Erl-Xemilton sobit nuqta teoremasi - Earle–Hamilton fixed-point theorem

Yilda matematika, Erl-Xemilton sobit nuqta teoremasi natijasi geometrik funktsiyalar nazariyasi a uchun etarli sharoitlarni berish holomorfik xaritalash kompleksdagi ochiq domen Banach maydoni sobit nuqtaga ega bo'lish uchun o'zida. Natijada 1968 yilda Klifford Erl va Richard S. Xemilton buni ko'rsatib, ga nisbatan Karateodori metrikasi domomda holomorfik xaritalash a ga aylanadi qisqarishni xaritalash bunga Banax sobit nuqta teoremasi qo'llanilishi mumkin.

Bayonot

Ruxsat bering D. kompleksning bog'langan ochiq to'plami bo'lishi Banach maydoni X va ruxsat bering f ning holomorfik xaritasi bo'lishi mumkin D. o'z ichiga shunday:

• rasm f(D.) normada belgilangan;
• nuqtalar orasidagi masofa f(D.) va tashqi tomonidagi nuqtalar D. quyida musbat doimiy bilan chegaralangan.

Keyin xaritalash f noyob sobit nuqtaga ega x yilda D. va agar y har qanday nuqta D., takrorlanadi fⁿ(y) ga yaqinlashish x.

Isbot

O'zgartirish D. ning ε-mahalla tomonidan f(D.), deb taxmin qilish mumkin D. o'zi normada belgilangan.

Uchun z yilda D. va v yilda X, o'rnatilgan

${ displaystyle displaystyle { alfa (z, v) = sup _ {g} | g ^ { prime} (z) v |,}}$

bu erda supremum barcha holomorfik funktsiyalar bo'yicha olinadi g kuni D. bilan |g(z)| < 1.

Parchalanadigan egri chiziqning a uzunligini aniqlang: [0,1] ${ displaystyle rightarrow}$ D. tomonidan

${ displaystyle displaystyle { ell ( gamma) = int _ {0} ^ {1} alfa ( gamma (t), { dot { gamma}} (t)) , dt.}}$

Karateodori metrikasi quyidagicha aniqlanadi

${ displaystyle displaystyle {d (x, y) = inf _ { gamma (0) = x, gamma (1) = y} ell ( gamma)}}$

uchun x va y yilda D.. Bu doimiy funktsiya D. x D. norma topologiyasi uchun.

Agar diametri D. dan kam R keyin tegishli holomorfik funktsiyalarni qabul qilish orqali g shaklning

${ displaystyle displaystyle {g (z) = a (z) + b}}$

bilan a yilda X* va b yilda C, bundan kelib chiqadiki

${ displaystyle displaystyle { alfa (z, v) geq | v | / R,}}$

va shuning uchun

${ displaystyle displaystyle {d (x, y) geq | x-y | / R.}}$

Jumladan d metrikani belgilaydi D..

Zanjir qoidasi

${ displaystyle displaystyle {(g circ f) ^ { prime} (z) = g ^ { prime} (f (z)) f ^ { prime} (z)}}$

shuni anglatadiki

${ displaystyle displaystyle { alfa (f (z), f ^ { prime} (z) v) leq alfa (z, v)}}$

va shuning uchun f ning quyidagi umumlashtirilishini qondiradi Shvarts-Pik tengsizligi:

${ displaystyle displaystyle {d (f (x), f (y)) leq d (x, y).}}$

Δ uchun etarlicha kichik va y o'rnatilgan D., xuddi shu tengsizlikni holomorfik xaritalashda ham qo'llash mumkin

${ displaystyle displaystyle {f _ { delta, y} (z) = f (z) + delta (f (z) -f (y))}}$

va yaxshilangan taxminni beradi:

${ displaystyle displaystyle {d (f (x), f (y)) leq (1+ delta) ^ {- 1} d (x, y).}}$

Banach sobit nuqta teoremasi ning cheklanishiga qo'llanishi mumkin f yopilishiga f(D.) qaysi d to'liq metrikani belgilaydi, me'yor bilan bir xil topologiyani aniqlaydi.

Boshqa holomorfik sobit nuqta teoremalari

Cheklangan o'lchamlarda sobit nuqta mavjudligini ko'pincha Brouwer sobit nuqta teoremasi xaritalashning holomorfikasiga hech qanday murojaat qilmasdan. Bo'lgan holatda cheklangan nosimmetrik domenlar bilan Bergman metrikasi, Neretin (1996) va Klerk (1998) Earl-Hamilton teoremasida ishlatilganidek, xuddi shu dalil sxemasi qo'llanilishini ko'rsatdi. Chegaralangan nosimmetrik domen D. = G / K Bergman metrikasi uchun to'liq metrik makon. Komplekslashtirishning ochiq yarim guruhi G_v yopilishini olib D. ichiga D. tomonidan harakat qiladi qisqarish xaritalari, shuning uchun yana Banach sobit nuqta teoremasi qo'llanilishi mumkin. Neretin ushbu argumentni uzluksizligi bilan ba'zi bir cheksiz o'lchovli chegaralangan simmetrik domenlarga, xususan, operator normasi 1 dan kam bo'lgan simmetrik Hilbert-Shmidt operatorlarining Siegel umumlashtirilgan diskiga uzaytirdi. Bu holda Earl-Xamilton teoremasi teng darajada yaxshi qo'llaniladi.

Adabiyotlar

• Erl, Klifford J .; Xemilton, Richard S. (1970), Holomorfik xaritalash uchun sobit nuqta teoremasi, Proc. Simpozlar. Sof matematik., XVI, Amerika Matematik Jamiyati, 61-65-betlar
• Harris, Lawrence A. (2003), "Banach bo'shliqlarida domenlar uchun holomorfik xaritalashning aniq nuqtalari", Abstr. Qo'llash. Anal., 2003 (5): 261–274, CiteSeerX  10.1.1.419.2323, doi:10.1155 / S1085337503205042
• Neretin, Y. A. (1996), Simmetriya toifalari va cheksiz o'lchovli guruhlar, London Matematik Jamiyati Monografiyalari, 16, Oksford universiteti matbuoti, ISBN  0-19-851186-8
• Klerk, Jan-Lui (1998), "Ermit simmetrik bo'shliqlarining siqilishi va qisqarishi", Matematika. Z., 229: 1–8, doi:10.1007 / pl00004648