ning tarqatilishiga taalluqlidir o'zgacha qiymatlar ning $n \times n$ tasodifiy matritsa bilan mustaqil va bir xil taqsimlangan yozuvlar chegarada $n \to \infty$ .

Ning har qanday ketma-ketligi uchun buni tasdiqlaydi tasodifiy $n \times n$ matritsalar kimning yozuvlari mustaqil va bir xil taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchilar, barchasi bilan anglatadi nol va dispersiya ga teng $1/ n$ , cheklovchi spektral taqsimot bu bir xil taqsimlash disk disk ustida.

Mustaqil, standart normal yozuvlar bilan 1000x1000 matritsaning o'ziga xos qiymatlarining haqiqiy va xayoliy qismlarini chizmasi (sqrt (1000)).

Aniq bayonot

Ruxsat bering ${ displaystyle (X_ {n}) _ {n = 1} ^ { infty}}$ ning ketma-ketligi bo'lishi $n \times n$ yozuvlari bo'lgan matritsa ansambllari i.i.d. murakkab tasodifiy o'zgaruvchining nusxalari $x$ bilan anglatadi 0 va dispersiya 1. Keling ${ displaystyle lambda _ {1}, ldots, lambda _ {n}, 1 leq j leq n}$ ni belgilang o'zgacha qiymatlar ning ${ displaystyle displaystyle { frac {1} { sqrt {n}}} X_ {n}}$ . Ning empirik spektral o'lchovini aniqlang ${ displaystyle displaystyle { frac {1} { sqrt {n}}} X_ {n}}$ kabi

{ displaystyle mu _ {{ frac {1} { sqrt {n}}} X_ {n}} (A) = n ^ {- 1} # {j leq n: lambda _ {j } in A } ~, quad A in { mathcal {B}} ( mathbb {C}).}

Ushbu ta'riflarni hisobga olgan holda, dumaloq qonun buni tasdiqlaydi deyarli aniq (ya'ni ehtimollik bilan), o'lchovlar ketma-ketligi ${ displaystyle displaystyle mu _ {{ frac {1} { sqrt {n}}} X_ {n}}}$ tarqatishda birlashadi birlik diskidagi yagona o'lchovga.

Tarix

Gauss taqsimoti bilan tasodifiy matritsalar uchun (the Ginibre ansambllari), doiraviy qonun 1960-yillarda tashkil etilgan Jan Ginibre.^[1] 1980-yillarda Vyacheslav Girko tanishtirdi^[2] ko'proq umumiy tarqatish uchun dumaloq qonunni o'rnatishga imkon beradigan yondashuv. Keyingi yutuqlarga erishildi^[3] tarqatish bo'yicha muayyan yumshoqlik taxminlari asosida dumaloq qonunni asos solgan Zhidong Bai tomonidan.

Asarlarida taxminlar yanada yumshatildi Terens Tao va Van H. Vu,^[4] Guangming Pan va Van Chjou,^[5] va Fridrix Gyotze va Aleksandr Tixomirov.^[6] Va nihoyat, 2010 yilda Tao va Vu isbotladilar^[7] yuqorida ko'rsatilgan minimal taxminlar bo'yicha doiraviy qonun.

Dumaloq qonun natijasi 1988 yilda "Sommers", "Krisanti", "Sompolinskiy" va "Shtayn" tomonidan o'zboshimchalik bilan o'zaro bog'liqlikdagi matritsalar ansambllari uchun elliptik qonunga qadar kengaytirildi.^[8] Elliptik va dumaloq qonunlar Aceituno, Rogers va Schomerus tomonidan yuqori darajadagi korrelyatsiyalarni o'z ichiga olgan gipotroxoid qonuniga qo'shimcha ravishda umumlashtirildi.^[9]

Shuningdek qarang

Wigner yarim doira taqsimoti

Adabiyotlar

^ Ginibre, Jan (1965). "Murakkab, kvaternion va haqiqiy matritsalarning statistik ansambllari". J. Matematik. Fizika. 6: 440–449. Bibcode:1965 yil JMP ..... 6..440G. doi:10.1063/1.1704292. JANOB 0173726.
^ Girko, V.L. (1984). "Dairesel qonun". Teoriya Veroyatnostei i ee Primeneniya. 29 (4): 669–679.
^ Bai, Z.D. (1997). "Dairesel qonun". Ehtimollar yilnomasi. 25 (1): 494–529. doi:10.1214 / aop / 1024404298. JANOB 1428519.
^ Tao T.; Vu, V.H. (2008). "Tasodifiy matritsalar: doiraviy qonun". Kommunal. Tafakkur. Matematika. 10 (2): 261–307. arXiv:0708.2895. doi:10.1142 / s0219199708002788. JANOB 2409368.
^ Pan, G.; Chjou, V. (2010). "Dairesel qonun, ekstremal singular qadriyatlar va potentsial nazariyasi". J. Ko'p o'zgaruvchan anal. 101 (3): 645–656. arXiv:0705.3773. doi:10.1016 / j.jmva.2009.08.005.
^ Götze, F.; Tixomirov, A. (2010). "Tasodifiy matritsalar uchun doiraviy qonun". Ehtimollar yilnomasi. 38 (4): 1444–1491. arXiv:0709.3995. doi:10.1214 / 09-aop522. JANOB 2663633.
^ Tao, Terens; Vu, Van (2010). Manjunat Krishnapur tomonidan ilova qilingan. "Tasodifiy matritsalar: ESD universalligi va doiraviy qonun". Ehtimollar yilnomasi. 38 (5): 2023–2065. arXiv:0807.4898. doi:10.1214 / 10-AOP534. JANOB 2722794.
^ Sommers, H.J .; Krisanti, A .; Sompolinskiy, X.; Stein, Y. (1988). "Katta assimetrik matritsalar spektri". Jismoniy tekshiruv xatlari. 60 (19): 1895–1898.
^ Aceituno, P.V.; Rojers, T .; Schomerus, H. (2019). "Tsiklik korrelyatsiyaga ega bo'lgan tasodifiy matritsalar uchun universal gipotroxoidik qonun". Jismoniy sharh E. 100 (1): 010302.

[1] Ginibre, Jan (1965). "Murakkab, kvaternion va haqiqiy matritsalarning statistik ansambllari". J. Matematik. Fizika. 6: 440–449. Bibcode:1965 yil JMP ..... 6..440G. doi:10.1063/1.1704292. JANOB 0173726.

[2] Girko, V.L. (1984). "Dairesel qonun". Teoriya Veroyatnostei i ee Primeneniya. 29 (4): 669–679.

[3] Bai, Z.D. (1997). "Dairesel qonun". Ehtimollar yilnomasi. 25 (1): 494–529. doi:10.1214 / aop / 1024404298. JANOB 1428519.

[4] Tao T.; Vu, V.H. (2008). "Tasodifiy matritsalar: doiraviy qonun". Kommunal. Tafakkur. Matematika. 10 (2): 261–307. arXiv:0708.2895. doi:10.1142 / s0219199708002788. JANOB 2409368.

[5] Pan, G.; Chjou, V. (2010). "Dairesel qonun, ekstremal singular qadriyatlar va potentsial nazariyasi". J. Ko'p o'zgaruvchan anal. 101 (3): 645–656. arXiv:0705.3773. doi:10.1016 / j.jmva.2009.08.005.

[6] Götze, F.; Tixomirov, A. (2010). "Tasodifiy matritsalar uchun doiraviy qonun". Ehtimollar yilnomasi. 38 (4): 1444–1491. arXiv:0709.3995. doi:10.1214 / 09-aop522. JANOB 2663633.

[7] Tao, Terens; Vu, Van (2010). Manjunat Krishnapur tomonidan ilova qilingan. "Tasodifiy matritsalar: ESD universalligi va doiraviy qonun". Ehtimollar yilnomasi. 38 (5): 2023–2065. arXiv:0807.4898. doi:10.1214 / 10-AOP534. JANOB 2722794.

[8] Sommers, H.J .; Krisanti, A .; Sompolinskiy, X.; Stein, Y. (1988). "Katta assimetrik matritsalar spektri". Jismoniy tekshiruv xatlari. 60 (19): 1895–1898.

[9] Aceituno, P.V.; Rojers, T .; Schomerus, H. (2019). "Tsiklik korrelyatsiyaga ega bo'lgan tasodifiy matritsalar uchun universal gipotroxoidik qonun". Jismoniy sharh E. 100 (1): 010302.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]