Hosil qilingan sxema - Derived scheme

Yilda algebraik geometriya, a olingan sxema juftlik ${ displaystyle (X, { mathcal {O}})}$ dan iborat topologik makon X va a dasta ${ displaystyle { mathcal {O}}}$ ning komutativ halqa spektrlari ^[1] kuni X shunday (1) juftlik ${ displaystyle (X, pi _ {0} { mathcal {O}})}$ a sxema va (2) ${ displaystyle pi _ {k} { mathcal {O}}}$ a yarim izchil ${ displaystyle pi _ {0} { mathcal {O}}}$-modul. Tushunchasi a beradi homotopiya - sxemani nazariy jihatdan umumlashtirish.

A olingan stack olingan sxemani stacky umumlashtirishdir.

Differentsial darajali sxema

Xarakterli nol maydonida nazariya differentsial darajali sxema bilan tengdir. Ta'rifga ko'ra, a differentsial darajali sxema nisbatan affinli differentsial darajali sxemalarini yopishtirish orqali olinadi etale topologiyasi.^[2] Tomonidan kiritilgan Maksim Kontsevich^[3] "olingan algebraik geometriyaga birinchi yondashuv sifatida."^[4] Mixail Kapranov va Ionut Ciocan-Fontanine tomonidan ishlab chiqilgan.

Differentsial darajali uzuklar va misollar bilan bog'lanish

Xuddi shunday afine algebraik geometriya tengdir (ichida kategorik ma'no ) nazariyasiga komutativ halqalar (odatda chaqiriladi komutativ algebra ), afine olingan algebraik geometriya xarakterli noldan ortiq nazariya bilan tengdir komutativ differentsial darajali uzuklar. Chiqarilgan sxemalarning asosiy misollaridan biri sxemani quyi satrlarni kesishmasidan kelib chiqadi Koszul majmuasi. Masalan, ruxsat bering ${ displaystyle f_ {1}, ldots, f_ {k} in mathbb {C} [x_ {1}, ldots, x_ {n}] = R}$, keyin biz olingan sxemani olishimiz mumkin

${ displaystyle (X, { mathcal {O}} _ { bullet}) = mathbf {RSpec} left (R / (f_ {1}) otimes _ {R} ^ { mathbf {L}} cdots otimes _ {R} ^ { mathbf {L}} R / (f_ {k}) o'ng)}$

qayerda

${ displaystyle { textbf {RSpec}}: ({ textbf {dga}} _ { mathbb {C}}) ^ {op} to { textbf {DerSch}}}$

bo'ladi etal spektr.^{[iqtibos kerak ]} Biz piksellar sonini tuzishimiz mumkin

${ displaystyle { begin {matrix} 0 to & R & { xrightarrow { cdot f_ {i}}} va R & to 0 & downarrow && downarrow & 0 to & 0 & to & R / (f_ {i}) & to 0 end {matrix}}}$

The olingan uzuk ${ displaystyle R / (f_ {1}) otimes _ {R} ^ { mathbf {L}} cdots otimes _ {R} ^ { mathbf {L}} R / (f_ {k})}$ koszul majmuasidir ${ displaystyle K_ {R} (f_ {1}, ldots, f_ {k})}$. Ushbu olingan sxemani amplituda qisqartirish ${ displaystyle [-1,0]}$ olingan algebraik geometriyani rag'batlantiruvchi klassik modelni taqdim etadi. E'tibor bering, agar bizda projektivlik sxemasi bo'lsa

${ displaystyle operator nomi {Proj} chap ({ frac { mathbb {Z} [x_ {0}, ldots, x_ {n}]} {(f_ {1}, ldots, f_ {k}) }} o'ng)}$

qayerda ${ displaystyle deg (f_ {i}) = d_ {i}}$ biz olingan sxemani tuzishimiz mumkin ${ displaystyle ( mathbb {P} ^ {n}, { mathcal {E}} ^ { bullet}, (f_ {1}, ldots, f_ {k}))}$ qayerda

${ displaystyle { mathcal {E}} ^ { bullet} = [{ mathcal {O}} (- d_ {1}) oplus cdots oplus { mathcal {O}} (- d_ {k} ) { xrightarrow {( cdot f_ {1}, ldots, cdot f_ {k})}} { mathcal {O}}]}$

amplituda ${ displaystyle [-1,0]}$

Kotangens majmuasi

Qurilish

Ruxsat bering ${ displaystyle (A _ { bullet}, d)}$ xarakteristikalar bo'yicha aniqlangan sobit differentsial darajali algebra bo'ling ${ displaystyle 0}$. Keyin a ${ displaystyle A _ { bullet}}$-diferensial darajali algebra ${ displaystyle (R _ { bullet}, d_ {R})}$ deyiladi yarim bepul agar quyidagi shartlar mavjud bo'lsa:

1. Asosiy darajadagi algebra ${ displaystyle R _ { bullet}}$ tugatilgan polinom algebra ${ displaystyle A _ { bullet}}$, bu izomorfik degan ma'noni anglatadi ${ displaystyle A _ { bullet} [ {x_ {i} } _ {i in I}]}$
2. Filtrlash mavjud ${ displaystyle varnothing = I_ {0} subseteq I_ {1} subseteq cdots}$ indekslash to'plamida ${ displaystyle I}$ qayerda ${ displaystyle cup _ {n in mathbb {N}} I_ {n} = I}$ va ${ displaystyle s (x_ {i}) in A _ { bullet} [ {x_ {j} } _ {j in I_ {n}}]}$ har qanday kishi uchun $I {n + 1}} da { displaystyle x_ {i}$.

Ko'rinib turibdiki, har biri ${ displaystyle A _ { bullet}}$ differentsial darajali algebra yarim erkindan sur'ektiv kvazi-izomorfizmni qabul qiladi ${ displaystyle (A _ { bullet}, d)}$ yarim erkin piksellar deb ataladigan differentsial darajali algebra. Ular mos model toifasida gomotopik ekvivalentlikka qadar noyobdir. (Nisbiy) kotangens kompleksi ning ${ displaystyle (A _ { bullet}, d)}$-diferensial darajali algebra ${ displaystyle (B _ { bullet}, d_ {B})}$ yarim erkin piksellar sonidan foydalangan holda qurilishi mumkin ${ displaystyle (R _ { bullet}, d_ {R}) to (B _ { bullet}, d_ {B})}$: sifatida belgilanadi

${ displaystyle mathbb {L} _ {B _ { bullet} / A _ { bullet}}: = Omega _ {R _ { bullet} / A _ { bullet}} otimes _ {R _ { bullet}} B _ { bullet}}$

Algebra yordamida ko'plab misollarni yaratish mumkin ${ displaystyle B}$ 0 xarakteristikasi bo'yicha turli xillikni namoyish etish, taqdimotini topish ${ displaystyle R}$ polinom algebra va ushbu taqdimot bilan bog'liq bo'lgan Koszul kompleksini olish uchun. Koszul kompleksi differentsial gradusli algebraning yarim erkin rezolyutsiyasi vazifasini bajaradi ${ displaystyle (B _ { bullet}, 0)}$ qayerda ${ displaystyle B _ { bullet}}$ 0 darajasida ahamiyatsiz darajali bo'lak bilan darajalangan algebra.

Misollar

Gipersurfning kotangens kompleksi ${ displaystyle X = mathbb {V} (f) subset mathbb {A} _ { mathbb {C}} ^ {n}}$ osongina hisoblash mumkin: chunki bizda dga bor ${ displaystyle K_ {R} (f)}$ vakili ishlab chiqilgan takomillashtirish ning ${ displaystyle X}$, biz kotangens kompleksini quyidagicha hisoblashimiz mumkin

${ displaystyle 0 to R cdot ds { xrightarrow { Phi}} bigoplus _ {i} R cdot dx_ {i} to 0}$

qayerda ${ displaystyle Phi (gds) = g cdot df}$ va ${ displaystyle d}$ odatdagi universal derivatsiya. Agar biz to'liq kesishishni olsak, u holda koszul kompleksi

${ displaystyle R ^ { bullet} = { frac { mathbb {C} [x_ {1}, ldots, x_ {n}]} {(f_ {1})}} otimes _ { mathbb { C} [x_ {1}, ldots, x_ {n}]} ^ { mathbf {L}} cdots otimes _ { mathbb {C} [x_ {1}, ldots, x_ {n}] } ^ { mathbf {L}} { frac { mathbb {C} [x_ {1}, ldots, x_ {n}]} {(f_ {k})}}}$

kompleks uchun kvazi-izomorfik xususiyatga ega

${ displaystyle { frac { mathbb {C} [x_ {1}, ldots, x_ {n}]} {(f_ {1}, ldots, f_ {k})}} [+ 0].}$

Bu shundan kelib chiqadiki, biz olingan ringning kotangens kompleksini qurishimiz mumkin ${ displaystyle R ^ { bullet}}$ har biri uchun yuqoridagi kotangens kompleksining tensor hosilasi sifatida ${ displaystyle f_ {i}}$.

Izohlar

E'tibor bering, olingan geometriya kontekstidagi kotangens kompleksi klassik sxemalarning kotangens kompleksidan farq qiladi. Ya'ni, agar aniqlangan giper sirtda o'ziga xoslik mavjud bo'lsa ${ displaystyle f}$ u holda kotangens kompleksi cheksiz amplituda bo'lar edi. Ushbu kuzatishlar motivatsiya beradi yashirin silliqlik hosil bo'lgan geometriya falsafasi, chunki endi biz cheklangan uzunlik kompleksi bilan ishlaymiz.

Tangens komplekslari

Polinom funktsiyalari

Polinom funktsiyasi berilgan ${ displaystyle f: mathbb {A} ^ {n} to mathbb {A} ^ {m},}$ keyin (homotopiya) orqaga tortish diagrammasini ko'rib chiqing

${ displaystyle { begin {matrix} Z & to & mathbb {A} ^ {n} downarrow && downarrow f {pt } & { xrightarrow {0}} & mathbb {A } ^ {m} end {matrix}}}$

bu erda pastki o'q - bu kelib chiqadigan nuqtani kiritish. Keyin, olingan sxema ${ displaystyle Z}$ tangens kompleksiga ega ${ displaystyle x in Z}$ morfizm bilan berilgan

${ displaystyle mathbf {T} _ {x} = T_ {x} mathbb {A} ^ {n} { xrightarrow {df_ {x}}} T_ {0} mathbb {A} ^ {m}}$

bu erda kompleks amplituda ${ displaystyle [-1,0]}$. Tegishli bo'shliqni yordamida tiklash mumkinligiga e'tibor bering ${ displaystyle H ^ {0}}$ va ${ displaystyle H ^ {- 1}}$ qancha masofani o'lchaydi ${ displaystyle x in Z}$ silliq nuqta bo'lishdan.

Stack kotirovkalari

Yig'ma berilgan ${ displaystyle [X / G]}$ tangens majmuasi uchun yaxshi tavsif mavjud:

${ displaystyle mathbf {T} _ {x} = { mathfrak {g}} _ {x} to T_ {x} X}$

Agar morfizm in'ektsion bo'lmasa, the ${ displaystyle H ^ {- 1}}$ bo'shliqning qanchalik birlik ekanligini yana bir bor o'lchaydi. Bundan tashqari, ushbu kompleksning evler xarakteristikasi kvant stekining to'g'ri (virtual) o'lchamini beradi, xususan, agar biz printsipial modullar to'plamiga qarasak ${ displaystyle G}$- to'plamlar, keyin teginish kompleksi shunchaki ${ displaystyle { mathfrak {g}} [+ 1]}$.

Murakkab Morse nazariyasida olingan sxemalar

Afinaviy navlarning topologik xususiyatlarini tahlil qilish uchun olingan sxemalardan foydalanish mumkin. Masalan, silliq afin turini ko'rib chiqing ${ displaystyle M subset mathbb {A} ^ {n}}$. Agar biz muntazam funktsiyani olsak ${ displaystyle f: M to mathbb {C}}$ va bo'limini ko'rib chiqing ${ displaystyle Omega _ {M}}$

${ displaystyle { begin {case} Gamma _ {df}: M to Omega _ {M} x mapsto (x, df (x)) end {case}}}$

Keyin, biz orqaga tortish diagrammasini olishimiz mumkin

${ displaystyle { begin {matrix} X & to & M downarrow && downarrow 0 M & { xrightarrow { Gamma _ {df}}} & Omega _ {M} end {matrix}}}$

qayerda ${ displaystyle 0}$ n-qism bo'lib, a-ni tuzadi tanqidiy joy muntazam funktsiya ${ displaystyle f}$.

Misol

Afinaning xilma-xilligini ko'rib chiqing

${ displaystyle M = operator nomi {Spec} ( mathbb {C} [x, y])}$

va tomonidan berilgan muntazam funktsiya ${ displaystyle f (x, y) = x ^ {2} + y ^ {3}}$. Keyin,

${ displaystyle Gamma _ {df} (a, b) = (a, b, 2a, 3b ^ {2})}$

bu erda biz so'nggi ikkita koordinatani qanday ko'rib chiqamiz ${ displaystyle dx, dy}$. Olingan kritik lokus keyinchalik olingan sxema hisoblanadi

${ displaystyle { textbf {RSpec}} chap ({ frac { mathbb {C} [x, y, dx, dy]} {(dx, dy)}} otimes _ { mathbb {C} [ x, y, dx, dy]} ^ { mathbf {L}} { frac { mathbb {C} [x, y, dx, dy]} {(2x-dx, 3y ^ {2} -dy) }} o'ng)}$

E'tibor bering, olingan kesishgan chap atama to'liq kesishma bo'lganligi sababli, hosil bo'lgan halqani ifodalovchi kompleksni hisoblashimiz mumkin.

${ displaystyle K_ {dx, dy} ^ { bullet} ( mathbb {C} [x, y, dx, dy]) otimes _ { mathbb {C} [x, y, dx, dy]} { frac { mathbb {C} [x, y, dx, dy]} {(2-dx, 3y ^ {2} -dy)}}}$

qayerda ${ displaystyle K_ {dx, dy} ^ { bullet} ( mathbb {C} [x, y, dx, dy])}$ koszul majmuasidir.

Tanqidiy joy

Yumshoq funktsiyani ko'rib chiqing ${ displaystyle f: M to mathbb {C}}$ qayerda ${ displaystyle M}$ silliq. Olingan yaxshilanish ${ displaystyle { text {Crit}} (f)}$, tanqidiy joy, differentsial darajali sxema bilan berilgan ${ displaystyle (M, { mathcal {A}} ^ { bullet}, Q)}$ bu erda asosiy darajali halqa polivektor maydonlari

${ displaystyle { mathcal {A}} ^ {- i} = wedge ^ {i} T_ {M}}$

va differentsial ${ displaystyle Q}$ tomonidan qisqarish bilan aniqlanadi ${ displaystyle df}$.

Misol

Masalan, agar

${ displaystyle { begin {case} f: mathbb {C} ^ {2} to mathbb {C} f (x, y) = x ^ {2} + y ^ {3} end { holatlar}}}$

bizda kompleks mavjud

${ displaystyle R cdot kısmi x wedge qisman y { xrightarrow {2xdx + 3y ^ {2} dy}} R cdot qismli x oplus R cdot kısaltılmış y { xrightarrow {2xdx + 3y ^ {2} dy}} R}$

ning kengaytirilganligini ifodalaydi ${ displaystyle { text {Crit}} (f)}$.

Izohlar

Adabiyotlar

• Olingan algebraik geometriyaga erishish - Mathoverflow
• M. Anel, Aniqlik geometriyasi
• K. Behrend, Virtual fundamental sinf haqida
• P. Goerss, Topologik modulli shakllar [Xopkins, Miller va Luridan keyin]
• B. Toen, Hosil qilingan algebraik geometriyaga kirish
• M. Manetti, 0 xarakteristikasidagi kotangens kompleksi
• G. Vezzosi, Olingan tanqidiy joy I - asoslar