Courant minimax printsipi - Courant minimax principle

Matematikada Courant minimax printsipi beradi o'zgacha qiymatlar haqiqiy nosimmetrik matritsa. Uning nomi berilgan Richard Courant.

Kirish

Courant minimax printsipi haqiqiy nosimmetrik matritsa uchun o'ziga xos qiymatlarni topish uchun shart beradi. Courant minimax printsipi quyidagicha:

Har qanday haqiqiy nosimmetrik matritsa uchun A,

${displaystyle lambda _ {k} = min limitlar _ {C} max limitlar _ {{| x | = 1}, {Cx = 0}} langle Ax, xangle,}$

qayerda C har qanday (k − 1) × n matritsa.

Vektorga e'tibor bering x bu xususiy vektor tegishli qiymatgaλ.

Courant minimax printsipi - bu maksimal teoremaning natijasidir q(x) = <Balta,x>, A haqiqiy nosimmetrik matritsa bo'lib, eng katta xususiy qiymat tomonidan berilgan λ₁ = maksimal_||x||=1q(x) = q(x₁), qaerda x₁ mos keladigan xususiy vektor. Bundan tashqari (maksimal teoremada) keyingi o'ziga xos qiymatlar λ_k va xususiy vektorlar x_k bir-biriga induksiya va ortogonal ravishda topiladi; shu sababli, λ_k = maksimalq(x_k) x_j,x_k> = 0, j < k.

Courant minimax printsipi hamda maksimal printsipini tasavvur qilish orqali tasavvur qilish mumkin, agar ||x|| = 1 a giperfera keyin matritsa A hiperferani an ga aylantiradi ellipsoid. Qachonki kesishuvchi katta o'q giperplane maksimal darajaga ko'tariladi - ya'ni kvadrat shaklning uzunligi q(x) maksimal darajaga ko'tarilgan - bu o'ziga xos vektor va uning uzunligi o'ziga xos qiymatdir. Boshqa barcha xususiy vektorlar bunga perpendikulyar bo'ladi.

Minimaks printsipi o'z-o'ziga qo'shilgan ijobiy operatorlarning xususiy qiymatlarini umumlashtiradi Xilbert bo'shliqlari, bu erda odatda o'rganish uchun ishlatiladi Sturm-Liovil muammosi.

Shuningdek qarang

• Min-maks teoremasi
• Maks-min tengsizlik
• Reyli taklifi

Adabiyotlar

• Courant, Richard; Xilbert, Devid (1989), Matematik fizika usuli, jild. Men, Wiley-Interscience, ISBN  0-471-50447-5 (31-34-betlar; aksariyat darsliklarda "maksimal-minimal usul" odatda hisobga olinadi Reyli va Rits, kim murojaat qilgan o'zgarishlarni hisoblash tovush nazariyasida.)
• Kiner, Jeyms P. Amaliy matematikaning tamoyillari: transformatsiya va yaqinlashtirish. Kembrij: Westview Press, 2000 yil. ISBN  0-7382-0129-4
• Shox, Rojer; Jonson, Charlz (1985), Matritsa tahlili, Kembrij universiteti matbuoti, p. 179, ISBN  978-0-521-38632-6