Kofman - Grem algoritmi - Coffman–Graham algorithm

Yilda ish do'konlarini rejalashtirish va grafik rasm, Kofman - Grem algoritmi bu algoritm nomi bilan nomlangan Edvard G. Kofman, kichik va Ronald Grem, a elementlarini tartibga solish uchun qisman buyurtma qilingan to'plam darajalar ketma-ketligiga Algoritm tartibni ketma-ket ketma-ket keladigan element pastki darajaga berilishi va har bir sathda belgilangan kenglik chegarasidan oshmaydigan bir qator elementlar bo'lishi uchun tartibni tanlaydi. V. Qachon V = 2, bu aniq darajalarning mumkin bo'lgan minimal sonidan foydalanadi,[1] va umuman olganda u eng ko'p foydalanadi 2 − 2/V zarur darajadan ikki baravar ko'p.[2][3]

Muammoni hal qilish va ilovalar

Coffman-Graham algoritmi bilan hal qilingan ish do'konini rejalashtirish muammosining versiyasida bitta to'plam berilgan. n ish joylari J1, J2, ..., Jn, ustunlik cheklovlari tizimi bilan birgalikda Jmen < Jj bu ishni talab qiladi Jmen ishdan oldin bajarilishi kerak Jj boshlanadi. Har bir ishni bajarish uchun birlik vaqtini olish kerak deb taxmin qilinadi. Rejalashtirish vazifasi ushbu ishlarning har birini tizimdagi vaqt oralig'iga tayinlashdir V bir xil protsessorlar, minimallashtirish yasash topshiriq (birinchi ish boshlanganidan yakuniy ish tugagunga qadar bo'lgan vaqt). Xulosa qilib aytganda, ustuvorlik cheklovlari ish joylarida qisman tartibni belgilaydi, shuning uchun muammoni ushbu qisman tartib elementlarini darajalarga (vaqt oraliqlariga) har bir vaqt oralig'ida ko'pi bilan ko'p ishlarga ega bo'ladigan tarzda belgilashning bir usuli sifatida o'zgartirish mumkin. protsessorlar (ko'pi bilan V ustunlik cheklovlarini hisobga olgan holda har bir darajadagi elementlar). Ushbu dastur Coffman va Graham uchun o'zlarining algoritmlarini ishlab chiqish uchun asl motivatsiya edi.[1][4]

In qatlamli grafik chizish tomonidan belgilangan ramka Sugiyama, Tagava va Toda (1981)[5] kirish a yo'naltirilgan grafik va grafika chizmasi bir necha bosqichda qurilgan:[6][7]

  1. A teskari aloqa yoyi o'rnatilgan tanlangan va kirishni a ga aylantirish uchun ushbu to'plamning qirralari teskari yo'naltirilgan yo'naltirilgan asiklik grafik.
  2. Grafik tepalariga butun son berilgan y- har bir chekka uchun boshning tepa uchi tugaydigan vertikadan yuqori koordinataga ega bo'ladigan tarzda koordinatalarini eng ko'pi bilan V tepaliklar bir xil bo'lishadi y- muvofiqlashtirish.
  3. Dummy vertikalar har bir chetga kiritiladi, shunda bo'linadigan qirralarning barchasi chizilganning qo'shni darajalarida joylashgan tepalik juftlarini bog'laydi.
  4. Xuddi shu tepaliklarning har bir guruhi ichida y- koordinatali, tepaliklar buzilgan minimallashtirish uchun o'tish joylari soni natijada olingan rasmda va tepaliklar tayinlangan x- bu almashtirish bilan izchil koordinatalar.
  5. Grafaning tepalari va qirralari ularga berilgan koordinatalar bilan chiziladi.

Ushbu doirada y-koordinatali topshiriq yana qisman tartiblangan to'plam elementlarini (grafaning tepalari, bilan.) guruhlashni o'z ichiga oladi erishish imkoniyati tepaliklar to'plamiga buyurtma berish) qatlamlarga (bir xil tepaliklar to'plamlari) y-koordinat), bu Kofman-Grem algoritmi bilan hal qilingan muammo.[6] Qatlam bosqichiga Kofman-Grem algoritmidan ko'ra muqobil yondashuvlar mavjud bo'lishiga qaramay, bu muqobillar umuman darajaning maksimal kengligi chegarasini o'z ichiga olmaydi yoki kompleksga tayanmaydi. butun sonli dasturlash protseduralar.[8]

Keyinchalik mavhum ravishda, ushbu ikkala muammo ham kirish qisman tartiblangan to'plam va butun sondan iborat bo'lgan muammo sifatida rasmiylashtirilishi mumkin. V. Istalgan natija - bu qisman tartiblangan to'plam elementlariga butun sonli darajadagi raqamlarni belgilash, agar shunday bo'lsa x < y qisman tartibning tegishli elementlarining tartiblangan juftligi, berilgan raqam x tayinlangan sondan kichikroq y, eng ko'pi kabi V elementlarga bir-birlari bilan bir xil son beriladi va eng kichik va eng katta berilganlar orasidagi farqni minimallashtiradi.

Algoritm

Kofman-Grem algoritmi quyidagi amallarni bajaradi.[6]

  1. Qisman tartibni u bilan ifodalaydi o'tish davri kamayishi yoki qamrab oluvchi munosabat, yo'naltirilgan asiklik grafik G ning chekkasi bor x ga y har doim x < y va uchinchi element mavjud emas z buning uchun qisman buyurtma x < z < y. Kofman-Grem algoritmining grafik chizish dasturlarida, natijada yo'naltirilgan asiklik grafik chizilgan grafik bilan bir xil bo'lmasligi mumkin va rejalashtirish dasturlarida u kirishning har bir ustunlik cheklovi uchun chekka bo'lmasligi mumkin: ikkala holatda ham , o'tishni qisqartirish qisman tartibni aniqlash uchun kerak bo'lmagan ortiqcha qirralarni olib tashlaydi.
  2. Qurish a topologik tartiblash ning G bunda tepaliklar buyuriladi leksikografik jihatdan kelgan qo'shnilarining pozitsiyalari to'plami bo'yicha. Buning uchun vertikalni tanlashning har bir bosqichida, tepaliklarni buyurtma ustiga birma-bir qo'shing v keladigan qo'shnilarga shunday qo'shish kerak v barchasi allaqachon qisman buyurtmaning bir qismidir va yaqinda qo'shni qo'shni qo'shni v o'rniga qo'shilishi mumkin bo'lgan boshqa har qanday tepalikning so'nggi qo'shilgan qo'shnisidan oldinroq v. Agar ikkita tepalik yaqinda qo'shilgan qo'shniga ega bo'lsa, algoritm yaqinda qo'shilgan ikkinchi qo'shnisi foydasiga bog'lanishni buzadi va hokazo.
  3. Ning tepaliklarini tayinlang G oldingi bosqichda tuzilgan topologik tartiblashning teskari tomonidagi darajalarga. Har bir tepalik uchun v, qo'shish v har qanday chiqadigan qo'shnining eng yuqori darajasidan kamida bir qadam yuqori darajaga v, allaqachon mavjud emas V unga tayinlangan elementlar va bu ikkita cheklovga bog'liq holda iloji boricha pastroq.

Tahlil

Sifatida Coffman & Graham (1972) dastlab isbotlangan, ularning algoritmi optimal topshiriqni hisoblab chiqadi V = 2; ya'ni ikkita protsessorda birlik uzunligi bo'yicha ishlarni rejalashtirish uchun yoki har bir qatlam uchun ko'pi bilan ikkita tepalik bilan qatlamli grafik chizish muammolari uchun.[1] Yaqindan bog'liq bo'lgan algoritm, shuningdek, har xil uzunlikdagi ishlarni rejalashtirish uchun eng maqbul echimni topadi, bu rejalashtirilgan ishlarni oldindan ikkita protsessorda joylashtirishga imkon beradi.[9] Uchun V > 2, Coffman-Graham algoritmi bir necha darajalardan foydalanadi (yoki jadval bilan jadval tuzadi), 2 − 2/V optimal.[2][3] Masalan, uchun V = 3, bu eng ko'p ishlatilishini anglatadi 4/3 optimal darajadan ikki baravar ko'p. Oldingi cheklovlarning qisman tartibi an intervalli tartib, yoki qisman buyurtmalarning bir nechta tegishli sinflariga tegishli bo'lsa, Kofman-Grem algoritmi uning kengligi qanday bo'lishidan qat'iy nazar minimal darajadagi echimni topadi.[10]

Kofman-Grem algoritmi (bu erda taqdimotdan topologik jihatdan buyurtma berish uchun o'zgartirilgan) teskari grafik ning G va tepaliklarni iloji boricha kechroq emas, iloji boricha tezroq joylashtiradi) minimallashtiradi umumiy oqim vaqti ikki protsessorli jadvallarning yakka tartibdagi ishlarini bajarish vaqtining yig'indisi. Tegishli algoritmdan ishlarni oldindan ko'rib chiqishga ruxsat berilgan muammoning versiyasi uchun oqimning umumiy vaqtini minimallashtirish uchun foydalanish mumkin.[11]

Coffman & Graham (1972) va Lenstra va Rinnooy Kan (1978)[12] Kofman-Grem algoritmining vaqt murakkabligini ayting n-element qisman buyurtma, bo'lishi kerak O(n2). Biroq, ushbu tahlil transitiv qisqartirishni qurish vaqtini qoldiradi, bu chegarada mumkin emasligi ma'lum emas. Seti (1976) algoritmning topologik tartiblash bosqichini qanday amalga oshirishni ko'rsatadi chiziqli vaqt g'oyasi asosida bo'limni takomillashtirish.[13] Seti shuningdek, a yordamida algoritmning darajani belgilash bosqichini qanday samarali amalga oshirishni ko'rsatib beradi ajratilgan ma'lumotlar tuzilishi. Xususan, ushbu tuzilmaning keyinchalik nashr etilgan versiyasi bilan Gabov va Tarjan (1985), bu bosqich ham chiziqli vaqtni oladi.[14]

Adabiyotlar

  1. ^ a b v Coffman, E. G., Jr.; Grem, R. L. (1972), "Ikki protsessorli tizimlar uchun optimal rejalashtirish" (PDF), Acta Informatica, 1: 200–213, doi:10.1007 / bf00288685, JANOB  0334913.
  2. ^ a b Lam, Shui; Seti, Ravi (1977), "Ikkala rejalashtirish algoritmining yomon holati tahlili", Hisoblash bo'yicha SIAM jurnali, 6 (3): 518–536, doi:10.1137/0206037, JANOB  0496614.
  3. ^ a b Braschi, Bertran; Trystram, Denis (1994), "Kofman-Grem algoritmi haqida yangi tushuncha", Hisoblash bo'yicha SIAM jurnali, 23 (3): 662–669, doi:10.1137 / S0097539790181889, JANOB  1274650.
  4. ^ Leung, Jozef Y.-T. (2004), "Ba'zi bir asosiy rejalashtirish algoritmlari", Rejalashtirish bo'yicha qo'llanma: Algoritmlar, modellar va ishlashni tahlil qilish, CRC Press, ISBN  978-1-58488-397-5.
  5. ^ Sugiyama, Kozo; Tagava, Shojiro; Toda, Mitsuxiko (1981), "Ierarxik tizim tuzilmalarini vizual tushunish usullari", IEEE tizimlari, inson va kibernetika bo'yicha operatsiyalar, SMC-11 (2): 109-125, doi:10.1109 / TSMC.1981.4308636, JANOB  0611436.
  6. ^ a b v Battista, Juzeppe; Eades, Butrus; Tamassiya, Roberto; Tollis, Ioannis G. (1999), "9-bob: Digraflarning qatlamli rasmlari", Grafik chizish: Grafiklarni vizualizatsiya qilish algoritmlari, Prentice Hall, 265–302 betlar.
  7. ^ Bastert, Oliver; Matuszewski, Christian (2001), "Digraflarning qatlamli rasmlari", Kaufmanda, Maykl; Vagner, Doroteya (tahr.), Grafika chizish: usullar va modellar, Kompyuter fanidan ma'ruza matnlari, 2025, Springer-Verlag, 87-120 betlar, doi:10.1007/3-540-44969-8_5. Bastert va Matushevskiy shuningdek, Kofman-Grem algoritmining tavsifini o'z ichiga oladi; ammo, ular algoritmning o'tish davri qisqartirish bosqichini qoldiradilar.
  8. ^ Xili, Patrik; Nikolov, Nikola S. (2002), "Qanday qilib yo'naltirilgan asiklik grafikni qatlamlash kerak", Grafika chizmasi: 9-Xalqaro simpozium, GD 2001 yil Vena, Avstriya, 2001 yil 23-26 sentyabr, Qayta ko'rib chiqilgan hujjatlar, Kompyuter fanidan ma'ruza matnlari, 2265, Springer-Verlag, 16-30 betlar, doi:10.1007/3-540-45848-4_2, JANOB  1962416.
  9. ^ Muntz, R. R .; Kofman, E. G. (1969), "Ikki protsessorli tizimlarda maqbul oldindan rejalashtirish", Kompyuterlarda IEEE operatsiyalari, 18: 1014–1020, doi:10.1109 / T-C.1969.222573.
  10. ^ Shardon, Mark; Moukrim, Aziz (2005), "Kofman-Grem algoritmi UET topshiriq tizimlarini ortiqcha intervalli buyurtmalar bilan optimal tarzda hal qiladi", Diskret matematika bo'yicha SIAM jurnali, 19 (1): 109–121, doi:10.1137 / S0895480101394999, JANOB  2178187.
  11. ^ Coffman, E. G., Jr.; Seturaman, J .; Timkovskiy, V. G. (2003), "Ikki protsessorda ideal profilaktika jadvallari", Acta Informatica, 39 (8): 597–612, doi:10.1007 / s00236-003-0119-6, JANOB  1996238.
  12. ^ Lenstra, J. K.; Rinnooy Kan, A. H. G. (1978), "Dastur cheklovlari ostida rejalashtirishning murakkabligi", Operatsion tadqiqotlar, 26 (1): 22–35, doi:10.1287 / opre.26.1.22, hdl:10338.dmlcz / 141477, JSTOR  169889, JANOB  0462553.
  13. ^ Seti, Ravi (1976), "Ikki protsessorda grafikalar tuzish", Hisoblash bo'yicha SIAM jurnali, 5 (1): 73–82, doi:10.1137/0205005, JANOB  0398156.
  14. ^ Gabov, Garold N.; Tarjan, Robert Endre (1985), "Ajratilgan to'plamlar birlashmasining maxsus ishi uchun chiziqli vaqt algoritmi", Kompyuter va tizim fanlari jurnali, 30 (2): 209–221, doi:10.1016/0022-0000(85)90014-5, JANOB  0801823.