Ekman-Xilton ikkilanishi - Eckmann–Hilton duality

Ning matematik fanlarida algebraik topologiya va homotopiya nazariyasi, Ekman-Xilton ikkilanishi eng asosiy shaklida berilganni olishdan iborat diagramma ma'lum bir kontseptsiya uchun va barcha o'qlarning yo'nalishini teskari yo'naltirish, xuddi shunga o'xshash toifalar nazariyasi g'oyasi bilan qarshi turkum. Keyinchalik chuqurroq shakl, a ning ikkilangan tushunchasi ekanligini tasdiqlaydi chegara a kolimit bizga o'zgartirish imkoniyatini beradi Eilenberg-Shtenrod aksiomalari uchun homologiya uchun aksiomalar berish kohomologiya. Uning nomi berilgan Beno Ekman va Piter Xilton.

Munozara

Misol tomonidan keltirilgan qichqiriq, bu bizga har qanday ob'ekt uchun buni aytadi ${displaystyle X}$, xarita ${displaystyle X imes I o Y}$ xarita bilan bir xil ${displaystyle X o Y ^ {I}}$, qayerda ${displaystyle Y ^ {I}}$ bo'ladi eksponent ob'ekt, barcha xaritalar tomonidan berilgan ${displaystyle I}$ ga ${displaystyle Y}$. Bo'lgan holatda topologik bo'shliqlar, agar olsak ${displaystyle I}$ birlik oralig'i bo'lish uchun, bu o'rtasidagi ikkilikka olib keladi ${displaystyle X imes I}$ va ${displaystyle Y ^ {I}}$, keyinchalik bu ikkilikni beradi qisqartirilgan to'xtatib turish ${displaystyle Sigma X}$, bu bir qismdir ${displaystyle X imes I}$, va pastadir maydoni ${displaystyle Omega Y}$, bu subspace hisoblanadi ${displaystyle Y ^ {I}}$. Bu keyin qo'shma munosabat ${displaystyle langle Sigma X, Yangle = Langle X, Omega Yangle}$, bu esa o'rganish imkonini beradi spektrlar, bu sabab bo'ladi kohomologiya nazariyalari.

Biz to'g'ridan-to'g'ri aloqada bo'lishimiz mumkin fibratsiyalar va kofibratsiyalar: fibratsiya ${displaystyle pcolon E o B}$ ega bo'lishi bilan belgilanadi homotopiya ko'tarish xususiyati, quyidagi diagramma bilan ifodalangan

va kofibratsiya ${displaystyle icolon A o X}$ ikkilikka ega bo'lish bilan belgilanadi homotopiya kengaytmasi xususiyati, oldingi diagrammani dualizatsiya qilish bilan ifodalangan:

Yuqoridagi fikrlar, shuningdek, fibratsiya yoki kofibratsiya bilan bog'liq ketma-ketliklarni ko'rib chiqishda qo'llaniladi ${displaystyle F o E o B}$ biz ketma-ketlikni olamiz

${displaystyle cdots o Omega ^ {2} B o Omega F o Omega E omeme B o F o E o B,}$

va kofibratsiya berilgan ${displaystyle A o X o X / A}$ biz ketma-ketlikni olamiz

${displaystyle A o X o X / A o Sigma A o Sigma X o Sigma chap (X / Aight) o Sigma ^ {2} A o cdots.,}$

va umuman olganda, aniq va birgalikda hayot o'rtasidagi ikkilik Kuchukcha ketma-ketliklari.

Bu ham o'zaro aloqada bo'lishga imkon beradi homotopiya va kohomologiya: biz buni bilamiz homotopiya guruhlari bor homotopiya darslari dan xaritalar n-sfera bizning makonimizga, yozilgan ${displaystyle pi _ {n} (X, p) birlashma S ^ {n}, Xangle}$va biz bilamizki, sharda bitta nolga teng (kamaytirilgan) kohomologiya guruhi. Boshqa tomondan, kohomologiya guruhlari - bu bitta nolga teng bo'lmagan homotopiya guruhi bo'lgan bo'shliqlarga xaritalarning homotopiya sinflari. Bu tomonidan berilgan Eilenberg - MacLane bo'shliqlari ${displaystyle K (G, n)}$ va munosabat

${displaystyle H ^ {n} (X; G) burchakli to'rtburchak X, K (G, n) burchak.}$

Yuqoridagi norasmiy munosabatlarning rasmiylashtirilishi Ikkilik.^[1]

Shuningdek qarang

• Model toifasi

Adabiyotlar

• Xetcher, Allen (2002), Algebraik topologiya, Kembrij: Kembrij universiteti matbuoti, ISBN  0-521-79540-0.
• "Ekman-Xilton ikkilanishi", Matematika entsiklopediyasi, EMS Press, 2001 [1994]