Degenerativ energiya darajasi - Degenerate energy levels

Yilda kvant mexanikasi, an energiya darajasi bu buzilib ketgan agar u a ning ikki yoki undan ortiq har xil o'lchanadigan holatlariga to'g'ri keladigan bo'lsa kvant tizimi. Aksincha, kvant mexanik tizimining ikki yoki undan ortiq har xil holatlari, agar ular o'lchov paytida bir xil energiya qiymatini beradigan bo'lsa, degeneratsiya deyiladi. Muayyan energiya darajasiga mos keladigan har xil holatlarning soni darajaning degeneratsiya darajasi sifatida tanilgan. U matematik tarzda Hamiltoniyalik bir nechta tizimga ega tizim uchun chiziqli mustaqil o'z davlati bir xil energiya bilan o'ziga xos qiymat.^{[1]:p. 48} Agar shunday bo'lsa, tizimning qaysi holatini va boshqalarni tavsiflash uchun faqat energiya etarli emas kvant raqamlari farqlash zarur bo'lganda aniq holatni tavsiflash uchun kerak. Yilda klassik mexanika, buni bir xil energiyaga mos keladigan har xil mumkin bo'lgan traektoriyalar nuqtai nazaridan tushunish mumkin.

Degeneratsiya asosiy rol o'ynaydi kvant statistik mexanika. Uchun N- uch o'lchovli zarrachalar tizimi, bitta energiya darajasi bir necha xil to'lqin funktsiyalariga yoki energiya holatlariga mos kelishi mumkin. Xuddi shu darajadagi tanazzulga uchragan holatlarning barchasi bir xil darajada to'ldirilishi mumkin. Bunday holatlarning soni ma'lum bir energiya darajasining degeneratsiyasini beradi.

Kvant tizimidagi degenerativ holatlar

Matematika

Kvant mexanik tizimining mumkin bo'lgan holatlari matematik jihatdan ajraladigan, murakkab mavhum vektorlar sifatida ko'rib chiqilishi mumkin Hilbert maydoni, esa kuzatiladigan narsalar bilan ifodalanishi mumkin chiziqli Ermit operatorlari ularga amal qilish. Tegishli narsani tanlab asos, ushbu vektorlarning tarkibiy qismlari va shu asosda operatorlarning matritsa elementlari aniqlanishi mumkin. Agar A a N × N matritsa, X nolga teng emas vektor va λ a skalar, shu kabi ${ displaystyle AX = lambda X}$, keyin skalar λ ning o'ziga xos qiymati deb aytiladi A va vektor X ga mos keladigan xususiy vektor deyiladi λ. Nol vektor bilan birgalikda, barchaning to'plami xususiy vektorlar berilgan o'ziga xos qiymatga mos keladi λ shakl subspace ning ℂⁿdeb nomlangan xususiy maydon ning λ. O'ziga xos qiymat λ ikki yoki undan ortiq har xil chiziqli mustaqil elektron vektorlarga to'g'ri keladi deyiladi buzilib ketgan, ya'ni, ${ displaystyle AX_ {1} = lambda X_ {1}}$ va ${ displaystyle AX_ {2} = lambda X_ {2}}$, qayerda ${ displaystyle X_ {1}}$ va ${ displaystyle X_ {2}}$ chiziqli mustaqil vektorlardir. The o'lchov o'sha o'ziga xos qiymatga mos keladigan xususiy maydonning qiymati uning nomi sifatida tanilgan degeneratsiya darajasi, bu cheklangan yoki cheksiz bo'lishi mumkin. Agar xususiy fazo bir o'lchovli bo'lsa, uning qiymati degeneratsiya qilinmaydi deb aytiladi.

Fizikani ifodalovchi matritsalarning o'ziga xos qiymatlari kuzatiladigan narsalar yilda kvant mexanikasi ushbu kuzatiladigan narsalarning o'lchanadigan qiymatlarini bering, shu qiymatlarga mos keladigan o'z davlatlari esa o'lchov natijasida tizimni topish mumkin bo'lgan holatlarni beradi. Kvant sistemasi energiyasining o lchanadigan qiymatlari Gemilton operatorining xususiy qiymatlari bilan berilgan bo lsa, uning xususiy holatlari tizimning mumkin bo lgan energetik holatlarini beradi. Energiya qiymati, agar u bilan bog'liq kamida ikkita chiziqli mustaqil energetik holat mavjud bo'lsa, degeneratsiya deyiladi. Bundan tashqari, har qanday chiziqli birikma ikki yoki undan ortiq degenerat xususiy davlatlar, xuddi shu energiya o'ziga xos qiymatiga mos keladigan Hamilton operatorining xususiy davlati. Bu aniq energiya qiymatining o'ziga xos maydonidan kelib chiqadi λ subspace (bo'lish yadro Hamilton minusining λ identifikatorni ko'paytiradi), shuning uchun chiziqli kombinatsiyalar ostida yopiladi.

Yuqoridagi teoremaning isboti.[2]:p. 52

Agar ${ displaystyle { hat {H}}}$ ifodalaydi Hamiltoniyalik operator va ${ displaystyle | psi _ {1} rangle}$ va ${ displaystyle | psi _ {2} rangle}$ bir xil qiymatga mos keladigan ikkita xususiy davlatdir E, keyin ${ displaystyle { hat {H}} | psi _ {1} rangle = E | psi _ {1} rangle}$ ${ displaystyle { hat {H}} | psi _ {2} rangle = E | psi _ {2} rangle}$ Ruxsat bering ${ displaystyle | psi rangle = c_ {1} | psi _ {1} rangle + c_ {2} | psi _ {2} rangle}$, qayerda ${ displaystyle c_ {1}}$ va ${ displaystyle c_ {2}}$ murakkab (umuman) doimiylar, ning har qanday chiziqli birikmasi bo'lsin ${ displaystyle | psi _ {1} rangle}$ va ${ displaystyle | psi _ {2} rangle}$.Shunda, ${ displaystyle { hat {H}} | psi rangle = { hat {H}} (c_ {1} | psi _ {1} rangle + c_ {2} | psi _ {2} rangle)}$ ${ displaystyle = c_ {1} { hat {H}} | psi _ {1} rangle + c_ {2} { hat {H}} | psi _ {2} rangle}$ ${ displaystyle = E (c_ {1} | psi _ {1} rangle + c_ {2} | psi _ {2} rangle)}$ ${ displaystyle = E | psi rangle}$ buni ko'rsatib turibdi ${ displaystyle | psi rangle}$ o'z davlati ${ displaystyle { hat {H}}}$ xuddi shu qiymat bilan E.

Degeneratsiyaning energiyani o'lchashga ta'siri

Degeneratsiya bo'lmagan taqdirda, agar kvant tizimining energiyasining o'lchangan qiymati aniqlansa, tizimning tegishli holati ma'lum bo'ladi, chunki har bir energiya o'ziga xos qiymatiga faqat bitta o'ziga xos davlat mos keladi. Ammo, agar hamiltoniyalik bo'lsa ${ displaystyle { hat {H}}}$ degeneratsiyalangan o'ziga xos qiymatga ega ${ displaystyle E_ {n}}$ g darajasi_n, u bilan bog'liq bo'lgan o'zga davlatlar a vektor subspace ning o'lchov g_n. Bunday holatda, ehtimol bir xil yakuniy holatlar bir xil natija bilan bog'liq bo'lishi mumkin ${ displaystyle E_ {n}}$, bularning barchasi g ning chiziqli birikmalaridir_n ortonormal xususiy vektorlar ${ displaystyle | E_ {n, i} rangle}$.

Bunday holda, tizim uchun energiya qiymatini holatdagi o'lchash ehtimoli ${ displaystyle | psi rangle}$ qiymatini beradi${ displaystyle E_ {n}}$ shu asosda har bir holatdagi tizimni topish ehtimoli yig'indisi bilan berilgan, ya'ni.

${ displaystyle P (E_ {n}) = sum _ {i = 1} ^ {g_ {n}} | langle E_ {n, i} | psi rangle | ^ {2}}$

Har xil o'lchamdagi degeneratsiya

Ushbu bo'lim turli o'lchamlarda o'rganilgan kvant tizimlarida degeneratsiyalangan energiya darajalarining mavjudligini tasvirlashga qaratilgan. Bir va ikki o'lchovli tizimlarni o'rganish yanada murakkab tizimlarni kontseptual tushunishga yordam beradi.

Bir o'lchovdagi degeneratsiya

Bir nechta hollarda, analitik natijalarni bir o'lchovli tizimlarni o'rganishda osonroq olish mumkin. A bo'lgan kvant zarrachasi uchun to'lqin funktsiyasi ${ displaystyle | psi rangle}$ bir o'lchovli potentsialda harakat qilish ${ displaystyle V (x)}$, vaqtga bog'liq bo'lmagan Shredinger tenglamasi sifatida yozilishi mumkin

${ displaystyle - { frac { hbar ^ {2}} {2m}} { frac {d ^ {2} psi} {dx ^ {2}}} + V psi = E psi}$

Bu oddiy differentsial tenglama bo'lgani uchun, ma'lum bir energiya uchun ikkita mustaqil funktsiya mavjud ${ displaystyle E}$ degeneratsiya darajasi hech qachon ikkitadan oshmasligi uchun. Bir o'lchovda degenerat yo'qligini isbotlash mumkin bog'langan holatlar uchun normalizatsiya qilinadigan to'lqin funktsiyalari. Uzluksiz potentsial bo'yicha etarli shart ${ displaystyle V}$ va energiya ${ displaystyle E}$ ikkita haqiqiy sonning mavjudligi ${ displaystyle M, x_ {0}}$ bilan ${ displaystyle M neq 0}$ shu kabi ${ displaystyle forall x> x_ {0}}$ bizda ... bor ${ displaystyle V (x) -E geq M ^ {2}}$.^[3] Jumladan, ${ displaystyle V}$ ushbu mezonda quyida chegaralangan.

Yuqoridagi teoremaning isboti.

Potensialda bir o'lchovli kvant tizimini hisobga olish ${ displaystyle V (x)}$ tanazzulga uchragan davlatlar bilan ${ displaystyle | psi _ {1} rangle}$ va ${ displaystyle | psi _ {2} rangle}$ bir xil energiya o'ziga xos qiymatiga mos keladi ${ displaystyle E}$, tizim uchun vaqtga bog'liq bo'lmagan Shredinger tenglamasini yozish: ${ displaystyle - { frac { hbar ^ {2}} {2m}} { frac {d ^ {2} psi _ {1}} {dx ^ {2}}} + V psi _ {1 } = E psi _ {1}}$ ${ displaystyle - { frac { hbar ^ {2}} {2m}} { frac {d ^ {2} psi _ {2}} {dx ^ {2}}} + V psi _ {2 } = E psi _ {2}}$ Birinchi tenglamani ko'paytirish ${ displaystyle psi _ {2}}$ ikkinchisi esa ${ displaystyle psi _ {1}}$ va ikkinchisini chiqarib, biz quyidagilarni olamiz: ${ displaystyle psi _ {1} { frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} psi _ {2} - psi _ {2} { frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} psi _ {1} = 0}$ Ikkala tomonni ham birlashtirish ${ displaystyle psi _ {1} { frac {d psi _ {2}} {dx}} - psi _ {2} { frac {d psi _ {1}} {dx}} = { mbox {doimiy}}}$ To'lqin funktsiyalari aniq belgilangan va normallashtiriladigan bo'lsa, ikkala to'lqin funktsiyalari hech bo'lmaganda bitta nuqtada yo'qolishi sharti bilan yuqoridagi doimiy yo'qoladi va biz quyidagilarni topamiz:${ displaystyle psi _ {1} (x) = c psi _ {2} (x)}$qayerda ${ displaystyle c}$ umuman olganda, kompleks doimiydir. Bog'langan holat uchun o'ziga xos funktsiyalar (bu kabi nolga moyil ${ displaystyle x rightarrow infty}$) va taxmin qilish ${ displaystyle V}$ va ${ displaystyle E}$ yuqorida keltirilgan shartni qondirish, uni ko'rsatish mumkin[3] to'lqin funktsiyasining birinchi hosilasi ham chegarada nolga yaqinlashadi ${ displaystyle x to infty}$, shuning uchun yuqoridagi doimiy nolga teng va bizda nasli yo'q.

Ikki o'lchovli kvant tizimlarida degeneratsiya

Ikki o'lchovli kvant tizimlari moddaning uchta holatida ham mavjud va uch o'lchovli materiyada ko'rinadigan xilma-xillikning katta qismi ikki o'lchovda yaratilishi mumkin. Haqiqiy ikki o'lchovli materiallar qattiq moddalar yuzasida monoatomik qatlamlardan yasalgan. Eksperimental ravishda erishilgan ikki o'lchovli elektron tizimlarining ayrim misollarini o'z ichiga oladi MOSFET, ikki o'lchovli superlattices ning Geliy, Neon, Argon, Ksenon va boshqalar va yuzasi suyuq geliy. Degenerativ energiya darajalarining mavjudligi qutidagi zarrachalar va ikki o'lchovli holatlarda o'rganiladi harmonik osilator, bu foydali bo'lib ishlaydi matematik modellar bir nechta haqiqiy dunyo tizimlari uchun.

To'rtburchak tekislikdagi zarracha

O'lchovlar tekisligidagi erkin zarrachani ko'rib chiqing ${ displaystyle L_ {x}}$ va ${ displaystyle L_ {y}}$ o'tib bo'lmaydigan devorlar tekisligida. To'lqin funktsiyasi bilan ushbu tizim uchun vaqtga bog'liq bo'lmagan Shredinger tenglamasi ${ displaystyle | psi rangle}$ sifatida yozilishi mumkin

${ displaystyle - { frac { hbar ^ {2}} {2m}} chap ({ frac { qismli ^ {2} psi} {{ qismli x} ^ {2}}} + { frac { kısmi ^ {2} psi} {{ qismli y} ^ {2}}} o'ng) = E psi}$

Ruxsat berilgan energiya qiymatlari

${ displaystyle E_ {n_ {x}, n_ {y}} = { frac { pi ^ {2} hbar ^ {2}} {2m}} chap ({ frac {n_ {x} ^ {) 2}} {L_ {x} ^ {2}}} + { frac {n_ {y} ^ {2}} {L_ {y} ^ {2}}} o'ng)}$

Normallashtirilgan to'lqin funktsiyasi

${ displaystyle psi _ {n_ {x}, n_ {y}} (x, y) = { frac {2} { sqrt {L_ {x} L_ {y}}}} sin left ({ frac {n_ {x} pi x} {L_ {x}}} o'ng) sin chap ({ frac {n_ {y} pi y} {L_ {y}}} o'ng)}$

qayerda ${ displaystyle n_ {x}, n_ {y} = 1,2,3 ...}$

Shunday qilib, kvant raqamlari ${ displaystyle n_ {x}}$ va ${ displaystyle n_ {y}}$ energiya xos qiymatlarini tavsiflash uchun talab qilinadi va tizimning eng past energiyasi quyidagicha beriladi

${ displaystyle E_ {1,1} = pi ^ {2} { frac { hbar ^ {2}} {2m}} chap ({ frac {1} {L_ {x} ^ {2}} } + { frac {1} {L_ {y} ^ {2}}} o'ng)}$

Ikki uzunlikning bir-biriga to'g'ri keladigan nisbati uchun ${ displaystyle L_ {x}}$ va ${ displaystyle L_ {y}}$, ba'zi bir juft davlatlar degeneratsiya. Agar ${ displaystyle L_ {x} / L_ {y} = p / q}$, bu erda p va q butun sonlar, holatlar ${ displaystyle (n_ {x}, n_ {y})}$ va ${ displaystyle (pn_ {y} / q, qn_ {x} / p)}$ bir xil energiyaga ega va shuning uchun bir-biriga nasli bor.

Kvadrat qutidagi zarracha

Bunday holda, qutining o'lchamlari ${ displaystyle L_ {x} = L_ {y} = L}$ va energiya xos qiymatlari tomonidan berilgan

${ displaystyle E_ {n_ {x}, n_ {y}} = { frac { pi ^ {2} hbar ^ {2}} {2mL ^ {2}}} (n_ {x} ^ {2} + n_ {y} ^ {2})}$

Beri ${ displaystyle n_ {x}}$ va ${ displaystyle n_ {y}}$ energiyani o'zgartirmasdan almashtirish mumkin, har bir energiya darajasi kamida ikkita tanazzulga ega ${ displaystyle n_ {x}}$ va ${ displaystyle n_ {y}}$ boshqacha. Degenerativ holatlar, shuningdek, turli xil energiya darajalariga mos keladigan kvant sonlari kvadratlarining yig'indisi bir xil bo'lganda olinadi. Masalan, uchta holat (n_x = 7, n_y = 1), (n_x = 1, n_y = 7) va (n_x = n_y = 5) barchasi bor ${ displaystyle E = 50 { frac { pi ^ {2} hbar ^ {2}} {2mL ^ {2}}}}$ va degenerativ to'plamni tashkil qiladi.

Kvadrat qutidagi zarracha uchun turli xil energiya darajalarining nasli darajalari:

${ displaystyle n_ {x}}$	${ displaystyle n_ {y}}$	${ displaystyle E chap ({ frac { hbar ^ {2} pi ^ {2}} {2mL ^ {2}}} o'ng)}$	Degeneratsiya
1	1	2	1
2 1	1 2	5 5	2
2	2	8	1
3 1	1 3	10 10	2
3 2	2 3	13 13	2
4 1	1 4	17 17	2
3	3	18	1

Kubik qutidagi zarracha

Bunday holda, qutining o'lchamlari ${ displaystyle L_ {x} = L_ {y} = L_ {z} = L}$ va energiya xos qiymatlari uchta kvant soniga bog'liq.

${ displaystyle E_ {n_ {x}, n_ {y}, n_ {z}} = { frac { pi ^ {2} hbar ^ {2}} {2mL ^ {2}}} (n_ {x } ^ {2} + n_ {y} ^ {2} + n_ {z} ^ {2})}$

Beri ${ displaystyle n_ {x}}$, ${ displaystyle n_ {y}}$ va ${ displaystyle n_ {z}}$ energiyani o'zgartirmasdan almashtirilishi mumkin, har bir energiya darajasi uchta kvant sonining hammasi teng bo'lmaganda kamida uchga teng degeneratsiyaga ega.

Degeneratsiya holatida noyob o'ziga xos bazani topish

Ikki bo'lsa operatorlar ${ displaystyle { hat {A}}}$ va ${ displaystyle { hat {B}}}$ qatnov, ya'ni ${ displaystyle [{ hat {A}}, { hat {B}}] = 0}$, keyin har bir o'ziga xos vektor uchun ${ displaystyle | psi rangle}$ ning ${ displaystyle { hat {A}}}$, ${ displaystyle { hat {B}} | psi rangle}$ ning o'ziga xos vektoridir ${ displaystyle { hat {A}}}$ xuddi shu qiymat bilan. Ammo, agar bu o'zgacha qiymat bo'lsa, ayting ${ displaystyle lambda}$, tanazzulga uchragan, buni aytish mumkin ${ displaystyle { hat {B}} | psi rangle}$ xususiy maydonga tegishli ${ displaystyle E _ { lambda}}$ ning ${ displaystyle { hat {A}}}$ta'sirida global o'zgarmas deb aytilgan ${ displaystyle { hat {B}}}$.

Ikkita qatnov kuzatiladigan narsalar uchun A va B, qurish mumkin ortonormal asos ikki vektor uchun umumiy bo'lgan xususiy vektorlar bilan davlat makonining. Biroq, ${ displaystyle lambda}$ ning degeneratsiyalangan o'ziga xos qiymati ${ displaystyle { hat {A}}}$, keyin bu o'z-o'ziga xos makondir ${ displaystyle { hat {A}}}$ harakati ostida o'zgarmasdir ${ displaystyle { hat {B}}}$, shuning uchun vakillik ning ${ displaystyle { hat {B}}}$ ning o'ziga xos bazasida ${ displaystyle { hat {A}}}$ diagonal emas, balki a blokli diagonali matritsa, ya'ni degeneratsiya qilingan xususiy vektorlari ${ displaystyle { hat {A}}}$ umuman, o'z vektorlari emas ${ displaystyle { hat {B}}}$. Biroq, har bir tanazzulga uchragan o'ziga xos ichki makonni tanlash har doim ham mumkin ${ displaystyle { hat {A}}}$, umumiy vektorlarning asosi ${ displaystyle { hat {A}}}$ va ${ displaystyle { hat {B}}}$.

Kuzatiladigan transport vositalarining to'liq to'plamini tanlash

Agar berilgan bo'lsa A degenerativ emas, uning o'ziga xos vektorlari tomonidan yaratilgan noyob asos mavjud. Boshqa tomondan, agar bir yoki bir nechta o'ziga xos qiymatlar bo'lsa ${ displaystyle { hat {A}}}$ degeneratsiyaga uchragan, o'ziga xos qiymatni ko'rsatish bazis vektorini tavsiflash uchun etarli emas. Agar kuzatiladigan narsani tanlash orqali ${ displaystyle { hat {B}}}$, bu bilan boradigan ${ displaystyle { hat {A}}}$, umumiy vektorlarning ortonormal asosini qurish mumkin ${ displaystyle { hat {A}}}$ va ${ displaystyle { hat {B}}}$, bu noyob qiymatlarning har bir juftligi uchun noyobdir {a, b}, keyin ${ displaystyle { hat {A}}}$ va ${ displaystyle { hat {B}}}$ a hosil qilishi aytilgan qatnov kuzatiladigan narsalarning to'liq to'plami. Ammo, agar o'ziga xos vektorlar to'plami hali ham aniqlanmasa, o'zaro qiymatlarning kamida bittasi uchun, uchinchisi kuzatilishi mumkin ${ displaystyle { hat {C}}}$, bu ikkalasi bilan ham qatnaydi ${ displaystyle { hat {A}}}$ va ${ displaystyle { hat {B}}}$ shunday topish mumkinki, uchtasi qatnov kuzatiladigan narsalarning to'liq to'plamini tashkil qiladi.

Bundan kelib chiqadiki, kvant tizimining umumiy energiya qiymati bo'lgan Hamiltonianning o'ziga xos funktsiyalari qo'shimcha ma'lumot berish orqali belgilanishi kerak, bu Hamiltonian bilan kommutatsiya qilinadigan operatorni tanlash orqali amalga oshiriladi. Ushbu qo'shimcha yorliqlar noyob energiya o'ziga xos funktsiyasini nomlashni talab qildilar va odatda tizimning doimiy harakatlari bilan bog'liq.

Degeneratsiya energetik davlatlari va parite operatori

Paritet operatori uning ichidagi harakati bilan aniqlanadi ${ displaystyle | r rangle}$ o'zgaruvchan r ni -r ga o'zgartirish, ya'ni.

${ displaystyle langle r | P | psi rangle = psi (-r)}$

$ P $ ning o'zgacha qiymatlari bilan cheklanganligini ko'rsatish mumkin ${ displaystyle pm 1}$, ikkalasi ham cheksiz o'lchovli davlat fazosidagi degeneratsiyalangan o'ziga xos qiymatlardir. +1 qiymatiga ega bo'lgan P ning o'ziga xos vektori juft deb aytilgan bo'lsa, o'ziga xos qiymati bilan -1 toq deb aytiladi.

Endi, hatto operator ${ displaystyle { hat {A}}}$ qondiradigan narsadir,

${ displaystyle { tilde {A}} = P { hat {A}} P}$

${ displaystyle [P, { hat {A}}] = 0}$

toq operator ${ displaystyle { hat {B}}}$ qondiradigan narsadir

${ displaystyle P { hat {B}} + { hat {B}} P = 0}$

Impuls operatori kvadratidan beri ${ displaystyle { hat {P}} ^ {2}}$ teng, agar potentsial V (r) juft bo'lsa, Gamiltonian ${ displaystyle { hat {H}}}$ hatto operator ekanligi aytiladi. Bunday holda, agar uning har bir o'ziga xos qiymati degeneratatsiz bo'lsa, har bir o'ziga xos vektor, albatta, P ning o'ziga xos davlati hisoblanadi va shuning uchun o'z davlatlarini qidirish mumkin ${ displaystyle { hat {H}}}$ juft va toq holatlar orasida. Biroq, agar energetik davlatlardan biri aniq bir narsaga ega bo'lmasa tenglik, tegishli qiymatning degeneratsiya ekanligini tasdiqlash mumkin va ${ displaystyle P | psi rangle}$ ning xususiy vektoridir ${ displaystyle { hat {H}}}$ bilan bir xil qiymatga ega ${ displaystyle | psi rangle}$.

Degeneratsiya va simmetriya

Kvant-mexanik tizimdagi degeneratsiyaning fizik kelib chiqishi ko'pincha ba'zilarning mavjudligidir simmetriya tizimda. Kvant tizimining simmetriyasini o'rganish ba'zi hollarda Shredinger tenglamasini echmasdan energiya darajalari va degeneratiyalarini topishga imkon beradi, shuning uchun kuch sarflashni kamaytiradi.

Matematik ravishda degeneratsiyaning simmetriya bilan bog'liqligini quyidagicha aniqlashtirish mumkin. A ni ko'rib chiqing simmetriya ishi bilan bog'liq unitar operator S. Bunday operatsiya asosida yangi Hamiltonian a tomonidan asl Hamiltonian bilan bog'liq o'xshashlikni o'zgartirish operator tomonidan yaratilgan S, shu kabi ${ displaystyle H '= SHS ^ {- 1} = SHS ^ { xanjar}}$, beri S unitar. Agar Gamiltonian konvertatsiya qilish jarayonida o'zgarishsiz qolsa S, bizda ... bor

${ displaystyle SHS ^ { xanjar} = H}$

${ displaystyle SHS ^ {- 1} = H}$

${ displaystyle HS = SH}$

${ displaystyle [S, H] = 0}$

Endi, agar ${ displaystyle | alfa rangle}$ energetik davlat,

${ displaystyle H | alpha rangle = E | alfa rangle}$

bu erda E - mos keladigan energiya o'ziga xos qiymati.

${ displaystyle HS | alfa rangle = SH | alfa rangle = SE | alfa rangle = ES | alfa rangle}$

bu degani ${ displaystyle S | alpha rangle}$ shuningdek, xuddi shu qiymatga ega bo'lgan energetik davlatdir E. Agar ikkala davlat bo'lsa ${ displaystyle | alfa rangle}$ va ${ displaystyle S | alpha rangle}$ chiziqli mustaqil (ya'ni jismoniy jihatdan ajralib turadi), shuning uchun ular degeneratdir.

Qaerda bo'lsa S uzluksizligi bilan ajralib turadi parametr ${ displaystyle epsilon}$, shakldagi barcha holatlar ${ displaystyle S ( epsilon) | alfa rangle}$ bir xil energiya o'ziga xos qiymatiga ega.

Hamiltoniyaliklarning simmetriya guruhi

Kvant tizimining Gamiltonian bilan harakatlanadigan barcha operatorlar to'plami quyidagicha hosil bo'ladi simmetriya guruhi Hamiltoniyalik. The komutatorlar ning generatorlar ushbu guruhning algebra guruhning. Simmetriya guruhining n-o'lchovli tasviri saqlaydi ko'paytirish jadvali simmetriya operatorlari. Hamiltonianning ma'lum bir simmetriya guruhiga ega bo'lishi mumkin bo'lgan degeneratsiyalari qisqartirilmaydigan vakolatxonalar guruhning. N-baravar kamaygan o'ziga xos qiymatga mos keladigan xususiy funktsiyalar Hamiltoniyalikning Simmetriya guruhining n-o'lchovli kamaytirilmaydigan vakili uchun asos bo'lib xizmat qiladi.

Degeneratsiya turlari

Kvant tizimidagi degeneratiyalar tabiatda muntazam yoki tasodifiy bo'lishi mumkin.

Tizimli yoki muhim degeneratsiya

Bu geometrik yoki normal degeneratsiya deb ham ataladi va ko'rib chiqilayotgan tizimda qandaydir simmetriya mavjudligi sababli paydo bo'ladi, ya'ni yuqorida aytib o'tilganidek, ma'lum bir operatsiya ostida Gamiltonianning o'zgarmasligi. Oddiy degeneratsiyadan olingan vakolat kamaytirilmaydi va mos keladigan xos funktsiyalar ushbu vakillik uchun asos bo'lib xizmat qiladi.

Tasodifiy degeneratsiya

Bu tizimning ba'zi bir o'ziga xos xususiyatlari yoki ko'rib chiqilayotgan potentsialning funktsional shakli natijasida yuzaga keladigan degeneratsiya turi va ehtimol tizimdagi yashirin dinamik simmetriya bilan bog'liq.^[4] Bundan tashqari, konservalangan miqdorlarni keltirib chiqaradi, ularni aniqlash oson emas. Tasodifiy simmetriya diskret energiya spektridagi ushbu qo'shimcha degeneratsiyalarga olib keladi. Tasodifan degeneratsiya, Gamiltonian guruhi to'liq bo'lmaganligi sababli bo'lishi mumkin. Ushbu degeneratiyalar klassik fizikada bog'langan orbitalarning mavjudligi bilan bog'liq.

Misollar: Kulon va Harmonik osilator potentsiallari

Markaziy qismdagi zarracha uchun 1/r salohiyati, Laplas - Runge - Lenz vektori saqlanishidan tashqari, tasodifiy degeneratsiya natijasida kelib chiqadigan saqlanadigan miqdor burchak momentum rotatsion invariantlik tufayli.

Ta'siri ostida konusda harakatlanadigan zarracha uchun 1/r va r² konusning uchida joylashgan potentsiallar, tasodifiy simmetriyaga mos keladigan saqlanadigan kattaliklar burchak momentum vektorining bitta komponentidan tashqari, Runge-Lenz vektorining ekvivalentining ikkita komponenti bo'ladi. Ushbu miqdorlar hosil bo'ladi SU (2) ikkala potentsial uchun simmetriya.

Misol: Doimiy magnit maydonidagi zarracha

Doimiy magnit maydon ta'sirida harakatlanadigan, o'tayotgan zarracha siklotron dumaloq orbitada harakatlanish tasodifiy simmetriyaning yana bir muhim namunasidir. Simmetriya multiplets bu holda Landau darajalari cheksiz degeneratsiya qilingan.

Misollar

Vodorod atomi

Yilda atom fizikasi, a dagi elektronning bog'langan holatlari vodorod atomi bizga nasliga oid foydali misollarni ko'rsating. Bunday holda, Gemiltonian umumiy bilan harakat qiladi orbital burchak impulsi ${ displaystyle { hat {L ^ {2}}}}$, uning tarkibiy qismi z yo'nalishi bo'yicha, ${ displaystyle { hat {L_ {z}}}}$, jami Spin burchak impulsi ${ displaystyle { hat {S ^ {2}}}}$ va uning z komponenti ${ displaystyle { hat {S_ {z}}}}$. Ushbu operatorlarga mos keladigan kvant raqamlari ${ displaystyle l}$, ${ displaystyle m_ {l}}$, ${ displaystyle s}$ (har doim elektron uchun 1/2) va ${ displaystyle m_ {s}}$ navbati bilan.

Vodorod atomidagi energiya darajalari faqat ga bog'liq asosiy kvant raqami n. Berilgan uchun n, ga mos keladigan barcha holatlar ${ displaystyle l = 0, ldots, n-1}$ bir xil energiyaga ega va buzilib ketgan. Xuddi shunday ning berilgan qiymatlari uchun n va l, ${ displaystyle (2l + 1)}$, bilan ${ displaystyle m_ {l} = - l, ldots, l}$ buzilib ketgan. Energiya darajasining degeneratsiya darajasi E_n shuning uchun:${ displaystyle sum _ {l mathop {=} 0} ^ {n-1} (2l + 1) = n ^ {2}}$, agar spinning degeneratsiyasi kiritilgan bo'lsa, bu ikki baravar ko'payadi.^{[1]:p. 267f}

Nisbatan degeneratsiya ${ displaystyle m_ {l}}$ har qanday inson uchun mavjud bo'lgan muhim degeneratsiya markaziy salohiyat va afzal qilingan fazoviy yo'nalishning yo'qligidan kelib chiqadi. Nisbatan degeneratsiya ${ displaystyle l}$ tez-tez tasodifiy degeneratsiya deb ta'riflanadi, ammo uni Shredinger tenglamasining faqat potentsial energiya berilgan vodorod atomi uchun amal qiladigan maxsus simmetriyalari bilan izohlash mumkin. Kulon qonuni.^{[1]:p. 267f}

Izotropik uch o'lchovli harmonik osilator

Bu bepusht zarracha massa m harakatlanmoqda uch o'lchovli bo'shliq, a ga bo'ysunadi markaziy kuch uning mutlaq qiymati zarrachaning kuch markazidan masofasiga mutanosibdir.

${ displaystyle F = -kr}$

Potentsialdan beri izotropik deb aytiladi ${ displaystyle V (r)}$ unga ta'sir qilish o'zgaruvchan, ya'ni:${ displaystyle V (r) = 1/2 (m omega ^ {2} r ^ {2})}$

qayerda ${ displaystyle omega}$ bo'ladi burchak chastotasi tomonidan berilgan ${ displaystyle { sqrt {k / m}}}$.

Chunki bunday zarrachaning holat maydoni tensor mahsuloti individual bir o'lchovli to'lqin funktsiyalari bilan bog'liq bo'lgan davlat bo'shliqlarining, bunday tizim uchun vaqtga bog'liq bo'lmagan Shredinger tenglamasi quyidagicha berilgan.

${ displaystyle - { frac { hbar ^ {2}} {2m}} chap ({ frac { qismli ^ {2} psi} { qismli x ^ {2}}} + { frac { kısmi ^ {2} psi} { qismli y ^ {2}}} + { frac { qismli ^ {2} psi} { qismli z ^ {2}}} o'ng) + (1 / 2) {m omega ^ {2} (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}) psi} = E psi}$

Shunday qilib, energiya o'ziga xos qiymatlari ${ displaystyle E_ {n_ {x}, n_ {y}, n_ {z}} = (n_ {x} + n_ {y} + n_ {z} +3/2) hbar omega}$

yoki, ${ displaystyle E_ {n} = (n + 3/2) hbar omega}$

bu erda n manfiy bo'lmagan tamsayı, shuning uchun energiya sathi degeneratsiya va degeneratsiya darajasi har xil to'plamlar soniga teng ${ displaystyle {n_ {x}, n_ {y}, n_ {z}}}$ qoniqarli

${ displaystyle n_ {x} + n_ {y} + n_ {z} = n}$

bu tengdir

${ displaystyle sum _ {n_ {x} = 0} ^ {n} (n-n_ {x} +1) = (n + 1) (n + 2) / 2}$

Faqat asosiy holat buzilmaydi.

Degeneratsiyani olib tashlash

Agar asosiy simmetriya tashqi tomonidan buzilgan bo'lsa, kvant mexanik tizimidagi degeneratsiyani yo'q qilish mumkin bezovtalanish. Bu degeneratsiyalangan energiya darajalarida bo'linishni keltirib chiqaradi. Bu aslida asl kamaytirilmaydigan tasavvurlarning buzilgan tizimning quyi o'lchovli bunday tasavvurlariga bo'linishi.

Matematik jihatdan, kichik bezovtalanish potentsialini qo'llash tufayli bo'linishni vaqtga bog'liq bo'lmagan degenerat yordamida hisoblash mumkin. bezovtalanish nazariyasi. Bu kvantli tizimning Hamilton H ga tenglashtirilgan yechimini topish uchun qo'llanilishi mumkin bo'lgan taxminiy sxema, qo'llanilgan bezovtalanish bilan kvantli tizim, Hamilton H uchun echimni hisobga olgan holda₀ bezovtalanmagan tizim uchun. Bu Hamiltonian H ning o'ziga xos qiymatlari va o'ziga xos xususiyatlarini bezovtalanish seriyasida kengaytirishni o'z ichiga oladi. Berilgan energetik o'ziga xos qiymatga ega bo'lgan degeneratsiya qilingan xususiy davlatlar vektorli pastki bo'shliqni hosil qiladi, ammo bu fazoning o'ziga xos har bir asosi bezovtalanish nazariyasi uchun yaxshi boshlanish nuqtasi emas, chunki odatda ularning yonida buzilgan tizimning o'ziga xos davlatlari bo'lmaydi. Tanlash uchun to'g'ri asos - bu degeneratsiya qilingan pastki fazo ichida Hamiltonianni bezovtalanishini diagonallashtiradigan asos.

Degeneratsiyani birinchi darajali degenerativ bezovtalanish nazariyasi bo'yicha olib tashlash.

Xavotir olmagan Hamiltoniyani ko'rib chiqing ${ displaystyle { hat {H_ {0}}}}$ va bezovtalik ${ displaystyle { hat {V}}}$Shunday qilib, Hamiltonianni bezovta qildi ${ displaystyle { hat {H}} = { hat {H_ {0}}} + { hat {V}}}$ Bezovta qilinmaganligi sababli buzilgan o'z davlati quyidagicha beriladi: ${ displaystyle | psi _ {0} rangle = | n_ {0} rangle + sum _ {k neq 0} V_ {k0} / (E_ {0} -E_ {k}) | n_ {k } rangle}$ Vahima qo'zg'atadigan energiya va yuqori darajadagi energiya o'zgarishi qachon farq qiladi ${ displaystyle E_ {0} = E_ {k}}$, ya'ni energiya darajasida degeneratsiya mavjud bo'lganda. Faraz qiling ${ displaystyle { hat {H_ {0}}}}$ tanazzulga uchragan N davlatlarga ega ${ displaystyle | m rangle}$ bir xil energetik E qiymati bilan, shuningdek umuman ba'zi degeneratlanmagan o'zgarmaydigan davlatlar. Bezovta qilingan o'z davlati ${ displaystyle | psi _ {j} rangle}$ buzilmagan nasliga xos bo'lgan davlatlarda chiziqli kengayish sifatida yozilishi mumkin. ${ displaystyle | psi _ {j} rangle = sum _ {i} | m_ {i} rangle langle m_ {i} | psi _ {j} rangle = sum _ {i} c_ { ji} | m_ {i} rangle}$ ${ displaystyle [{ hat {H_ {0}}} + { hat {V}}] psi _ {j} rangle = [{ hat {H_ {0}}} + { hat {V} }] sum _ {i} c_ {ji} | m_ {i} rangle = E_ {j} sum _ {i} c_ {ji} | m_ {i} rangle}$ qayerda ${ displaystyle E_ {j}}$ buzilgan energiya o'ziga xos qiymatlariga murojaat qiling. Beri ${ displaystyle E}$ ning degeneratsiyalangan o'ziga xos qiymati ${ displaystyle { hat {H_ {0}}}}$, ${ displaystyle sum _ {i} c_ {ji} { hat {V}} | m_ {i} rangle = (E_ {j} -E) sum _ {i} c_ {ji} | m_ {i } rangle = Delta E_ {j} sum _ {i} c_ {ji} | m_ {i} rangle}$ Boshqa bezovtalanmagan degenerat o'z-o'zini boshqarish vositasi tomonidan oldindan ko'payish ${ displaystyle langle m_ {k} |}$ beradi- ${ displaystyle sum _ {i} c_ {ji} [ langle m_ {k} | { hat {V}} | m_ {i} rangle - delta _ {ik} (E_ {j} -E) ] = 0}$ Bu shaxsiy qiymat muammosi va yozish ${ displaystyle V_ {ik} = langle m_ {i} | { hat {V}} | m_ {k} rangle}$, bizda ... bor- ${ displaystyle { begin {vmatrix} V_ {11} - Delta E_ {j} & V_ {12} & dots & V_ {1N} V_ {21} & V_ {22} - Delta E_ {j} & dots & V_ {2N} vdots & vdots & ddots & vdots V_ {N1} & V_ {N2} & dots & V_ {NN} - Delta E_ {j} end {vmatrix}}. ,}$ Ushbu tenglamani echish natijasida olingan N o'ziga xos qiymatlar qo'llanilgan bezovtalanish tufayli degenerativ energiya darajasidagi siljishlarni beradi, o'z vektorlari esa buzilmagan degenerat asosidagi buzilgan holatlarni beradi. ${ displaystyle | m rangle}$. Boshidanoq yaxshi davlatlarni tanlash uchun operator topish foydali bo'ladi ${ displaystyle { hat {V}}}$ asl Hamiltonian bilan qatnov ${ displaystyle { hat {H_ {0}}}}$ va u bilan bir vaqtning o'zida o'ziga xos davlatlar mavjud.

Degeneratsiyani bezovtalik bilan olib tashlashning fizik misollari

Kvant tizimining degenerativ energiya darajalari tashqi bezovtalikni qo'llash orqali bo'linadigan jismoniy holatlarning ba'zi muhim misollari quyida keltirilgan.

Ikki darajali tizimlarda simmetriyani buzish

A ikki darajali tizim mohiyati jihatidan energiyalari bir-biriga yaqin va tizimning boshqa holatlaridan ancha farq qiladigan ikkita holatga ega bo'lgan jismoniy tizimga ishora qiladi. Bunday tizim uchun barcha hisob-kitoblar ikki o'lchovli bo'yicha amalga oshiriladi subspace davlat makonining.

Agar fizik tizimning asosiy holati ikki marta degeneratsiyaga uchragan bo'lsa, mos keladigan ikkita holat o'rtasidagi har qanday bog'lanish tizimning asosiy holatining energiyasini pasaytiradi va uni barqaror qiladi.

Agar ${ displaystyle E_ {1}}$ va ${ displaystyle E_ {2}}$ tizimning energiya darajalari, shundaydir ${ displaystyle E_ {1} = E_ {2} = E}$va bezovtalanish ${ displaystyle W}$ ikki o'lchovli pastki bo'shliqda quyidagi 2 × 2 matritsa sifatida ifodalanadi

${ displaystyle mathbf {W} = { begin {bmatrix} 0 & W_ {12} W_ {12} ^ {*} & 0 end {bmatrix}}.}$

u holda buzilgan energiya bo'ladi

${ displaystyle E _ {+} = E + | W_ {12} |}$

${ displaystyle E _ {-} = E- | W_ {12} |}$

Energiya holatlaridagi degeneratsiyani tizimning o'ziga xos xususiyati tufayli ichki o'zaro ta'sir natijasida paydo bo'lgan gamiltonianda diagonal bo'lmagan atamalar mavjudligi buzilgan ikki holatli tizimlarning misollariga quyidagilar kiradi.

• Benzol, qo'shni orasidagi uchta qo'shaloq bog'lanishning ikkita mumkin bo'lgan yo'nalishi bilan Uglerod atomlar
• Ammiak molekula, bu erda Azot atomi uchtasi tomonidan belgilangan tekislikning ustida yoki ostida bo'lishi mumkin Vodorod atomlar
• H⁺
  ₂ elektron ikkala yadroning atrofida joylashgan bo'lishi mumkin bo'lgan molekula.

Yupqa tuzilishga bo'linish

Relyativistik harakat tufayli vodorod atomidagi elektron va proton o'rtasidagi Coulomb o'zaro ta'siriga tuzatishlar va spin-orbitaning ulanishi turli xil qiymatlar uchun energiya sathidagi degeneratsiyani buzishga olib keladi l bitta asosiy kvant raqamiga mos keladi n.

Hamiltonianning relyativistik tuzatish tufayli paydo bo'lgan xavotiri

${ displaystyle H_ {r} = - p ^ {4} / 8m ^ {3} c ^ {2}}$

qayerda ${ displaystyle p}$ momentum operatori va ${ displaystyle m}$ elektronning massasi. Birinchi darajadagi relyativistik energiyani tuzatish ${ displaystyle | nlm rangle}$ asos tomonidan berilgan

${ displaystyle E_ {r} = (- 1/8m ^ {3} c ^ {2}) langle nlm | p ^ {4} | nlm rangle}$

Endi ${ displaystyle p ^ {4} = 4m ^ {2} (H ^ {0} + e ^ {2} / r) ^ {2}}$

${ displaystyle { begin {aligned} E_ {r} & = (- 1 / 2mc ^ {2}) [E_ {n} ^ {2} + 2E_ {n} e ^ {2} langle 1 / r rangle + e ^ {4} langle 1 / r ^ {2} rangle] & = (- 1/2) mc ^ {2} alpha ^ {4} [- 3 / (4n ^ {4} ) + 1 / {n ^ {3} (l + 1/2)}]] end {hizalanmış}}}$

qayerda ${ displaystyle alpha}$ bo'ladi nozik tuzilish doimiy.

Spin-orbitali o'zaro ta'sir ichki bilan o'zaro ta'sirga ishora qiladi magnit moment proton bilan nisbiy harakat tufayli magnit maydoniga ega bo'lgan elektronning. Hamiltonianning o'zaro ta'siri

${ displaystyle H_ {so} = - (e / mc) {{ vec {m}} cdot { vec {L}} / r ^ {3}} = [(e ^ {2} / (m ^) {2} c ^ {2} r ^ {3})) { vec {S}} cdot { vec {L}}]}$

sifatida yozilishi mumkin

${ displaystyle H_ {so} = (e ^ {2} / (4m ^ {2} c ^ {2} r ^ {3})) [{ vec {J}} ^ {2} - { vec { L}} ^ {2} - { vec {S}} ^ {2}]}$

Birinchi tartibdagi energiya tuzatish ${ displaystyle | j, m, l, 1/2 rangle}$ Hamiltonian diagonal bo'lgan bezovtalanish asosi quyidagicha berilgan

${ displaystyle E_ {so} = ( hbar ^ {2} e ^ {2}) / (4m ^ {2} c ^ {2}) [j (j + 1) -l (l + 1) -3 / 4] / ((a_ {0}) ^ {3} n ^ {3} (l (l + 1/2)) (l + 1))]}$

qayerda ${ displaystyle a_ {0}}$ bo'ladi Bor radiusi.Umumiy tuzilishdagi energiya siljishi quyidagicha berilgan

${ displaystyle E_ {fs} = - (mc ^ {2} alfa ^ {4} / (2n ^ {3})) [1 / (j + 1/2) -3 / 4n]}$

uchun ${ displaystyle j = l pm 1/2}$.

Zeeman effekti

Ning o'zaro ta'siri tufayli tashqi magnit maydonga qo'yilganda atomning energiya sathlarining bo'linishi magnit moment ${ displaystyle { vec {m}}}$ qo'llaniladigan maydonga ega atomning Zeeman effekti.

Orbital va spin burchak momentlarini hisobga olgan holda, ${ displaystyle { vec {L}}}$ va ${ displaystyle { vec {S}}}$navbati bilan Vodorod atomidagi bitta elektronning Hamiltonian bezovtalanishi bilan berilgan

${ displaystyle { hat {V}} = - ({ vec {m_ {l}}} + { vec {m_ {s}}}) cdot { vec {B}}}$

qayerda ${ displaystyle m_ {l} = - e { vec {L}} / 2m}$ va ${ displaystyle m_ {s} = - e { vec {S}} / m}$.Shunday qilib,

${ displaystyle { hat {V}} = e ({ vec {L}} + 2 { vec {S}}) cdot { vec {B}} / 2m}$

Endi, zaif maydon Zeeman effekti bo'lsa, qo'llaniladigan maydon ichki maydon bilan taqqoslaganda, the spin-orbitaning ulanishi hukmronlik qiladi va ${ displaystyle { vec {L}}}$ va ${ displaystyle { vec {S}}}$ alohida saqlanmaydi. The yaxshi kvant raqamlari bor n, l, j va m_jva shu asosda birinchi darajali energiya tuzatish tomonidan berilganligini ko'rsatish mumkin

${ displaystyle E_ {z} = - mu _ {B} g_ {j} Bm_ {j}}$, qayerda

${ displaystyle mu _ {B} = {e hbar} / 2m}$ deyiladi Bor Magneton.Shunday qilib, ning qiymatiga qarab ${ displaystyle m_ {j}}$, har bir buzilgan energiya darajasi bir necha darajalarga bo'linadi.

Degeneratsiyani tashqi magnit maydon bilan ko'tarish

Agar kuchli maydon Zeeman effekti bo'lsa, qo'llaniladigan maydon etarlicha kuchli bo'lganda, shuning uchun orbital va spin burchak momentum dekuplasi hosil bo'ladi, endi yaxshi kvant raqamlari n, l, m_lva m_s. Bu yerda, L_z va S_z saqlanib qolgan, shuning uchun Hamiltonianning bezovtalanishi quyidagicha:

${ displaystyle { hat {V}} = eB (L_ {z} + 2S_ {z}) / 2m}$

magnit maydonini bo'ylab bo'lishini taxmin qilish z- yo'nalish. Shunday qilib,

${ displaystyle { hat {V}} = eB (m_ {l} + 2m_ {s}) / 2m}$

Ning har bir qiymati uchun m_l, ning ikkita mumkin bo'lgan qiymati mavjud m_s, ${ displaystyle pm 1/2}$.

Aniq effekt

Tashqi elektr maydoniga tushganda atom yoki molekulaning energiya sathlarining bo'linishi Aniq effekt.

Vodorod atomi uchun Hamiltonianning bezovtalanishi

${displaystyle {hat {H}}_{s}=-|e|Ez}$

if the electric field is chosen along the z- yo'nalish.

The energy corrections due to the applied field are given by the expectation value of ${displaystyle {hat {H}}_{s}}$ ichida ${displaystyle |nlm angle }$ asos. It can be shown by the selection rules that ${displaystyle langle nlm_{l}|z|n_{1}l_{1}m_{l1} angle eq 0}$ qachon ${displaystyle l=l_{1}pm 1}$ va ${displaystyle m_{l}=m_{l1}}$.

The degeneracy is lifted only for certain states obeying the selection rules, in the first order. The first-order splitting in the energy levels for the degenerate states ${displaystyle |2,0,0 angle }$ va ${displaystyle |2,1,0 angle }$, both corresponding to n = 2, is given by ${displaystyle Delta E_{2,1,m_{l}}=pm |e|(hbar ^{2})/(m_{e}e^{2})E}$.

Shuningdek qarang

• Shtatlarning zichligi

Adabiyotlar

Qo'shimcha o'qish

• Cohen-Tannoudji, Claude; Diu, Bernard & Laloë, Franck. Kvant mexanikasi. 1. Hermann. ISBN  9782705683924.CS1 maint: mualliflar parametridan foydalanadi (havola)^{[to'liq iqtibos kerak ]}
• Shankar, Ramamurti (2013). Kvant mexanikasi tamoyillari. Springer. ISBN  9781461576754.CS1 maint: mualliflar parametridan foydalanadi (havola)^{[to'liq iqtibos kerak ]}
• Larson, Ron; Falvo, David C. (30 March 2009). Elementary Linear Algebra, Enhanced Edition. O'qishni to'xtatish. 8–8 betlar. ISBN  978-1-305-17240-1.
• Hobson; Riley. Mathematical Methods For Physics And Engineering (Clpe) 2Ed. Kembrij universiteti matbuoti. ISBN  978-0-521-61296-8.
• Hemmer (2005). Kvantemekanikk: P.C. Hemmer. Tapir akademisk forlag. Tillegg 3: supplement to sections 3.1, 3.3, and 3.5. ISBN  978-82-519-2028-5.
• Quantum degeneracy in two dimensional systems, Debnarayan Jana, Dept. of Physics, University College of Science and Technology
• Al-Hashimi, Munir (2008). Accidental Symmetry in Quantum Physics.