Dispersiyasiz tenglama - Dispersionless equation

Ning dispersiz (yoki kvaziklassik) chegaralari integral qisman differentsial tenglamalar (PDE) matematika va fizikaning turli masalalarida paydo bo'ladi va so'nggi adabiyotlarda intensiv ravishda o'rganilmoqda (qarang. Masalan. ma'lumotnomalar quyida). Ular odatda integral PDE tizimining sekin modulyatsiyalangan uzun to'lqinlarini ko'rib chiqishda paydo bo'ladi.

Misollar

Dispersiyasiz KP tenglamasi

Tarqoqsiz Kadomtsev-Petviashvili tenglamasi (dKPE), shuningdek ma'lum bo'lgan (o'zgaruvchilarning befarq chiziqli o'zgarishiga qadar) Xoxlov-Zabolotskaya tenglamasi, shaklga ega

{ displaystyle (u_ {t} + uu_ {x}) _ {x} + u_ {yy} = 0, qquad (1)}

Bu kommutatsiyadan kelib chiqadi

{ displaystyle [L_ {1}, L_ {2}] = 0. qquad (2)}

vektor maydonlarining quyidagi 1-parametrli oilalari juftligi

{ displaystyle L_ {1} = qisman _ {y} + lambda qisman _ {x} -u_ {x} qisman _ { lambda}, qquad (3a)}

{ displaystyle L_ {2} = qisman _ {t} + ( lambda ^ {2} + u) qisman _ {x} + (- lambda u_ {x} + u_ {y}) qisman _ { lambda}, qquad (3b)}

qayerda ${ displaystyle lambda}$ spektral parametrdir. DKPE bu ${ displaystyle x}$ - nishonlanadigan cheksiz chegara Kadomtsev-Petviashvili tenglamasi, ushbu tizimning uzoq to'lqinlarini ko'rib chiqishda paydo bo'ladi. DKPE, boshqa ko'plab (2 + 1) o'lchovli integrallanadigan dispersiyasiz tizimlar singari, (3 + 1) o'lchovli umumlashtirishni tan oladi, qarang.^[1]

Benni moment tenglamalari

Dispersiyasiz KP tizimi bilan chambarchas bog'liq Benni moment iyerarxiyasi, ularning har biri dispersiz integral tizim:

{ displaystyle A_ {t_ {2}} ^ {n} + A_ {x} ^ {n + 1} + nA ^ {n-1} A_ {x} ^ {0} = 0.}

Ular orasidagi muvofiqlik sharti sifatida paydo bo'ladi

{ displaystyle lambda = p + sum _ {n = 0} ^ { infty} A ^ {n} / p ^ {n + 1},}

va ierarxiyadagi eng oddiy ikkita evolyutsiya:

{ displaystyle p_ {t_ {2}} + pp_ {x} + A_ {x} ^ {0} = 0,}

{ displaystyle p_ {t_ {3}} + p ^ {2} p_ {x} + (pA ^ {0} + A ^ {1}) _ {x} = 0,}

DKP sozlanganda tiklanadi

{ displaystyle u = A ^ {0},}

va boshqa daqiqalarni yo'q qilish, shuningdek aniqlash ${ displaystyle y = t_ {2}}$ va ${ displaystyle t = t_ {3}}$ .

Agar bitta to'plam bo'lsa ${ displaystyle A ^ {n} = hv ^ {n}}$ , shuning uchun juda ko'p daqiqalar ${ displaystyle A ^ {n}}$ klassik, faqat ikkita funktsiya bilan ifodalanadi sayoz suv tenglamalari natija:

{ displaystyle h_ {y} + (hv) _ {x} = 0,}

{ displaystyle v_ {y} + vv_ {x} + h_ {x} = 0.}

Ular, shuningdek, sekin modulyatsiyalangan to'lqinli poezd echimlarini ko'rib chiqishdan kelib chiqishi mumkin chiziqli bo'lmagan Shredinger tenglamasi. Momentlarni juda ko'p bog'liq o'zgaruvchilar nuqtai nazaridan ifodalovchi bunday "kamayish" lar Gibbon-Tsarev tenglamasi.

Dispersiyasiz Korteweg – de Vriz tenglamasi

Tarqoqsiz Korteweg – de Fris tenglamasi (dKdVE) quyidagicha o'qiydi

{ displaystyle u_ {t_ {3}} = uu_ {x}. qquad (4)}

Bu ning dispersiyasiz yoki kvaziklassik chegarasi Korteweg – de Fris tenglamasi.Bu ma'qul ${ displaystyle t_ {2}}$ - dKP tizimining mustaqil echimlari, shuningdek, dan olish mumkin ${ displaystyle t_ {3}}$ - sozlamada Benni iyerarxiyasining oqimi

{ displaystyle lambda ^ {2} = p ^ {2} + 2A ^ {0}.}

Dispersiyasiz Novikov - Veselov tenglamasi

Tarqoqsiz Novikov-Veselov tenglamasi eng ko'p real qiymatga ega funktsiya uchun quyidagi tenglama sifatida yoziladi ${ displaystyle v = v (x_ {1}, x_ {2}, t)}$ :

{ displaystyle { begin {aligned} & kısalt _ {t} v = qismli _ {z} (vw) + qisman _ { bar {z}} (v { bar {w}}), & kısalt _ { bar {z}} w = -3 qisman _ {z} v, end {aligned}}}

bu erda kompleks tahlilning quyidagi standart yozuvi qo'llaniladi: ${ displaystyle kısalt _ {z} = { frac {1} {2}} ( kısalt _ {x_ {1}} - i qisman _ {x_ {2}})}$ , ${ displaystyle kısalt _ { bar {z}} = { frac {1} {2}} ( kısalt _ {x_ {1}} + i qisman _ {x_ {2}})}$ . Funktsiya ${ displaystyle w}$ mana bu erda aniqlangan yordamchi funktsiya ${ displaystyle v}$ holomorfik yig'ilishga qadar.

Ko'p o'lchovli integrallanadigan dispersiyasiz tizimlar

Qarang ^[1] kontaktli Lax juftlari bo'lgan tizimlar uchun va h.k.^[2]^[3] va boshqa tizimlar uchun havolalar.

Shuningdek qarang

Adabiyotlar

^ ^a ^b Sergyeyev, A. (2018). "Yangi integral ($$ 3 + 1 $$ 3 + 1) o'lchovli tizimlar va aloqa geometriyasi". Matematik fizikadagi harflar. 108 (2): 359–376. arXiv:1401.2122. doi:10.1007 / s11005-017-1013-4. S2CID 119159629.
^ Kalderbank, Devid M. J .; Kruglikov, Boris (2016). "Geometriya orqali yaxlitlik: uch va to'rt o'lchovdagi dispersiyasiz differentsial tenglamalar". arXiv:1612.02753. Iqtibos jurnali talab qiladi | jurnal = (Yordam bering)
^ Kruglikov, Boris; Morozov, Oleg (2015). "4D-da integral dispersiz PDElar, ularning simmetriyasi psevdogruplari va deformatsiyalari". Matematik fizikadagi harflar. 105 (12): 1703–1723. arXiv:1410.7104. Bibcode:2015LMaPh.105.1703K. doi:10.1007 / s11005-015-0800-z. S2CID 119326497.

Kodama Y., Gibbons J. "Dispersiyasiz KP iyerarxiyasining yaxlitligi", Lineer bo'lmagan dunyo 1, (1990).
Zaxarov V.E. "2 + 1 o'lchamdagi integral tizimlarning dispersiyasiz chegarasi", Dispersion to'lqinlarning yagona chegaralari, NATO ASI seriyasi, 320-jild, 165-174, (1994).
Takasaki, Kanehisa; Takebe, Takashi (1995). "Integral ierarxiyalar va dispersiyasiz chegara". Matematik fizikadagi sharhlar. 07 (5): 743–808. arXiv:hep-th / 9405096. Bibcode:1995RvMaP ... 7..743T. doi:10.1142 / S0129055X9500030X. S2CID 17351327.
Konopelchenko, B. G. (2007). "Kviziklassik umumlashtirilgan Weierstrass vakili va dispersiyasiz DS tenglamasi". Fizika jurnali A: matematik va nazariy. 40 (46): F995-F1004. arXiv:0709.4148. doi:10.1088 / 1751-8113 / 40/46 / F03. S2CID 18451590.
Konopelchenko, B.G.; Moro, A. (2004). "Lineer bo'lmagan geometrik optikada integral tenglamalar". Amaliy matematika bo'yicha tadqiqotlar. 113 (4): 325–352. arXiv:nlin / 0403051. Bibcode:2004nlin ...... 3051K. doi:10.1111 / j.0022-2526.2004.01536.x. S2CID 17611812.
Dunayskiy, Masij (2008). "Interpolatsiya qiluvchi dispersiyasiz integrallanadigan tizim". Fizika jurnali A: matematik va nazariy. 41 (31): 315202. arXiv:0804.1234. Bibcode:2008JPhA ... 41E5202D. doi:10.1088/1751-8113/41/31/315202. S2CID 15695718.
Dunajski M. "Solitons, instantons and twistors", Oxford University Press, 2010.
Sergyeyev, A. (2018). "Yangi integral (3 + 1) o'lchovli tizimlar va aloqa geometriyasi". Matematik fizikadagi harflar. 108 (2): 359–376. arXiv:1401.2122. Bibcode:2018LMaPh.108..359S. doi:10.1007 / s11005-017-1013-4. S2CID 119159629.
Takebe T. "Dispersiyasiz yaxlit iyerarxiyalar to'g'risida ma'ruzalar", 2014 yil,

https://rikkyo.repo.nii.ac.jp/index.php?action=pages_view_main&active_action=repository_action_common_download&item_id=9046&item_no=1&attribute_id=22&file_no=1&page_id=13&block_id=49

Tashqi havolalar

Ishimori_sistemasi dispersiv tenglamalar wiki-da

[AS-1] Sergyeyev, A. (2018). "Yangi integral ($$ 3 + 1 $$ 3 + 1) o'lchovli tizimlar va aloqa geometriyasi". Matematik fizikadagi harflar. 108 (2): 359–376. arXiv:1401.2122. doi:10.1007 / s11005-017-1013-4. S2CID 119159629.

[2] Kalderbank, Devid M. J .; Kruglikov, Boris (2016). "Geometriya orqali yaxlitlik: uch va to'rt o'lchovdagi dispersiyasiz differentsial tenglamalar". arXiv:1612.02753. Iqtibos jurnali talab qiladi | jurnal = (Yordam bering)

[3] Kruglikov, Boris; Morozov, Oleg (2015). "4D-da integral dispersiz PDElar, ularning simmetriyasi psevdogruplari va deformatsiyalari". Matematik fizikadagi harflar. 105 (12): 1703–1723. arXiv:1410.7104. Bibcode:2015LMaPh.105.1703K. doi:10.1007 / s11005-015-0800-z. S2CID 119326497.

[1]

[2]

[3]