Supero'tkazuvchilar (halqa nazariyasi) - Conductor (ring theory)

Yilda halqa nazariyasi, filiali matematika, dirijyor komutativ halqa va uzaytiruvchi halqaning bir-biridan qanchalik uzoqligini o'lchashdir. Ko'pincha, katta halqa domen hisoblanadi to'liq yopiq unda kasrlar maydoni, so'ngra dirijyor kichikroq halqaning ajralmas yopilishini buzadi.

Supero'tkazuvchilar algebraik sonlar maydonining butun sonlari halqasidagi maksimal bo'lmagan tartiblarni o'rganishda katta ahamiyatga ega. Dirijyorning bir talqini shundaki, u asosiy omillarga noyob faktorizatsiya muvaffaqiyatsizligini o'lchaydi.

Ta'rif

Ruxsat bering A va B komutativ halqalar bo'ling va taxmin qiling $A \subseteq B$ . The dirijyor ^[1] ning A yilda B idealdir

{displaystyle {mathfrak {f}} (B / A) = operator nomi {Ann} _ {A} (B / A).}

Bu yerda $B / A$ ning keltirilgan qismi sifatida qaraladi A-modullar va $Ann$ belgisini bildiradi yo'q qiluvchi. Aniqroq aytganda, dirijyor - bu to'plam

{displaystyle {mathfrak {f}} (B / A) = {ain Acolon aBsubseteq A}.}

Supero'tkazuvchilar yo'q qilish uchun belgilanganligi sababli, bu ideal A.

Agar B ajralmas domen bo'lib, u holda dirijyor qayta yozilishi mumkin

{displaystyle {0} cup {ain Asetminus {0}: Bsubseteq extstyle {frac {1} {a}} A},}

qayerda ${displaystyle extstyle {frac {1} {a}} A}$ ning fraktsiya maydonining kichik to'plami sifatida qaraladi B. Ya'ni, agar a nolga teng emas va o'tkazgichda, keyin har bir element B numeratori joylashgan kasr shaklida yozilishi mumkin A va kimning maxraji hisoblanadi a. Shuning uchun dirijyorning nolga teng bo'lmagan elementlari - ning elementlarini yozishda umumiy belgi sifatida etarli bo'lgan elementlar B elementlarining kvotentsiyalari sifatida A.

Aytaylik R o'z ichiga olgan uzukdir B. Masalan, R tenglashishi mumkin B, yoki B domen bo'lishi mumkin va R uning kasrlar maydoni. Keyin, chunki $1 \in B$ , dirijyor ham teng

{displaystyle {rin R: rBsubseteq A}.}

Elementar xususiyatlar

Supero'tkazuvchi butun halqadir A agar u faqat o'z ichiga olgan bo'lsa $1 \in A$ va shuning uchun, agar va faqat shunday bo'lsa $A = B$ . Aks holda, dirijyor ideal ideal hisoblanadi A.

Agar indeks bo'lsa $m = [B : A]$ cheklangan, keyin $mB \subseteq A$ , shuning uchun ${displaystyle min {mathfrak {f}} (B / A)}$ . Bunday holda, o'tkazgich nolga teng emas. Bu, ayniqsa, qachon amal qiladi B algebraik sonlar maydonidagi butun sonlarning halqasi va A buyurtma (buning uchun subringa) $B / A$ cheklangan).

Supero'tkazuvchilar ham idealdir B, chunki, har qanday kishi uchun $b \in B$ va har qanday ${displaystyle ain {mathfrak {f}} (B / A)}$ , $baB \subseteq aB \subseteq A$ . Aslida ideal J ning B tarkibida mavjud A agar va faqat agar J dirijyorda mavjud Darhaqiqat, bunday uchun J, $JB \subseteq J \subseteq A$ , shuning uchun ta'rifga ko'ra J tarkibida mavjud ${displaystyle {mathfrak {f}} (B / A)}$ . Aksincha, dirijyor ideal A, shuning uchun undagi har qanday ideal tarkibida bo'ladi A. Bu haqiqat shuni anglatadi ${displaystyle {mathfrak {f}} (B / A)}$ ning eng katta idealidir A bu ham idealdir B. (Bu ideallar mavjud bo'lishi mumkin A ideal bo'lmagan dirijyorda mavjud B.)

Aytaylik S ning multiplikativ kichik qismi A. Keyin

{displaystyle S ^ {- 1} {mathfrak {f}} (B / A) subeteq {mathfrak {f}} (S ^ {- 1} B / S ^ {- 1} A),}

bu holda tenglik bilan B nihoyatda hosil bo'lgan A-modul.

Dedekind domenlarining o'tkazgichlari

Supero'tkazuvchilarning ba'zi muhim dasturlari qachon paydo bo'ladi B a Dedekind domeni va $B / A$ cheklangan. Masalan, B a sonining halqasi bo'lishi mumkin raqam maydoni va A maksimal bo'lmagan tartib. Yoki, B cheklangan maydon bo'ylab silliq proektsion egri chiziqning affin koordinatali halqasi va bo'lishi mumkin A singular modelning affin koordinatali halqasi. Uzuk A asosiy ideallarga xos faktorizatsiyaga ega emas va noyob faktorizatsiya muvaffaqiyatsizligi dirijyor tomonidan o'lchanadi ${displaystyle {mathfrak {f}} (B / A)}$ .

Dirijyorga teng keladigan ideallar Dedekind domenlarida ideallarning ko'plab yoqimli xususiyatlarini baham ko'radi. Bundan tashqari, ushbu ideallar uchun ideallar o'rtasida qat'iy muvofiqlik mavjud B va ideallari A:

Ning ideallari A nisbatan asosiy bo'lgan ${displaystyle {mathfrak {f}} (B / A)}$ Supero'tkazuvchilar bilan teng keladigan o'zgaruvchan asosiy ideal mahsulotlariga noyob faktorizatsiyaga ega. Xususan, bu kabi ideallarning barchasi teskari.
Agar Men ning idealidir B bu nisbatan asosiy hisoblanadi ${displaystyle {mathfrak {f}} (B / A)}$ , keyin $Men \cap A$ ning idealidir A bu nisbatan asosiy hisoblanadi ${displaystyle {mathfrak {f}} (B / A)}$ va tabiiy halqa gomomorfizmi ${displaystyle A / (Icap A) o B / I}$ izomorfizmdir. Jumladan, Men agar shunday bo'lsa va u faqat asosiy bo'lsa $Men \cap A$ asosiy hisoblanadi.
Agar J ning idealidir A bu nisbatan asosiy hisoblanadi ${displaystyle {mathfrak {f}} (B / A)}$ , keyin $JB$ ning idealidir B bu nisbatan asosiy hisoblanadi ${displaystyle {mathfrak {f}} (B / A)}$ va tabiiy halqa gomomorfizmi ${displaystyle A / J o B / JB}$ izomorfizmdir. Jumladan, J agar shunday bo'lsa va u faqat asosiy bo'lsa JB asosiy hisoblanadi.
Vazifalar ${displaystyle Imapsto Icap A}$ va ${displaystyle Jmapsto JB}$ ning ideallari orasidagi biektsiyani aniqlang A nisbatan boshlang’ich ${displaystyle {mathfrak {f}} (B / A)}$ va ideallari B nisbatan boshlang’ich ${displaystyle {mathfrak {f}} (B / A)}$ . Ushbu bijection asosiy bo'lish xususiyatini saqlaydi. Bu shuningdek multiplikativ, ya'ni ${displaystyle (Icap A) (I'cap A) = II'cap A}$ va ${displaystyle (JB) (J'B) = JJ'B}$ .

Ushbu xususiyatlarning barchasi umuman dirijyorga mos kelmaydigan ideallar uchun muvaffaqiyatsiz bo'ladi. Vujudga kelishi mumkin bo'lgan ba'zi qiyinchiliklarni ko'rish uchun shunday deb taxmin qiling J ikkalasining nolga teng bo'lmagan idealidir A va B (xususan, u dirijyorga o'xshash emas). Keyin J qaytarib bo'lmaydigan bo'lishi mumkin emas kasr ideal ning A agar bo'lmasa $A = B$ . Chunki B bu Dedekind domeni, J invertable Bva shuning uchun

{displaystyle {xin Kcolon xJsubseteq J} = B,}

chunki biz tenglamaning ikkala tomonini ko'paytira olamiz $xJ \subseteq J$ tomonidan J⁻¹. Agar J shuningdek, invertatsiya qilinadi A, keyin xuddi shu fikr amal qiladi. Ammo yuqoridagi tenglamaning chap tomonida hech qanday ishora yo'q A yoki B, faqat ularning umumiy kasr maydoniga va shuning uchun $A = B$ . Shuning uchun ikkalasining ham idealidir A va B in-ning o'zgarmasligini anglatadi A.

Kvadratik sonli maydonlarning o'tkazgichlari

Ruxsat bering K ning kvadratik kengaytmasi bo'lishi Qva ruxsat bering $O K$ uning butun sonlari halqasi bo'ling. Uzaytirish orqali $1 \in O K$ a Z-baza, biz har bir buyurtma ekanligini ko'ramiz O yilda K shaklga ega $Z + cO K$ ba'zi bir musbat tamsayı uchun v. Ushbu buyurtmaning dirijyori idealga teng cO_K. Darhaqiqat, bu aniq cO_K ning idealidir O_K tarkibida O, shuning uchun u dirijyorda mavjud. Boshqa tomondan, ideallari O o'z ichiga olgan cO_K bu halqaning ideallari bilan bir xil $(Z + cO K) / cO K$ . Oxirgi halqa izomorfikdir $Z / v Z$ ikkinchi izomorfizm teoremasi bo'yicha, shuning uchun barcha ideallar O ning yig'indisi cO_K ideal bilan Z. Ushbu izomorfizm ostida dirijyor yo'q bo'lib ketadi $Z / v Z$ , shunday bo'lishi kerak $v Z$ .

Bunday holda, indeks $[O K : O]$ ga teng v, shuning uchun kvadrat sonlar maydonlarining buyurtmalari uchun indeks dirijyor bilan aniqlanishi mumkin. Ushbu identifikatsiya yuqori darajadagi raqamlar uchun bajarilmaydi.

Malumot

^ Burbaki, Nikolas (1989). Kommutativ algebra. Springer. p. 316. ISBN 0-387-19371-5.

Shuningdek qarang

Integral element

[1] Burbaki, Nikolas (1989). Kommutativ algebra. Springer. p. 316. ISBN 0-387-19371-5.

[1]