Kompleks kvadratchalar xaritasi - Complex squaring map

Matematikada murakkab kvadratchalar xaritasi, a polinom xaritalash ikkinchi daraja, ning sodda va qulay namoyishidir tartibsizlik dinamik tizimlarda. Uni quyidagi bosqichlarni bajarish orqali qurish mumkin:

Istalganini tanlang murakkab raqam ustida birlik doirasi kimning dalil (murakkab burchak) π ning ratsional qismi emas,
Ushbu sonni bir necha marta kvadratga qo'ying.

Ushbu takrorlash (takrorlash) o'zlarining murakkab burchagi bilan yakka holda ta'riflanadigan murakkab sonlar ketma-ketligini hosil qiladi. Yuqoridagi (1) ga mos keladigan har qanday boshlang'ich burchak tanlovi qadamlarning soddaligini inkor etadigan juda murakkab burchaklarning ketma-ketligini keltirib chiqaradi. Bu ketma-ketlikni ko'rsatishi mumkin tartibsiz, ya'ni boshlang'ich burchakning batafsil tanloviga sezgir.

Xaos va kompleks kvadratchalar xaritasi

Takrorlashning xaotik bo'lishining norasmiy sababi shundaki, burchak har bir iteratsiyada ikki baravar ko'payadi va ikki baravar ko'payib boradi, chunki burchak tobora kattalashib boradi, lekin burchaklari 2π ga ko'paytiriladi (radianlar ) bir xil. Shunday qilib, burchak 2π dan oshganda, kerak o'rash qolgan qismiga 2π ga bo'linishda. Shuning uchun, burchakka qarab o'zgartiriladi dyadik transformatsiya (shuningdek, 2x mod 1 xaritasi sifatida ham tanilgan). Dastlabki qiymat sifatida z₀ uning argumenti π, the ning ratsional ko'paytmasi bo'lmasligi uchun tanlangan oldinga orbitada ning z_n o'zini takrorlay olmaydi va davriy bo'ladi.

Rasmiy ravishda, takrorlashni quyidagicha yozish mumkin:

{ displaystyle qquad z_ {n + 1} = z_ {n} ^ {2}}

qayerda ${ displaystyle z_ {n}}$ Yuqoridagi bosqichlarni takrorlash natijasida olingan murakkab sonlarning ketma-ketligi va ${ displaystyle z_ {0}}$ boshlang'ich boshlang'ich raqamini anglatadi. Ushbu takrorlashni aniq hal qilishimiz mumkin:

{ displaystyle qquad z_ {n} = z_ {0} ^ {2 ^ {n}}}

Angle burchakdan boshlanib, boshlang'ich atamani quyidagicha yozishimiz mumkin ${ displaystyle z_ {0} = exp (i theta)}$ Shuning uchun; ... uchun; ... natijasida ${ displaystyle z_ {n} = exp (i2 ^ {n} theta)}$ . Bu burchakning ketma-ket ikki baravar ko'payishini aniq qiladi. (Bu munosabat bilan tengdir ${ displaystyle z_ {n} = cos (2 ^ {n} theta) + i sin (2 ^ {n} theta)}$ .)

Umumlashtirish

Ushbu xarita murakkab kvadratik xarita, ko'plab maxsus holatlar uchun aniq echimlarga ega.^[1] Oldingi raqamni istalgan tabiiy son darajasiga ko'tarish natijasida olingan murakkab xarita ${ displaystyle z_ {n + 1} = z_ {n} ^ {p}}$ kabi aniq hal qilinadi ${ displaystyle z_ {n} = z_ {0} ^ {p ^ {n}}}$ . Bunday holda p = 2, dinamikani dyadik transformatsiyaga solishtirish mumkin, yuqorida aytib o'tilganidek, lekin uchun p > 2, biz smenada xaritasini olamiz raqamlar bazasi p. Masalan, p = 10 - bu kasrni almashtirish xaritasi.

Shuningdek qarang

Adabiyotlar

^ M. Little, D. Heesch (2004), Kichik polinomlar sinfi uchun xaotik ildiz topish, Farq tenglamalari va ilovalari jurnali, 10(11):949–953.

[1] M. Little, D. Heesch (2004), Kichik polinomlar sinfi uchun xaotik ildiz topish, Farq tenglamalari va ilovalari jurnali, 10(11):949–953.

[1]