Diskret tomografiya - Discrete tomography

Ikki vertikal va gorizontal yo'nalish bo'yicha diskret tomografiya rekonstruktsiyasi muammosi (chapda) va uning (noyob bo'lmagan) echimi (o'ngda). Vazifa qatorlari va ustunlaridagi qora nuqta soni ko'k raqamlarga to'g'ri kelishi uchun ba'zi oq nuqtalarni qora rangga bo'yashdir.

Diskret tomografiya[1][2] qayta qurish muammosiga e'tibor qaratadi ikkilik tasvirlar (yoki ning cheklangan kichik to'plamlari butun sonli panjara ) ularning oz sonidan proektsiyalar.

Umuman, tomografiya proektsiyalar to'plamidan ob'ektning shakli va o'lchovli ma'lumotlarini aniqlash muammosi bilan shug'ullanadi. Matematik nuqtai nazardan ob'ekt a ga to'g'ri keladi funktsiya va qo'yilgan muammo bu funktsiyani qayta tiklashdan iborat integrallar yoki uning kichik to'plamlari bo'yicha summalar domen. Umuman olganda, tomografik inversiya muammosi doimiy yoki diskret bo'lishi mumkin. Uzluksiz tomografiyada ham domen, ham funktsiya diapazoni doimiy va chiziqli integrallardan foydalaniladi. Diskret tomografiyada funktsiya sohasi diskret yoki uzluksiz bo'lishi mumkin va funktsiya diapazoni haqiqiy, odatda manfiy bo'lmagan sonlarning cheklangan to'plamidir. Ko'p sonli proektsiyalar mavjud bo'lganda uzluksiz tomografiyada turli xil algoritmlar bo'yicha aniq rekonstruksiyalarni amalga oshirish mumkin, diskret tomografiya uchun odatdagidek bir nechta proektsiyalar (chiziqlar yig'indisi) ishlatiladi. Bunday holda, odatiy usullarning barchasi muvaffaqiyatsiz bo'ladi. Diskret tomografiyaning maxsus ishi oz sonli proektsiyadan ikkilik tasvirni tiklash muammosi bilan shug'ullanadi. Ism diskret tomografiya tufayli Larri Shepp, ushbu mavzuga bag'ishlangan birinchi uchrashuvni kim tashkil qilgan (DIMACS Diskret tomografiya bo'yicha mini-simpozium, 1994 yil 19 sentyabr, Rutgers universiteti ).

Nazariya

Diskret tomografiya kabi boshqa matematik sohalar bilan kuchli aloqalarga ega sonlar nazariyasi,[3][4][5] diskret matematika,[6][7][8] murakkablik nazariyasi[9][10] va kombinatorika.[11][12][13] Aslida, bir qator diskret tomografiya muammolari birinchi navbatda kombinatoriya muammolari sifatida muhokama qilindi. 1957 yilda, H. J. Rayser diskret to'plamning ikki ortogonal proektsiyasi bo'lgan vektorlar juftligi uchun zarur va etarli shartni topdi. Rizer o'zining teoremasini isbotlashda ikkita ortogonal proektsiyadan umumiy diskret to'plam uchun birinchi qayta qurish algoritmini qayta qurish algoritmini ham tasvirlab berdi. Xuddi shu yili, Devid Geyl bilan bir xil mustahkamlik shartlarini topdi, lekin tarmoq oqimi muammo.[14] Ryzerning yana bir natijasi - bir xil proektsiyaga ega bo'lgan diskret to'plamlarni bir-biriga aylantirishi mumkin bo'lgan kommutatsiya operatsiyasining ta'rifi.

Ikkilik tasvirni oz miqdordagi proektsiyalardan tiklash muammosi odatda ko'p sonli echimlarga olib keladi. Imkoniyatli echimlar sinfini faqat priori ma'lumot yordamida, masalan, konveksiya yoki bog'lanish kabi qayta tiklanadigan tasvirni o'z ichiga olgan tasvirlar sinfiga xos bo'lganlar bilan cheklash maqsadga muvofiqdir.

Teoremalar

  • Yassi panjara to'plamlarini ularning 1 o'lchovli rentgen nurlaridan qayta qurish an Qattiq-qattiq agar rentgen nurlari olingan bo'lsa muammo panjara yo'nalishlari (uchun muammo P) da.[9]
  • Qayta qurish muammosi juda beqaror (rentgen nurlarining ozgina bezovtalanishi butunlay boshqacha qayta tiklanishlarga olib kelishi mumkinligini anglatadi)[15] va uchun barqaror , qarang.[15][16][17]
  • Panjara yordamida rang berish har bir satr va har bir ustun har bir rangning ma'lum bir katakchasiga ega bo'lgan cheklov bilan ranglar Diskret tomografiya jamiyatidagi atom muammosi. Muammo NP-da qiyin , qarang.[10]

Qo'shimcha natijalar uchun qarang.[1][2]

Algoritmlar

Qayta qurish usullari orasida topish mumkin algebraik qayta qurish texnikasi (masalan, DART[18] [19] yoki [20]), ochko'zlik algoritmlari (qarang [21] taxminiy kafolatlar uchun), va Monte-Karlo algoritmlari.[22][23]

Ilovalar

Turli xil algoritmlar qo'llanilgan tasvirni qayta ishlash,[18] Dori, uch o'lchovli statistik ma'lumotlar xavfsizligi muammolari, komputeromograf yordamida muhandislik va dizayn, elektron mikroskopi[24][25] va materialshunoslik shu jumladan 3DXRD mikroskop.[22][23][26]

Diskret tomografiya shakli ham asosini tashkil qiladi noogrammalar, turi mantiqiy jumboq unda raqamni qayta tiklash uchun raqamli tasvirning satrlari va ustunlari haqidagi ma'lumotlar ishlatiladi.[27]

Shuningdek qarang

Adabiyotlar

  1. ^ a b Herman, G. T. va Kuba, A., Diskret tomografiya: asoslar, algoritmlar va qo'llanmalar, Birkxauzer Boston, 1999
  2. ^ a b Herman, G. T. va Kuba, A., Diskret tomografiya va uning qo'llanilishidagi yutuqlar, Birkxauzer Boston, 2007
  3. ^ R.J. Gardner, P. Gritzmann, Diskret tomografiya: cheklangan to'plamlarni rentgen nurlari bilan aniqlash, Trans. Amer. Matematika. Soc. 349 (1997), yo'q. 6, 2271-2295.
  4. ^ L. Xajdu, R. Tijdeman, Diskret tomografiyaning algebraik jihatlari, J. reine angew. Matematika. 534 (2001), 119-128.
  5. ^ A. Alpers, R. Tijdeman, Ikki o'lchovli prouhet-Teri-Eskott muammosi, Raqamlar nazariyasi jurnali, 123 (2), 403-412 betlar, 2007 [1].
  6. ^ S. Brunetti, A. Del Lungo, P. Gritzmann, S. de Vriz, (Ikkilik) tomografik cheklovlar ostida ikkilik va permutatsion matritsalarni qayta qurish to'g'risida. Nazariy. Hisoblash. Ilmiy ish. 406 (2008), yo'q. 1-2, 63-71.
  7. ^ A. Alpers, P. Gritzmann, Diskret tomografiyada barqarorlik, xatolarni tuzatish va shovqinlarni kompensatsiya qilish to'g'risida, SIAM Journal on Discrete Mathematics 20 (1), 227-239 betlar, 2006 [2]
  8. ^ P. Gritzmann, B. Langfeld, Siegel katakchalari indeksi va uning kvazikristallarning tomografiyasida qo'llanilishi to'g'risida. Evropalik J. Kombin. 29 (2008), yo'q. 8, 1894-1909 yillar.
  9. ^ a b R.J. Gardner, P. Gritzmann, D. Prangenberg, Panjara to'plamlarini ularning rentgen nurlaridan tiklashning hisoblash murakkabligi to'g'risida. Diskret matematika. 202 (1999), yo'q. 1-3, 45-71.
  10. ^ a b C. Dyur, F. Ginnes, M. Matamala, Gorizontal va vertikal proyeksiyalardan 3 rangli panjaralarni tiklash juda qiyin. ESA 2009: 776-787.
  11. ^ H.J.Rayser, nol va bitta matritsalari, Bull. Amer. Matematika. Soc. 66 1960 442-464.
  12. ^ D. Geyl, Tarmoqlardagi oqimlar haqidagi teorema, Tinch okeani J. matematikasi. 7 (1957), 1073-1082.
  13. ^ E. Barcucci, S. Brunetti, A. Del Lungo, M. Nivat, Panjara to'plamlarini gorizontal, vertikal va diagonal rentgen nurlaridan tiklash, Diskret matematika 241 (1-3): 65-78 (2001).
  14. ^ Brualdi, Richard A. (2006). Kombinatorial matritsa darslari. Matematika entsiklopediyasi va uning qo'llanilishi. 108. Kembrij: Kembrij universiteti matbuoti. p.27. ISBN  978-0-521-86565-4. Zbl  1106.05001.
  15. ^ a b A. Alpers, P. Gritzmann, L. Torens, Diskret tomografiyada barqarorlik va beqarorlik, Kompyuter fanidan ma'ruza matnlari 2243; Raqamli va tasvir geometriyasi (Ilg'or ma'ruzalar), G. Bertran, A. Imiya, R. Klette (Eds.), 175-186 betlar, Springer-Verlag, 2001.
  16. ^ A. Alpers, S. Brunetti, Ikkita yo'nalish bo'yicha rentgen nurlaridan panjara to'plamlarini tiklash barqarorligi to'g'risida, Kompyuter fanidan ma'ruza matnlari 3429; Kompyuter tasvirlari uchun raqamli geometriya, E. Andres, G. Damian, P. Lienxardt (Eds.), 92-103 betlar, Springer-Verlag, 2005.
  17. ^ B. van Dalen, Diskret tomografiyada ikki yo'nalish bo'yicha noyob aniqlangan to'plamlar uchun barqarorlik natijalari, Diskret matematika 309 (12): 3905-3916 (2009).
  18. ^ a b Batenburg, Xost; Sijbers, Jan - DART: Diskret tomografiya uchun amaliy qayta qurish algoritmi - In: tasvirni qayta ishlash bo'yicha IEEE operatsiyalari, jild. 20, Nr. 9, p. 2542-2553, (2011). doi:10.1109 / TIP.2011.2131661
  19. ^ W. van Aarle, K J. Batenburg va J. Sijbers, Diskret algebraik qayta qurish texnikasi (DART) uchun avtomatik parametrlarni baholash, Tasvirni qayta ishlash bo'yicha IEEE operatsiyalari, 2012 [3]
  20. ^ K. J. Batenburg va J. Sijbers, "Diskret tomografiya uchun umumiy iterativ quyi algoritmlar", Diskret amaliy matematik, jild. 157, yo'q. 3, 438-451 betlar, 2009 y
  21. ^ P. Gritzmann, S. de Vriz, M. Vigelmann, Diskret rentgen nurlaridan olingan ikkilik tasvirlarni yaqinlashtirish, SIAM J. Optim. 11 (2000), yo'q. 2, 522-546.
  22. ^ a b A. Alpers, H.F. Poulsen, E. Knudsen, G.T. Herman, 3DXRD don xaritalari sifatini oshirishning alohida tomografiya algoritmi, Amaliy kristallografiya jurnali 39, 582-588 betlar, 2006 [4].
  23. ^ a b L. Rodek, H.F. Poulsen, E. Knudsen, G.T. Xerman, Rentgen difraksiyasi asosida o'rtacha deformatsiyalangan namunalarning don xaritalarini rekonstruksiya qilishning stoxastik algoritmi, Amaliy kristalografiya jurnali 40: 313-321, 2007.
  24. ^ S. Bals, K. J. Batenburg, J. Verbek, J. Sijbers va G. Van Tendeloo, "Bambukka o'xshash uglerod-nanotubalar uchun katalizator zarralarini miqdoriy 3D rekonstruktsiyasi", Nano Letters, Vol. 7, Nr. 12, p. 3669-3674, (2007) doi:10.1021 / nl071899m
  25. ^ Batenburg J., S. Bals, Sijbers J., C. Kubel, PA. Midgli, JK Ernandes, U.Kayzer, ER Encina, E.A. Coronado va G. Van Tendeloo, "Diskret tomografiya bilan nanomateriallarni 3D tasvirlash", Ultramikroskopiya, Vol. 109, p. 730-740, (2009) doi:10.1016 / j.ultramic.2009.01.009
  26. ^ K. J. Batenburg, J. Sijbers, H. F. Poulsen va E. Knudsen, "DART: 3D donli xaritalarni tezkor qayta qurish uchun ishonchli algoritm", Amaliy kristallografiya jurnali, jild. 43, 1464-1473 betlar, 2010 yil
  27. ^ Games jurnali raqamlar bo'yicha bo'yoq taqdim etadi. Tasodifiy uy. 1994. ISBN  978-0-8129-2384-1.

Tashqi havolalar