Klassik ortogonal polinomlar - Classical orthogonal polynomials

Matematikada klassik ortogonal polinomlar eng keng tarqalgan ortogonal polinomlar: the Hermit polinomlari, Laguer polinomlari, Yakobi polinomlari (shu jumladan, alohida holat sifatida Gegenbauer polinomlari, Chebyshev polinomlari va Legendre polinomlari^[1]).

Ular matematik fizika (xususan, nazariyasi) kabi sohalarda ko'plab muhim dasturlarga ega tasodifiy matritsalar ), taxminiy nazariya, raqamli tahlil va boshqalar.

Klassik ortogonal polinomlar XIX asrning boshlarida paydo bo'lgan Adrien-Mari Legendre, Legendre polinomlarini kiritgan. 19-asrning oxirida, davom etgan kasrlar hal qilish lahzali muammo tomonidan P. L. Chebyshev undan keyin A.A. Markov va T.J. Stieltjes ortogonal polinomlar haqida umumiy tushunchaga olib keldi.

Berilgan uchun polinomlar ${ displaystyle Q, L: mathbb {R} to mathbb {R}}$ va ${ displaystyle forall , n in mathbb {N} _ {0}}$ klassik ortogonal polinomlar ${ displaystyle f_ {n}: mathbb {R} dan mathbb {R}}$ differentsial tenglamaning echimlari bo'lish bilan tavsiflanadi

${ displaystyle Q (x) , f_ {n} ^ { prime prime} + L (x) , f_ {n} ^ { prime} + lambda _ {n} f_ {n} = 0}$

bilan aniqlanadigan doimiyliklar ${ displaystyle lambda _ {n} in mathbb {R}}$.

Ortogonal klassik polinomlarning yana bir nechta umumiy ta'riflari mavjud; masalan, Andrews & Askey (1985) tarkibidagi barcha polinomlar uchun atamadan foydalaning Askey sxemasi.

Ta'rif

Umuman olganda, ortogonal polinomlar ${ displaystyle P_ {n}}$ vaznga nisbatan ${ displaystyle W: mathbb {R} rightarrow mathbb {R} ^ {+}}$

${ displaystyle { begin {aligned} & deg P_ {n} = n ~, quad n = 0,1,2, ldots & int P_ {m} (x) , P_ {n} (x) , W (x) , dx = 0 ~, quad m neq n ~. end {hizalangan}}}$

Yuqoridagi munosabatlar belgilaydi ${ displaystyle P_ {n}}$ raqamga ko'paytirishgacha. Doimiylikni tuzatish uchun har xil normallashtirishlardan foydalaniladi, masalan.

${ displaystyle int P_ {n} (x) ^ {2} W (x) , dx = 1 ~.}$

Klassik ortogonal polinomlar og'irlikning uchta oilasiga to'g'ri keladi:

${ displaystyle { begin {aligned} { text {(Jacobi)}} quad & W (x) = { begin {case} (1-x) ^ { alpha} (1 + x) ^ { beta } ~, & - 1 leq x leq 1 0 ~, & { text {aks holda}}} end {case}}} { text {(Hermite)}} quad & W (x) = exp (-x ^ {2}) { text {(Laguerre)}} quad & W (x) = { begin {case} x ^ { alpha} exp (-x) ~, & x geq 0 0 ~, & { text {aks holda}} end {case}} end {aligned}}}$

Standart normallashtirish (shuningdek, deyiladi standartlashtirish) quyida batafsil ma'lumot berilgan.

Yakobi polinomlari

Uchun ${ displaystyle alpha, , beta> -1}$ Jacobi polinomlari formula bo'yicha berilgan

${ displaystyle P_ {n} ^ {( alfa, beta)} (z) = { frac {(-1) ^ {n}} {2 ^ {n} n!}} (1-z) ^ {- alfa} (1 + z) ^ {- beta} { frac {d ^ {n}} {dz ^ {n}}} left {(1-z) ^ { alpha} (1 + z) ^ { beta} (1-z ^ {2}) ^ {n} right } ~.}$

Ular tomonidan normallashtirilgan (standartlashtirilgan)

${ displaystyle P_ {n} ^ {( alfa, beta)} (1) = {n + alfa n n},} ni tanlang$

va ortogonallik shartini qondiradi

${ displaystyle { begin {aligned} & int _ {- 1} ^ {1} (1-x) ^ { alpha} (1 + x) ^ { beta} P_ {m} ^ {( alpha) , beta)} (x) P_ {n} ^ {( alfa, beta)} (x) ; dx = {} & { frac {2 ^ { alpha + beta +1}} {2n + alfa + beta +1}} { frac { Gamma (n + alfa +1) Gamma (n + beta +1)} { Gamma (n + alfa + beta +1) n!} } delta _ {nm}. end {hizalangan}}}$

Yakobi polinomlari differentsial tenglamaning echimlari

${ displaystyle (1-x ^ {2}) y '' + ( beta - alfa - ( alfa + beta +2) x) y '+ n (n + alfa + beta +1) y = 0 ~.}$

Muhim maxsus holatlar

Yakobi polinomlari ${ displaystyle alpha = beta}$ deyiladi Gegenbauer polinomlari (parametr bilan ${ displaystyle gamma = alfa +1/2}$)

Uchun ${ displaystyle alpha = beta = 0}$, ular deyiladi Legendre polinomlari (buning uchun ortogonallik oralig'i [-1, 1] va vazn funktsiyasi shunchaki 1):

${ displaystyle P_ {0} (x) = 1, , P_ {1} (x) = x, , P_ {2} (x) = { frac {3x ^ {2} -1} {2} }, , P_ {3} (x) = { frac {5x ^ {3} -3x} {2}}, ldots}$

Uchun ${ displaystyle alpha = beta = pm 1/2}$, birini oladi Chebyshev polinomlari (navbati bilan ikkinchi va birinchi turdagi).

Hermit polinomlari

Hermit polinomlari quyidagicha aniqlanadi^[2]

${ displaystyle H_ {n} (x) = (- 1) ^ {n} e ^ {x ^ {2}} { frac {d ^ {n}} {dx ^ {n}}} e ^ {- x ^ {2}} = e ^ {x ^ {2} / 2} { bigg (} x - { frac {d} {dx}} { bigg)} ^ {n} e ^ {- x ^ {2} / 2}}$

Ular ortogonallik shartini qondiradi

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} H_ {n} (x) H_ {m} (x) e ^ {- x ^ {2}} , dx = { sqrt { pi }} 2 ^ {n} n! Delta _ {mn} ~,}$

va differentsial tenglama

${ displaystyle y '' - 2xy '+ 2n , y = 0 ~.}$

Laguer polinomlari

Umumlashtirilgan Laguer polinomlari quyidagicha aniqlanadi

${ displaystyle L_ {n} ^ {( alfa)} (x) = {x ^ {- alfa} e ^ {x} over n!} {d ^ {n} over dx ^ {n}} chap (e ^ {- x} x ^ {n + alfa} o'ng)}$

(klassik Laguer polinomlari mos keladi ${ displaystyle alpha = 0}$.)

Ular ortogonallik munosabatini qondiradi

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} x ^ { alfa} e ^ {- x} L_ {n} ^ {( alfa)} (x) L_ {m} ^ {( alfa) } (x) , dx = { frac { Gamma (n + alfa +1)} {n!}} delta _ {n, m} ~,}$

va differentsial tenglama

${ displaystyle x , y '' + ( alfa + 1-x) , y '+ n , y = 0 ~.}$

Differentsial tenglama

Klassik ortogonal polinomlar shaklning differentsial tenglamasidan kelib chiqadi

${ displaystyle Q (x) , f '' + L (x) , f '+ lambda f = 0}$

qayerda Q berilgan kvadratik (ko'pi bilan) polinom va L berilgan chiziqli polinom. Funktsiya fva doimiy λ, topilishi kerak.

(E'tibor bering, bunday tenglamada polinom echimi bo'lishi mantiqan.

Tenglamadagi har bir had ko'p polinomdir va darajalar mos keladi.)

Bu Sturm – Liovil tenglama turi. Bunday tenglamalar, odatda, f ning echim funktsiyalarida o'ziga xos xususiyatlarga ega, faqat ning alohida qiymatlaridan tashqari λ. Ular haqida o'ylash mumkin o'ziga xos vektor / o'ziga xos qiymat muammolar: ruxsat berish D. bo'lishi differentsial operator, ${ displaystyle D (f) = Qf '' + Lf '}$va belgisini o'zgartirish λ, muammo o'z vektorlarini (o'z funktsiyalari) $ f $ va ularga mos keladigan o'zaro qiymatlarni topishdir. λ, f ning o'ziga xos xususiyatlariga ega bo'lmagan va D.(f) = λf.

Ushbu differentsial tenglamaning echimlari o'ziga xos xususiyatlarga ega, agar bo'lmasa λ o'ziga xos qiymatlarni oladi. Bir qator raqamlar mavjud λ₀, λ₁, λ₂, ... bu bir qator polinom echimlariga olib keldi P₀, P₁, P₂, ... quyidagi shartlar to'plamidan biri bajarilsa:

1. Q aslida kvadratik, L chiziqli, Q ning ildizi ikkita aniq haqiqiy ildizga ega L ning ildizlari orasida qat'iy yotadi Qva etakchi shartlari Q va L bir xil belgiga ega.
2. Q aslida kvadratik emas, balki chiziqli, L chiziqli, ildizlari Q va L har xil va etakchi shartlari Q va L ning ildizi bo'lsa, xuddi shu belgiga ega bo'ling L ning ildizidan kamroq Qyoki aksincha.
3. Q faqat nolga teng bo'lmagan doimiy, L chiziqli va etakchi atama L ning teskari belgisiga ega Q.

Ushbu uchta holat Jakobiga o'xshash, Laguerga o'xshashva Hermitga o'xshash navbati bilan polinomlar.

Ushbu uch holatning har birida bizda quyidagilar mavjud:

• Eritmalar bir qator polinomlardir P₀, P₁, P₂, ..., har biri P_n darajaga ega n, va number raqamiga mos keladi_n.
• Ortogonallik oralig'i har qanday ildiz bilan chegaralanadi Q bor.
• Ning ildizi L ortogonallik oralig'ida joylashgan.
• Ruxsat berish ${ displaystyle R (x) = e ^ { int { frac {L (x)} {Q (x)}} , dx}}$, polinomlar og'irlik funktsiyasi ostida ortogonaldir ${ displaystyle W (x) = { frac {R (x)} {Q (x)}}}$
• V(x) oralig'ida nol va cheksizlar mavjud emas, lekin so'nggi nuqtalarda nol yoki cheksiz bo'lishi mumkin.
• V(x) har qanday polinomlarga chekli ichki hosilani beradi.
• V(x) oralig'ida 0 dan katta bo'lishi mumkin. (Agar kerak bo'lsa, butun differentsial tenglamani bekor qiling.) Q(x)> 0 oralig'ida.)

Integratsiyaning doimiyligi, miqdori R(x) faqat ixtiyoriy musbat multiplikativ doimiygacha aniqlanadi. U faqat bir hil differentsial tenglamalarda (bu muhim emas) va og'irlik funktsiyasini aniqlashda ishlatiladi (bu ham aniqlanishi mumkin.) Quyidagi jadvallarda "rasmiy" qiymatlar berilgan R(x) va V(x).

Rodrigesning formulasi

Oldingi bo'lim taxminlariga ko'ra,P_n(x) ga mutanosib ${ displaystyle { frac {1} {W (x)}} { frac {d ^ {n}} {dx ^ {n}}} left (W (x) [Q (x)] ^ {) n} o'ng).}$

Bu sifatida tanilgan Rodrigesning formulasi, keyin Olinde Rodriges. Ko'pincha yoziladi

${ displaystyle P_ {n} (x) = { frac {1} {{e_ {n}} W (x)}} { frac {d ^ {n}} {dx ^ {n}}} chap (V (x) [Q (x)] ^ {n} o'ng)}$

raqamlar qaerda e_n standartlashtirishga bog'liq. Ning standart qiymatlari e_n quyidagi jadvallarda keltirilgan.

Raqamlar λ_n

Oldingi bo'limning taxminlari asosida bizda

${ displaystyle lambda _ {n} = - n chap ({ frac {n-1} {2}} Q '' + L ' o'ng).$

(Beri Q kvadratik va L chiziqli, ${ displaystyle Q ''}$ va ${ displaystyle L '}$ doimiylar, shuning uchun bu shunchaki raqamlar.)

Differentsial tenglama uchun ikkinchi shakl

Ruxsat bering

${ displaystyle R (x) = e ^ { int { frac {L (x)} {Q (x)}} , dx}.}$

Keyin

${ displaystyle (Ry ')' = R , y '' + R ', y' = R , y '' + { frac {R , L} {Q}} , y '.}$

Endi differentsial tenglamani ko'paytiring

${ displaystyle Q , y '' + L , y '+ lambda y = 0}$

tomonidan R/Q, olish

${ displaystyle R , y '' + { frac {R , L} {Q}} , y '+ { frac {R , lambda} {Q}} , y = 0}$

yoki

${ displaystyle (Ry ')' + { frac {R , lambda} {Q}} , y = 0.}$

Bu tenglama uchun standart Shturm-Liovil shakli.

Differentsial tenglama uchun uchinchi shakl

Ruxsat bering ${ displaystyle S (x) = { sqrt {R (x)}} = e ^ { int { frac {L (x)} {2 , Q (x)}} , dx}.}$

Keyin

${ displaystyle S '= { frac {S , L} {2 , Q}}.}$

Endi differentsial tenglamani ko'paytiring

${ displaystyle Q , y '' + L , y '+ lambda y = 0}$

tomonidan S/Q, olish

${ displaystyle S , y '' + { frac {S , L} {Q}} , y '+ { frac {S , lambda} {Q}} , y = 0}$

yoki

${ displaystyle S , y '' + 2 , S ', y' + { frac {S , lambda} {Q}} , y = 0}$

Ammo ${ displaystyle (S , y) '' = S , y '' + 2 , S ', y' + S '' , y}$, shuning uchun

${ displaystyle (S , y) '' + chap ({ frac {S , lambda} {Q}} - S '' o'ng) , y = 0,}$

yoki, ruxsat berish siz = Sy,

${ displaystyle u '' + chap ({ frac { lambda} {Q}} - { frac {S ''} {S}} o'ng) , u = 0.}$

Hosillarni o'z ichiga olgan formulalar

Oldingi bo'limning taxminlari asosida, ruxsat bering P^[r]
_n ni belgilang r- ning hosilasi P_n(Ko'rsatkich bilan chalkashmaslik uchun biz "r" ni qavsga qo'yamiz.)P^[r]
_n daraja polinomidir n − r. Keyin bizda quyidagilar mavjud:

• (ortogonallik) sobit r uchun polinom ketma-ketligi P^[r]
  _r, P^[r]
  _{r + 1}, P^[r]
  _{r + 2}, ... ortogonal, vazn bilan belgilanadi ${ displaystyle WQ ^ {r}}$.
• (umumlashtirilgan Rodriges ' formula) P^[r]
  _n ga mutanosib ${ displaystyle { frac {1} {W (x) [Q (x)] ^ {r}}} { frac {d ^ {nr}} {dx ^ {nr}}} chap (W ( x) [Q (x)] ^ {n} o'ng).}$
• (differentsial tenglama) P^[r]
  _n ning echimi ${ displaystyle {Q} , y '' + (rQ '+ L) , y' + [ lambda _ {n} - lambda _ {r}] , y = 0}$, qaerda λ_r bilan bir xil funktsiya_n, anavi, ${ displaystyle lambda _ {r} = - r chap ({ frac {r-1} {2}} Q '' + L ' o'ng)}$
• (differentsial tenglama, ikkinchi shakl) P^[r]
  _n ning echimi ${ displaystyle (RQ ^ {r} y ')' + [ lambda _ {n} - lambda _ {r}] RQ ^ {r-1} , y = 0}$

Bundan tashqari, bir nechta aralash takrorlanishlar mavjud. Ularning har birida raqamlar a, bva v bog'liq nva r, va har xil formulalar bilan bog'liq emas.

• ${ displaystyle P_ {n} ^ {[r]} = aP_ {n + 1} ^ {[r + 1]} + bP_ {n} ^ {[r + 1]} + cP_ {n-1} ^ { [r + 1]}}$
• ${ displaystyle P_ {n} ^ {[r]} = (ax + b) P_ {n} ^ {[r + 1]} + cP_ {n-1} ^ {[r + 1]}}$
• ${ displaystyle QP_ {n} ^ {[r + 1]} = (ax + b) P_ {n} ^ {[r]} + cP_ {n-1} ^ {[r]}}$

Ortogonal polinomialsinni o'z ichiga olgan juda ko'p sonli boshqa formulalar mavjud. Chebyshev, Laguer va Hermit polinomlari bilan bog'liq bo'lgan ularning kichik namunalari:

• ${ displaystyle 2 , T_ {m} (x) , T_ {n} (x) = T_ {m + n} (x) + T_ {m-n} (x)}$
• ${ displaystyle H_ {2n} (x) = (- 4) ^ {n} , n! , L_ {n} ^ {(- 1/2)} (x ^ {2})}$
• ${ displaystyle H_ {2n + 1} (x) = 2 (-4) ^ {n} , n! , x , L_ {n} ^ {(1/2)} (x ^ {2}) }$

Ortogonallik

Muayyan narsa uchun differentsial tenglama λ yozilishi mumkin (x ga aniq bog'liqlikni qoldirib)

${ displaystyle Q { ddot {f}} _ {n} + L { dot {f}} _ {n} + lambda _ {n} f_ {n} = 0}$

tomonidan ko'paytiriladi ${ displaystyle (R / Q) f_ {m}}$ hosil

${ displaystyle Rf_ {m} { ddot {f}} _ {n} + { frac {R} {Q}} Lf_ {m} { dot {f}} _ {n} + { frac {R } {Q}} lambda _ {n} f_ {m} f_ {n} = 0}$

va obunalarni teskari yo'naltirganda hosil bo'ladi

${ displaystyle Rf_ {n} { ddot {f}} _ {m} + { frac {R} {Q}} Lf_ {n} { dot {f}} _ {m} + { frac {R } {Q}} lambda _ {m} f_ {n} f_ {m} = 0}$

olib tashlash va birlashtirish:

${ displaystyle int _ {a} ^ {b} left [R (f_ {m} { ddot {f}} _ {n} -f_ {n} { ddot {f}} _ {m}) + { frac {R} {Q}} L (f_ {m} { nuqta {f}} _ {n} -f_ {n} { nuqta {f}} _ {m}) o'ng] , dx + ( lambda _ {n} - lambda _ {m}) int _ {a} ^ {b} { frac {R} {Q}} f_ {m} f_ {n} , dx = 0}$

ammo buni ko'rish mumkin

${ displaystyle { frac {d} {dx}} left [R (f_ {m} { dot {f}} _ {n} -f_ {n} { dot {f}} _ {m}) o'ng] = R (f_ {m} { ddot {f}} _ {n} -f_ {n} { ddot {f}} _ {m}) , , + , , R { frac {L} {Q}} (f_ {m} { dot {f}} _ {n} -f_ {n} { dot {f}} _ {m})}$

Shuning uchun; ... uchun; ... natijasida:

${ displaystyle left [R (f_ {m} { dot {f}} _ {n} -f_ {n} { dot {f}} _ {m}) right] _ {a} ^ {b } , , + , , ( lambda _ {n} - lambda _ {m}) int _ {a} ^ {b} { frac {R} {Q}} f_ {m} f_ {n} , dx = 0}$

Agar polinomlar f shundayki, chapdagi atama nolga teng va ${ displaystyle lambda _ {m} neq lambda _ {n}}$ uchun ${ displaystyle m neq n}$, keyin ortogonallik munosabati quyidagicha bo'ladi:

${ displaystyle int _ {a} ^ {b} { frac {R} {Q}} f_ {m} f_ {n} , dx = 0}$

uchun ${ displaystyle m neq n}$.

Differentsial tenglamadan chiqarish

Yuqoridagi differentsial tenglamadan kelib chiqadigan barcha polinomlar ketma-ketligi ekvivalent bo'lib, masshtabni kattalashtirish va / yoki domenni siljitish va polinomlarni standartlashtirish, cheklangan sinflarga to'g'ri keladi. Ushbu cheklangan sinflar aynan "klassik ortogonal polinomlar" dir.

• Jakobiga o'xshash har bir polinom ketma-ketligi o'z domenini o'zgartirishi va / yoki masshtabliligi oralig'i [-1, 1] bo'lishi uchun masshtabini o'zgartirishi mumkin va Q = 1 − x². Keyin ular standartlashtirilishi mumkin Yakobi polinomlari ${ displaystyle P_ {n} ^ {( alfa, beta)}}$. Ularning bir nechta muhim subklasslari mavjud: Gegenbauer, Legendreva ikkita turi Chebyshev.
• Lagueraga o'xshash har bir polinom ketma-ketligi uning o'zgaruvchanligi, masshtablanishi va / yoki aks etishi mumkin, shunda uning ortogonalligi oralig'i ${ displaystyle [0, infty)}$va bor Q = x. Keyin ular standartlashtirilishi mumkin Bog'langan Laguer polinomlari ${ displaystyle L_ {n} ^ {( alfa)}}$. Tekislik Laguer polinomlari ${ displaystyle L_ {n}}$ bularning subklassi.
• Har bir Germitga o'xshash polinomlar ketma-ketligi uning maydonini siljishi va / yoki miqyosi, shunday qilib uning ortogonalligi oralig'i bo'ladi. ${ displaystyle (- infty, infty)}$, va Q = 1 va L (0) = 0 ga ega. Keyin ular standartlashtirilishi mumkin Hermit polinomlari ${ displaystyle H_ {n}}$.

Yuqorida tavsiflangan usulda differentsial tenglamadan kelib chiqadigan barcha polinomlar ketma-ketliklari klassik polinomlarga ahamiyatsiz teng bo'lganligi sababli, har doim haqiqiy klassik polinomlar ishlatiladi.

Jakobi polinom

Jakobiga o'xshash polinomlar, ularning domenini siljitish va masshtabini kattalashtirib, ortogonallik oralig'i [-1, 1] ga teng bo'lgandan so'ng, ikkita parametr aniqlanishi kerak. ${ displaystyle alpha}$ va ${ displaystyle beta}$ yozilgan Yakobi polinomlarida ${ displaystyle P_ {n} ^ {( alfa, beta)}}$. Bizda ... bor ${ displaystyle Q (x) = 1-x ^ {2}}$ va${ displaystyle L (x) = beta - alfa - ( alfa + beta +2) , x}$.Ham ${ displaystyle alpha}$ va ${ displaystyle beta}$ -1 dan katta bo'lishi talab qilinadi. (Bu L ning ildizini ortogonallik oralig'iga qo'yadi.)

Qachon ${ displaystyle alpha}$ va ${ displaystyle beta}$ teng emas, bu polinomlar nosimmetrik emas x = 0.

Diferensial tenglama

${ displaystyle (1-x ^ {2}) , y '' + ( beta - alfa - [ alfa + beta +2] , x) , y '+ lambda , y = 0 qquad { text {with}} qquad lambda = n (n + 1 + alfa + beta)}$

bu Jakobining tenglamasi.

Qo'shimcha ma'lumot uchun qarang Yakobi polinomlari.

Gegenbauer polinomlari

Parametrlarni o'rnatishda ${ displaystyle alpha}$ va ${ displaystyle beta}$ bir-biriga teng bo'lgan Jacobi polinomlarida biri olinadi Gegenbauer yoki ultrasferik polinomlar. Ular yozilgan ${ displaystyle C_ {n} ^ {( alfa)}}$va sifatida belgilanadi

${ displaystyle C_ {n} ^ {( alfa)} (x) = { frac { Gamma (2 alfa ! + ! n) , Gamma ( alfa ! + ! 1/2 )} { Gamma (2 alfa) , Gamma ( alfa ! + ! N ! + ! 1/2)}} ! P_ {n} ^ {( alfa -1/2) , alfa -1/2)} (x).}$

Bizda ... bor ${ displaystyle Q (x) = 1-x ^ {2}}$ va${ displaystyle L (x) = - (2 alfa +1) , x}$.Parametr ${ displaystyle alpha}$ -1/2 dan katta bo'lishi talab qilinadi.

(Aytgancha, quyidagi jadvalda keltirilgan standartlashtirish hech qanday ma'noga ega bo'lmaydi a = 0 va n ≠ 0, chunki u polinomlarni nolga qo'yadi. Bunday holda, qabul qilingan standartlashtirish o'rnatiladi ${ displaystyle C_ {n} ^ {(0)} (1) = { frac {2} {n}}}$ jadvalda keltirilgan qiymat o'rniga.)

Yuqoridagi fikrlarni e'tiborsiz qoldirish, parametr ${ displaystyle alpha}$ ning hosilalari bilan chambarchas bog'liq ${ displaystyle C_ {n} ^ {( alfa)}}$:

${ displaystyle C_ {n} ^ {( alfa +1)} (x) = { frac {1} {2 alfa}} ! { frac {d} {dx}} C_ {n + 1 } ^ {( alfa)} (x)}$

yoki umuman olganda:

${ displaystyle C_ {n} ^ {( alfa + m)} (x) = { frac { Gamma ( alfa)} {2 ^ {m} Gamma ( alfa + m)}} ! C_ {n + m} ^ {( alfa) [m]} (x).}$

Jakobiga o'xshash boshqa barcha klassik polinomlar (Legendre va boshqalar) Gegenbauer polinomlarining maxsus holatlari bo'lib, ularning qiymatini tanlash orqali olinadi. ${ displaystyle alpha}$ va standartlashtirishni tanlash.

Qo'shimcha ma'lumot uchun qarang Gegenbauer polinomlari.

Legendre polinomlari

Diferensial tenglama

${ displaystyle (1-x ^ {2}) , y '' - 2x , y '+ lambda , y = 0 qquad { text {with}} qquad lambda = n (n + 1 ).}$

Bu Legendrning tenglamasi.

Differentsial tenglamaning ikkinchi shakli:

${ displaystyle { frac {d} {dx}} [(1-x ^ {2}) , y '] + lambda , y = 0.}$

The takrorlanish munosabati bu

${ displaystyle (n + 1) , P_ {n + 1} (x) = (2n + 1) x , P_ {n} (x) -n , P_ {n-1} (x).}$

Aralashgan takrorlanish

${ displaystyle P_ {n + 1} ^ {[r + 1]} (x) = P_ {n-1} ^ {[r + 1]} (x) + (2n + 1) , P_ {n} ^ {[r]} (x).}$

Rodrigesning formulasi:

${ displaystyle P_ {n} (x) = , { frac {1} {2 ^ {n} n!}}} { frac {d ^ {n}} {dx ^ {n}}} chap ([x ^ {2} -1] ^ {n} o'ng).}$

Qo'shimcha ma'lumot uchun qarang Legendre polinomlari.

Bog'langan Legendre polinomlari

The Bog'langan Legendre polinomlari, belgilangan${ displaystyle P _ { ell} ^ {(m)} (x)}$ qayerda ${ displaystyle ell}$ va ${ displaystyle m}$ bilan butun sonlar mavjud ${ displaystyle 0 leqslant m leqslant ell}$, sifatida belgilanadi

${ displaystyle P _ { ell} ^ {(m)} (x) = (- 1) ^ {m} , (1-x ^ {2}) ^ {m / 2} P _ { ell} ^ {[m]} (x).}$

The m qavs ichida (ko'rsatkich bilan chalkashmaslik uchun) parametr. The m qavs ichida the ni bildiradi m- Legendre polinomining hosilasi.

Ushbu "polinomlar" noto'g'ri nomlangan - ular qachon polinomlar emas m g'alati

Ular takrorlanish munosabatlariga ega:

${ displaystyle ( ell + 1-m) , P _ { ell +1} ^ {(m)} (x) = (2 ell +1) x , P _ { ell} ^ {(m) } (x) - ( ell + m) , P _ { ell -1} ^ {(m)} (x).}$

Ruxsat etilgan uchun m, ketma-ketlik ${ displaystyle P_ {m} ^ {(m)}, P_ {m + 1} ^ {(m)}, P_ {m + 2} ^ {(m)}, dots}$ [1, 1] dan ortogonal, vazni 1 ga teng.

Berilgan uchun m, ${ displaystyle P _ { ell} ^ {(m)} (x)}$ ning echimlari

${ displaystyle (1-x ^ {2}) , y '' - 2xy '+ chap [ lambda - { frac {m ^ {2}} {1-x ^ {2}}} o'ng] , y = 0 qquad { text {with}} qquad lambda = ell ( ell +1).}$

Chebyshev polinomlari

Diferensial tenglama

${ displaystyle (1-x ^ {2}) , y '' - x , y '+ lambda , y = 0 qquad { text {with}} qquad lambda = n ^ {2} .}$

Bu Chebyshev tenglamasi.

Takrorlanish munosabati

${ displaystyle T_ {n + 1} (x) = 2x , T_ {n} (x) -T_ {n-1} (x).}$

Rodrigesning formulasi:

${ displaystyle T_ {n} (x) = { frac { Gamma (1/2) { sqrt {1-x ^ {2}}}} {(- 2) ^ {n} , Gamma ( n + 1/2)}} { frac {d ^ {n}} {dx ^ {n}}} chap ([1-x ^ {2}] ^ {n-1/2} o'ng) .}$

Ushbu polinomlar ortogonallik oralig'ida,

${ displaystyle T_ {n} (x) = cos (n , arccos (x)).}$

(Buni isbotlash uchun takrorlanish formulasidan foydalaning.)

Demak, ularning barcha mahalliy minima va maksimumlari -1 va +1 qiymatlariga ega, ya'ni polinomlar "daraja" dir. Shu sababli, ba'zan Chebyshev polinomlari bo'yicha funktsiyalarni kengaytirish uchun foydalaniladi polinomiy taxminlar kompyuter matematikasi kutubxonalarida.

Ba'zi mualliflar ushbu ko'pburchaklarning orgonallik oralig'i [0, 1] yoki [-2, 2] ga teng bo'lishi uchun o'zgartirilgan versiyalaridan foydalanadilar.

Shuningdek, bor Ikkinchi turdagi Chebyshev polinomlari, belgilangan ${ displaystyle U_ {n}}$

Bizda ... bor:

${ displaystyle U_ {n} = { frac {1} {n + 1}} , T_ {n + 1} '.}$

Qo'shimcha tafsilotlar, shu jumladan birinchi bir necha polinomlar uchun iboralar uchun qarang Chebyshev polinomlari.

Laguer polinomlari

Domen siljiganidan va masshtabini o'zgartirgandan so'ng eng umumiy Laguerga o'xshash polinomlar, Associated Laguerre polinomlari (umumlashtirilgan Laguerre polinomlari deb ham ataladi). ${ displaystyle L_ {n} ^ {( alfa)}}$. Parametr mavjud ${ displaystyle alpha}$, bu real1 dan qat'iy ravishda kattaroq har qanday haqiqiy son bo'lishi mumkin. Ko'rsatkich bilan chalkashmaslik uchun parametr qavs ichiga qo'yiladi. Oddiy Laguer polinomlari shunchaki ${ displaystyle alpha = 0}$ ularning versiyasi:

${ displaystyle L_ {n} (x) = L_ {n} ^ {(0)} (x).}$

Diferensial tenglama

${ displaystyle x , y '' + ( alfa + 1-x) , y '+ lambda , y = 0 { text {with}} lambda = n.}$

Bu Laguer tenglamasi.

Differentsial tenglamaning ikkinchi shakli

${ displaystyle (x ^ { alfa +1} , e ^ {- x} , y ')' + lambda , x ^ { alpha} , e ^ {- x} , y = 0 .}$

Takrorlanish munosabati

${ displaystyle (n + 1) , L_ {n + 1} ^ {( alfa)} (x) = (2n + 1 + alfa -x) , L_ {n} ^ {( alfa)} (x) - (n + alfa) , L_ {n-1} ^ {( alfa)} (x).}$

Rodrigesning formulasi:

${ displaystyle L_ {n} ^ {( alfa)} (x) = { frac {x ^ {- alpha} e ^ {x}} {n!}} { frac {d ^ {n} } {dx ^ {n}}} chap (x ^ {n + alfa} , e ^ {- x} o'ng).}$

Parametr ${ displaystyle alpha}$ ning hosilalari bilan chambarchas bog'liq ${ displaystyle L_ {n} ^ {( alfa)}}$:

${ displaystyle L_ {n} ^ {( alfa +1)} (x) = - { frac {d} {dx}} L_ {n + 1} ^ {( alfa)} (x)}$

yoki umuman olganda:

${ displaystyle L_ {n} ^ {( alfa + m)} (x) = (- 1) ^ {m} L_ {n + m} ^ {( alfa) [m]} (x).}$

Laguer tenglamasini dasturlarda foydali bo'lgan shaklga o'zgartirish mumkin:

${ displaystyle u = x ^ { frac { alfa -1} {2}} e ^ {- x / 2} L_ {n} ^ {( alfa)} (x)}$

ning echimi

${ displaystyle u '' + { frac {2} {x}} , u '+ chap [{ frac { lambda} {x}} - { frac {1} {4}} - { frac { alpha ^ {2} -1} {4x ^ {2}}} right] , u = 0 { text {with}} lambda = n + { frac { alpha +1} {2} }.}$

Bu qo'shimcha ravishda manipulyatsiya qilinishi mumkin. Qachon ${ displaystyle ell = { frac { alpha -1} {2}}}$ butun son va ${ displaystyle n geq ell +1}$:

${ displaystyle u = x ^ { ell} e ^ {- x / 2} L_ {n- ell -1} ^ {(2 ell +1)} (x)}$

ning echimi

${ displaystyle u '' + { frac {2} {x}} , u '+ chap [{ frac { lambda} {x}} - { frac {1} {4}} - { frac { ell ( ell +1)} {x ^ {2}}} right] , u = 0 { text {with}} lambda = n.}$

Qaror ko'pincha bog'liq Laguerre polinomlari o'rniga hosilalar bilan ifodalanadi:

${ displaystyle u = x ^ { ell} e ^ {- x / 2} L_ {n + ell} ^ {[2 ell +1]} (x).}$

Ushbu tenglama kvant mexanikasida, ning eritmasining radial qismida paydo bo'ladi Shredinger tenglamasi bitta elektronli atom uchun.

Fiziklar ko'pincha Laguerre polinomlari uchun ta'rifdan kattaroq bo'lgan ta'rifni ishlatishadi ${ displaystyle (n!)}$, bu erda ishlatiladigan ta'rifga qaraganda.

Qo'shimcha tafsilotlar, shu jumladan dastlabki bir nechta polinomlar uchun iboralar uchun qarang Laguer polinomlari.

Hermit polinomlari

Diferensial tenglama

${ displaystyle y '' - 2xy '+ lambda , y = 0, qquad { text {with}} qquad lambda = 2n.}$

Bu Germit tenglamasi.

Differentsial tenglamaning ikkinchi shakli

${ displaystyle (e ^ {- x ^ {2}} , y ')' + e ^ {- x ^ {2}} , lambda , y = 0.}$

Uchinchi shakl

${ displaystyle (e ^ {- x ^ {2} / 2} , y) '' + ( lambda + 1-x ^ {2}) (e ^ {- x ^ {2} / 2} , y) = 0.}$

Takrorlanish munosabati

${ displaystyle H_ {n + 1} (x) = 2x , H_ {n} (x) -2n , H_ {n-1} (x).}$

Rodrigesning formulasi:

${ displaystyle H_ {n} (x) = (- 1) ^ {n} , e ^ {x ^ {2}} { frac {d ^ {n}} {dx ^ {n}}} chap (e ^ {- x ^ {2}} o'ng).}$

Birinchi bir necha Hermit polinomlari

${ displaystyle H_ {0} (x) = 1}$

${ displaystyle H_ {1} (x) = 2x}$

${ displaystyle H_ {2} (x) = 4x ^ {2} -2}$

${ displaystyle H_ {3} (x) = 8x ^ {3} -12x}$

${ displaystyle H_ {4} (x) = 16x ^ {4} -48x ^ {2} +12}$

Ni belgilash mumkin bog'liq Hermit funktsiyalari

${ displaystyle psi _ {n} (x) = (h_ {n}) ^ {- 1/2} , e ^ {- x ^ {2} / 2} H_ {n} (x).}$

Multiplikator og'irlik funktsiyasining kvadrat ildizi bilan mutanosib bo'lganligi sababli, bu funktsiyalar ortogonal ravishda tugaydi ${ displaystyle (- infty, infty)}$ vazn funktsiyasi bo'lmagan holda.

Yuqoridagi differentsial tenglamaning uchinchi shakli, bog'liq bo'lgan Germit funktsiyalari uchun

${ displaystyle psi '' + ( lambda + 1-x ^ {2}) psi = 0.}$

Bilan bog'liq bo'lgan Hermit funktsiyalari matematik va fizikaning ko'plab sohalarida paydo bo'ladi, kvant mexanikasida ular Shredingerning harmonik osilator uchun tenglamasining echimlari, shuningdek, o'z funktsiyalari (o'z qiymati bilan (-)men ⁿ) ning uzluksiz Furye konvertatsiyasi.

Ko'plab mualliflar, xususan probabilistlar, og'irlik funktsiyasi bilan Hermit polinomlarining muqobil ta'rifidan foydalanadilar ${ displaystyle e ^ {- x ^ {2} / 2}}$ o'rniga ${ displaystyle e ^ {- x ^ {2}}}$. Agar yozuv U bu Hermit polinomlari uchun ishlatiladi va H yuqoridagilar uchun ular xarakterlanishi mumkin

${ displaystyle He_ {n} (x) = 2 ^ {- n / 2} , H_ {n} chap ({ frac {x} { sqrt {2}}} o'ng).}$

Qo'shimcha ma'lumot uchun qarang Hermit polinomlari.

Klassik ortogonal polinomlarning xarakteristikalari

Klassik ortogonal polinomlarni boshqalaridan ajratib turadigan bir nechta shartlar mavjud.

Birinchi shartni Sonin (keyinchalik Xahn) topdi, u (o'zgaruvchining chiziqli o'zgarishiga qadar) klassik ortogonal ko'pburchaklarning yagona ekanligi, ularning hosilalari ham ortogonal polinomlar ekanligini ko'rsatdi.

Bochner klassik ortogonal polinomlarni takrorlanish munosabatlari jihatidan tavsifladi.

Tricomi klassik ortogonal polinomlarni ma'lum analogiga ega bo'lganlar sifatida tavsifladi Rodriges formulasi.

Klassik ortogonal polinomlar jadvali

Quyidagi jadvalda klassik ortogonal polinomlarning xususiyatlari umumlashtirilgan.^[3]

Ism va an'anaviy belgi	Chebyshev, ${ displaystyle T_ {n}}$	Chebyshev (ikkinchi tur), ${ displaystyle U_ {n}}$	Legendre, ${ displaystyle P_ {n}}$	Hermit, ${ displaystyle H_ {n}}$
Ortogonallikning chegaralari[4]	${ displaystyle -1,1}$	${ displaystyle -1,1}$	${ displaystyle -1,1}$	${ displaystyle - infty, infty}$
Og'irligi, ${ displaystyle W (x)}$	${ displaystyle (1-x ^ {2}) ^ {- 1/2}}$	${ displaystyle (1-x ^ {2}) ^ {1/2}}$	${ displaystyle 1}$	${ displaystyle e ^ {- x ^ {2}}}$
Standartlashtirish	${ displaystyle T_ {n} (1) = 1}$	${ displaystyle U_ {n} (1) = n + 1}$	${ displaystyle P_ {n} (1) = 1}$	Etakchilik muddati ${ displaystyle = 2 ^ {n}}$
Norma maydoni [5]	${ displaystyle left {{ begin {matrix} pi &: ~ n = 0 pi / 2 &: ~ n neq 0 end {matrix}} o'ng.}$	${ displaystyle pi / 2}$	${ displaystyle { frac {2} {2n + 1}}}$	${ displaystyle 2 ^ {n} , n! , { sqrt { pi}}}$
Etakchi muddat [6]	${ displaystyle 2 ^ {n-1}}$	${ displaystyle 2 ^ {n}}$	${ displaystyle { frac {(2n)!} {2 ^ {n} , (n!) ^ {2}}}}$	${ displaystyle 2 ^ {n}}$
Ikkinchi muddat, ${ displaystyle k '_ {n}}$	${ displaystyle 0}$	${ displaystyle 0}$	${ displaystyle 0}$	${ displaystyle 0}$
${ displaystyle Q}$	${ displaystyle 1-x ^ {2}}$	${ displaystyle 1-x ^ {2}}$	${ displaystyle 1-x ^ {2}}$	${ displaystyle 1}$
${ displaystyle L}$	${ displaystyle -x}$	${ displaystyle -3x}$	${ displaystyle -2x}$	${ displaystyle -2x}$
${ displaystyle R (x) = e ^ { int { frac {L (x)} {Q (x)}} , dx}}$	${ displaystyle (1-x ^ {2}) ^ {1/2}}$	${ displaystyle (1-x ^ {2}) ^ {3/2}}$	${ displaystyle 1-x ^ {2}}$	${ displaystyle e ^ {- x ^ {2}}}$
Turli xil. tenglama, ${ displaystyle lambda _ {n}}$	${ displaystyle n ^ {2}}$	${ displaystyle n (n + 2)}$	${ displaystyle n (n + 1)}$	${ displaystyle 2n}$
Rodriges formulasida doimiy, ${ displaystyle e_ {n}}$	${ displaystyle (-2) ^ {n} , { frac { Gamma (n + 1/2)} { sqrt { pi}}}}$	${ displaystyle 2 (-2) ^ {n} , { frac { Gamma (n + 3/2)} {(n + 1) , { sqrt { pi}}}}}$	${ displaystyle (-2) ^ {n} , n!}$	${ displaystyle (-1) ^ {n}}$
Takrorlanish munosabati, ${ displaystyle a_ {n}}$	${ displaystyle 2}$	${ displaystyle 2}$	${ displaystyle { frac {2n + 1} {n + 1}}}$	${ displaystyle 2}$
Takrorlanish munosabati, ${ displaystyle b_ {n}}$	${ displaystyle 0}$	${ displaystyle 0}$	${ displaystyle 0}$	${ displaystyle 0}$
Takrorlanish munosabati, ${ displaystyle c_ {n}}$	${ displaystyle 1}$	${ displaystyle 1}$	${ displaystyle { frac {n} {n + 1}}}$	${ displaystyle 2n}$

Ism va an'anaviy belgi	Laguer bilan bog'liq, ${ displaystyle L_ {n} ^ {( alfa)}}$	Laguer, ${ displaystyle L_ {n}}$
Ortogonallikning chegaralari	${ displaystyle 0, infty}$	${ displaystyle 0, infty}$
Og'irligi, ${ displaystyle W (x)}$	${ displaystyle x ^ { alpha} e ^ {- x}}$	${ displaystyle e ^ {- x}}$
Standartlashtirish	Etakchilik muddati ${ displaystyle = { frac {(-1) ^ {n}} {n!}}}$	Etakchilik muddati ${ displaystyle = { frac {(-1) ^ {n}} {n!}}}$
Norma maydoni, ${ displaystyle h_ {n}}$	${ displaystyle { frac { Gamma (n + alfa +1)} {n!}}}$	${ displaystyle 1}$
Etakchi muddat, ${ displaystyle k_ {n}}$	${ displaystyle { frac {(-1) ^ {n}} {n!}}}$	${ displaystyle { frac {(-1) ^ {n}} {n!}}}$
Ikkinchi muddat, ${ displaystyle k '_ {n}}$	${ displaystyle { frac {(-1) ^ {n + 1} (n + alfa)} {(n-1)!}}}$	${ displaystyle { frac {(-1) ^ {n + 1} n} {(n-1)!}}}$
${ displaystyle Q}$	${ displaystyle x}$	${ displaystyle x}$
${ displaystyle L}$	${ displaystyle alpha + 1-x}$	${ displaystyle 1-x}$
${ displaystyle R (x) = e ^ { int { frac {L (x)} {Q (x)}} , dx}}$	${ displaystyle x ^ { alpha +1} , e ^ {- x}}$	${ displaystyle x , e ^ {- x}}$
Turli xil. tenglama, ${ displaystyle lambda _ {n}}$	${ displaystyle n}$	${ displaystyle n}$
Rodriges formulasida doimiy, ${ displaystyle e_ {n}}$	${ displaystyle n!}$	${ displaystyle n!}$
Takrorlanish munosabati, ${ displaystyle a_ {n}}$	${ displaystyle { frac {-1} {n + 1}}}$	${ displaystyle { frac {-1} {n + 1}}}$
Takrorlanish munosabati, ${ displaystyle b_ {n}}$	${ displaystyle { frac {2n + 1 + alfa} {n + 1}}}$	${ displaystyle { frac {2n + 1} {n + 1}}}$
Takrorlanish munosabati, ${ displaystyle c_ {n}}$	${ displaystyle { frac {n + alpha} {n + 1}}}$	${ displaystyle { frac {n} {n + 1}}}$

Ism va an'anaviy belgi	Gegenbauer, ${ displaystyle C_ {n} ^ {( alfa)}}$	Jakobi, ${ displaystyle P_ {n} ^ {( alfa, beta)}}$
Ortogonallikning chegaralari	${ displaystyle -1,1}$	${ displaystyle -1,1}$
Og'irligi, ${ displaystyle W (x)}$	${ displaystyle (1-x ^ {2}) ^ { alfa -1/2}}$	${ displaystyle (1-x) ^ { alfa} (1 + x) ^ { beta}}$
Standartlashtirish	${ displaystyle C_ {n} ^ {( alfa)} (1) = { frac { Gamma (n + 2 alfa)} {n! , Gamma (2 alfa)}}}$ agar ${ displaystyle alpha neq 0}$	${ displaystyle P_ {n} ^ {( alfa, beta)} (1) = { frac { Gamma (n + 1 + alfa)} {n! , Gamma (1+ alfa)} }}$
Norma maydoni, ${ displaystyle h_ {n}}$	${ displaystyle { frac { pi , 2 ^ {1-2 alfa} Gamma (n + 2 alfa)} {n! (n + alpha) ( Gamma ( alpha)) ^ {2} }}}$	${ displaystyle { frac {2 ^ { alpha + beta +1} , Gamma (n ! + ! alfa ! + +!!) , Gamma (n ! + ! beta ! + ! 1)} {n! (2n ! + ! alfa ! + ! beta ! + ! 1) Gamma (n ! + ! alfa ! + ! beta ! + ! 1)}}}$
Etakchi muddat, ${ displaystyle k_ {n}}$	${ displaystyle { frac { Gamma (2n + 2 alfa) Gamma (1/2 + alfa)} {n! , 2 ^ {n} , Gamma (2 alfa) Gamma (n + 1/2 + alfa)}}}$	${ displaystyle { frac { Gamma (2n + 1 + alfa + beta)} {n! , 2 ^ {n} , Gamma (n + 1 + alfa + beta)}}}$
Ikkinchi muddat, ${ displaystyle k '_ {n}}$	${ displaystyle 0}$	${ displaystyle { frac {( alfa - beta) , Gamma (2n + alfa + beta)} {(n-1)! , 2 ^ {n} , Gamma (n + 1 +) alfa + beta)}}}$
${ displaystyle Q}$	${ displaystyle 1-x ^ {2}}$	${ displaystyle 1-x ^ {2}}$
${ displaystyle L}$	${ displaystyle - (2 alfa +1) , x}$	${ displaystyle beta - alfa - ( alfa + beta +2) , x}$
${ displaystyle R (x) = e ^ { int { frac {L (x)} {Q (x)}} , dx}}$	${ displaystyle (1-x ^ {2}) ^ { alfa +1/2}}$	${ displaystyle (1-x) ^ { alfa +1} (1 + x) ^ { beta +1}}$
Turli xil. tenglama, ${ displaystyle lambda _ {n}}$	${ displaystyle n (n + 2 alfa)}$	${ displaystyle n (n + 1 + alfa + beta)}$
Rodriges formulasida doimiy, ${ displaystyle e_ {n}}$	${ displaystyle { frac {(-2) ^ {n} , n! , Gamma (2 alfa) , Gamma (n ! + ! 1/2 ! + ! alfa) } { Gamma (n ! + ! 2 alfa) Gamma ( alfa ! + ! 1/2)}}}$	${ displaystyle (-2) ^ {n} , n!}$
Takrorlanish munosabati, ${ displaystyle a_ {n}}$	${ displaystyle { frac {2 (n + alfa)} {n + 1}}}$	${ displaystyle { frac {(2n + 1 + alfa + beta) (2n + 2 + alfa + beta)} {2 (n + 1) (n + 1 + alfa + beta)}} }$
Takrorlanish munosabati, ${ displaystyle b_ {n}}$	${ displaystyle 0}$	${ displaystyle { frac {({ alpha} ^ {2} - { beta} ^ {2}) (2n + 1 + alfa + beta)} {2 (n + 1) (2n + alfa +) beta) (n + 1 + alfa + beta)}}}$
Takrorlanish munosabati, ${ displaystyle c_ {n}}$	${ displaystyle { frac {n + 2 { alpha} -1} {n + 1}}}$	${ displaystyle { frac {(n + alfa) (n + beta) (2n + 2 + alfa + beta)} {(n + 1) (n + 1 + alfa + beta) (2n + alfa) + beta)}}}$