Elliptik egri chiziqning o'tkazuvchisi - Conductor of an elliptic curve

Matematikada elliptik egri chiziqning o'tkazuvchisi maydonida ratsional sonlar, yoki umuman olganda a mahalliy yoki global maydon, ga o'xshash ajralmas idealdir Artin dirijyori Galois vakili. U mahsuloti sifatida berilgan asosiy ideallar, bilan bog'langan eksponentlar bilan birgalikda tarqalish ichida maydon kengaytmalari dagi cheklangan tartib nuqtalari tomonidan hosil qilingan guruh qonuni ning elliptik egri chiziq. Supero'tkazuvchilar bilan bog'liq bo'lgan tub sonlar aniq yomon pasayish egri chiziq: bu Neron-Ogg-Shafarevich mezonlari.

Ogg formulasi dirijyorni diskriminant va yordamida hisoblash mumkin bo'lgan mahalliy maydon bo'yicha maxsus tolaning tarkibiy qismlari soni Teyt algoritmi.

Tarix

Mahalliy maydon bo'ylab elliptik egri chiziqning o'tkazuvchisi bilvosita o'rganilgan (ammo nomlanmagan) Ogg (1967) inv + δ butun o'zgarmas shaklida, keyinchalik u dirijyorning ko'rsatkichi bo'lib chiqdi.

Ratsionalliklar bo'yicha elliptik egri chiziqning o'tkazuvchisi kiritilgan va nomlangan Vayl (1967) global maydonning dirijyori uning zeta funktsiyasining funktsional tenglamasida paydo bo'lishiga o'xshash, L seriyasining funktsional tenglamasida doimiy ravishda paydo bo'ladi. U (Δ) - m + 1 buyrug'i bilan berilgan ko'rsatkichlar bilan sonlar soniga ko'paytma sifatida yozilishi mumkinligini ko'rsatdi, bu Ogg formulasi bilan ε + δ ga teng. Shunga o'xshash ta'rif har qanday global maydon uchun ishlaydi. Vayl shuningdek, Supero'tkazuvchilar elliptik egri chiziqqa mos keladigan modulli shakl darajasiga teng deb taxmin qildi.

Serre va Teyt (1968) nazariyani abeliya navlarining o'tkazgichlariga etkazdi.

Ta'rif

Ruxsat bering E a ustida aniqlangan elliptik egri chiziq bo'ling mahalliy dala K va p ning asosiy idealidir butun sonlarning halqasi ning K. Biz ko'rib chiqamiz minimal tenglama uchun E: umumlashtirilgan Vaystrassass tenglamasi ularning koeffitsientlari p- integral va diskriminantni baholash bilan ν_p(Δ) imkon qadar kichikroq. Agar diskriminant a p-birlik E bor yaxshi pasayish da p va o'tkazgichning ko'rsatkichi nolga teng.

Biz eksponentni yozishimiz mumkin f o'tkazgichning uyg'unlashuvi va yovvoyi tarqalishiga mos keladigan ikkita hadning ε + ram yig'indisi sifatida. Uyali ramifikatsiya bo'limi the qisqartirish turi bo'yicha aniqlanadi: yaxshi kamaytirish uchun ph = 0, multiplikativ kamaytirish uchun ph = 1 va qo'shimchani kamaytirish uchun ph = 2. Y yovvoyi tarqalish muddati δ nolga teng p 2 yoki 3 ni ajratadi, keyingi holatlarda esa u tomonidan belgilanadi yovvoyi shov-shuv kengaytmalarining K tomonidan bo'linish nuqtalari ning E Serr formulasi bo'yicha

{ displaystyle delta = dim _ {Z / lZ} { text {Hom}} _ {Z_ {l} [G]} (P, M)}

Bu yerda M - tartibning elliptik egri chizig'idagi nuqtalar guruhi l eng yaxshi uchun l, P bo'ladi Oqqushlarning vakili va G ning cheklangan kengayishining Galois guruhi K shunday qilib M ustiga belgilanadi (shunday qilib) G harakat qiladi M)

Ogg formulasi

Supero'tkazuvchilar ko'rsatkichi Ogg formulasi bo'yicha elliptik egri chiziqning boshqa invariantlari bilan bog'liq:

{ displaystyle f _ { mathbf {p}} = nu _ { mathbf {p}} ( Delta) + 1-n ,}

qayerda n - ning yagona tolasining tarkibiy qismlari soni (ko'pliklarni hisobga olmasdan) Néron minimal modeli E. uchun (Bu ba'zan o'tkazgichning ta'rifi sifatida ishlatiladi).

Oggning asl isboti, ayniqsa 2 va 3 xususiyatlarida, ishni tekshirishda juda ko'p holatlardan foydalangan. Saito (1988) umumiy arifmetik yuzalarga yagona dalil va Ogg formulasini umumlashtirdi.

Shuningdek, biz ε ni baholash nuqtai nazaridan tavsiflashimiz mumkin j-o'zgarmas ν_p(j): yaxshi kamayganda 0 ga teng; aks holda, agar $ 1 $ bo'lsa_p(j) 0 bo'lsa, <0 va 2_p(j) ≥ 0.

Global dirijyor

Ruxsat bering E son maydonida aniqlangan elliptik egri chiziq bo'ling K. Global dirijyor - bu mahsulot tomonidan birinchi navbatda berilgan ideal K

{ displaystyle f (E) = prod _ { mathbf {p}} mathbf {p} ^ {f _ { mathbf {p}}} .}

Bu cheklangan mahsulot, chunki yomon pasayish tublari har qanday model uchun diskriminantning asosiy bo'linuvchilar to'plamida mavjud. E global integral koeffitsientlari bilan.

Adabiyotlar

Cremona, Jon (1997). Modulli elliptik egri chiziqlar algoritmlari (2-nashr). Kembrij universiteti matbuoti. ISBN 0-521-59820-6.
Husemöller, Deyl (2004). Elliptik egri chiziqlar. Matematikadan aspirantura matnlari. 111 (2-nashr). Springer. ISBN 0-387-95490-2.
Neron, André (1964), "Modèles minimaux des variétés abéliennes sur les corps locaux et globaux", Mathématiques de l'IHÉS nashrlari (frantsuz tilida), 21: 5–128, doi:10.1007 / BF02684271, ISSN 1618-1913, JANOB 0179172, Zbl 0132.41403
Ogg, A. P. (1967), "Elliptik egri chiziqlar va yovvoyi tarqalish", Amerika matematika jurnali, 89: 1–21, doi:10.2307/2373092, ISSN 0002-9327, JSTOR 2373092, JANOB 0207694, Zbl 0147.39803
Saito, Takeshi (1988), "Supero'tkazuvchilar, diskriminant va arifmetik sirtlarning Noether formulasi", Dyuk matematikasi. J., 57 (1): 151–173, doi:10.1215 / S0012-7094-88-05706-7, JANOB 0952229
Ser, Jan-Per; Teyt, Jon (1968), "Abeliya navlarini yaxshi pasaytirish", Matematika yilnomalari, Ikkinchi seriya, 88: 492–517, doi:10.2307/1970722, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970722, JANOB 0236190, Zbl 0172.46101
Silverman, Jozef H. (1994). Elliptik egri chiziqlar arifmetikasidagi rivojlangan mavzular. Matematikadan aspirantura matnlari. 151. Springer-Verlag. ISBN 0-387-94328-5.
Silverman, Jozef H.; Teyt, Jon (1992). Elliptik egri chiziqlaridagi ratsional ballar. Springer-Verlag. ISBN 0-387-97825-9.
Jon Teyt (1974). "Elliptik egri chiziqlar arifmetikasi". Mathematicae ixtirolari. 23 (3–4): 179–206. doi:10.1007 / BF01389745. Zbl 0296.14018.CS1 maint: ref = harv (havola)
Vayl, André (1967), "Über die Bestimmung Dirichletscher Reihen durch Funktionalgleichungen", Matematika. Ann., 168: 149–156, doi:10.1007 / BF01361551, JANOB 0207658

Qo'shimcha o'qish

Tashqi havolalar

Elliptik egri chiziqli ma'lumotlar - elliptik egri chiziqlar jadvallari Q dirijyor tomonidan sanab o'tilgan, Jon Kremona tomonidan hisoblab chiqilgan