Eilenberg – Mur spektral ketma-ketligi - Eilenberg–Moore spectral sequence

Yilda matematika, sohasida algebraik topologiya, Eilenberg – Mur spektral ketma-ketligi ning hisoblashiga murojaat qiladi homologiya guruhlari a orqaga tortish ustidan fibratsiya. The spektral ketma-ketlik qolgan bo'shliqlarning homologiyasi haqidagi bilimlardan hisoblashni shakllantiradi. Samuel Eilenberg va Jon C. Mur original qog'oz bu uchun murojaat qiladi singular homologiya.

Motivatsiya

Ruxsat bering ${displaystyle k}$ bo'lishi a maydon va ruxsat bering ${displaystyle H_ {ast} (-) = H_ {ast} (-, k)}$ va ${displaystyle H ^ {ast} (-) = H ^ {ast} (-, k)}$belgilash singular homologiya va singular kohomologiya koeffitsientlari bilan knavbati bilan.

Quyidagi orqaga chekinishni ko'rib chiqing ${displaystyle E_ {f}}$ doimiy xaritadan p:

${displaystyle {egin {array} {c c c} E_ {f} & ightarrow & E downarrow && downarrow {p} X & ightarrow _ {f} & B end {arr}}}}$

Elyaf mahsulotining homologiyasi, ${displaystyle E_ {f}}$, ning homologiyasiga taalluqlidir B, X va E. Masalan, agar B Bu nuqta, keyin orqaga chekinish odatdagi mahsulotdir ${displaystyle E imes X}$. Bu holda Künnet formulasi deydi

${displaystyle H ^ {*} (E_ {f}) = H ^ {*} (X imes E) cong H ^ {*} (X) otimes _ {k} H ^ {*} (E).}$

Ammo bu munosabat umuman umumiy holatlarda to'g'ri kelmaydi. Eilenberg-Mur spektral ketma-ketligi - bu ma'lum sharoitlarda tola mahsulotining (birgalikda) gomologiyasini hisoblash imkonini beradigan qurilma.

Bayonot

Eilenberg-Mur spektral ketma-ketliklari yuqoridagi izomorfizmni vaziyatga umumlashtiradi p a fibratsiya topologik bo'shliqlar va asos B bu oddiygina ulangan. Keyin konvergent spektral ketma-ketlik mavjud

${displaystyle E_ {2} ^ {ast, ast} = {ext {Tor}} _ {H ^ {ast} (B)} ^ {ast, ast} (H ^ {ast} (X), H ^ {ast } (E)) O'ng chiziq H ^ {ast} (E_ {f}).}$

Bu nolinchi darajaga qadar umumlashma Tor funktsiyasi shunchaki tensor mahsuloti va yuqoridagi maxsus holatda nuqta kohomologiyasi B faqat koeffitsient maydoni k (0 darajasida).

Ikki tomonlama, bizda quyidagi gomologik spektral ketma-ketlik mavjud:

${displaystyle E_ {ast, ast} ^ {2} = {ext {Cotor}} _ {ast, ast} ^ {H_ {ast} (B)} (H_ {ast} (X), H_ {ast} (E )) H_ {ast} (E_ {f}).}$

Dalil bo'yicha ko'rsatmalar

Spektral ketma-ketlik o'rganishdan kelib chiqadi differentsial darajali ob'ektlar (zanjirli komplekslar ) bo'shliqlar emas. Quyida Eilenberg va Murning asl gomologik qurilishi muhokama qilinadi. Kogomologik holat shunga o'xshash tarzda olinadi.

Ruxsat bering

${displaystyle S_ {ast} (-) = S_ {ast} (-, k)}$

bo'lishi yagona zanjir koeffitsientlari bo'lgan funktsiya ${displaystyle k}$. Tomonidan Eilenberg-Zilber teoremasi, ${displaystyle S_ {ast} (B)}$ differentsial baholangan ko'mirgebra tuzilish tugadi ${displaystyle k}$ tuzilish xaritalari bilan

${displaystyle S_ {ast} (B) {xrightarrow {riangle}} S_ {ast} (B imes B) {xrightarrow {simeq}} S_ {ast} (B) otimes S_ {ast} (B).}$

Tuproqqa qaraganda, xarita o'ziga xos zanjirga biriktirilgan s: Δⁿ → B ning tarkibi s va diagonal qo'shilish B ⊂ B × B. Xuddi shunday, xaritalar ${displaystyle f}$ va ${displaystyle p}$ differentsial gradusli ko'mirgebralarning xaritalarini induktsiya qilish

${displaystyle f_ {ast} yo'g'on ichak S_ {ast} (X) qorong'i S_ {ast} (B)}$, ${displaystyle p_ {ast} yo'g'on ichak S_ {ast} (E) qorong'i S_ {ast} (B)}$.

Tilida komodulalar, ular taqdirlaydilar ${displaystyle S_ {ast} (E)}$ va ${displaystyle S_ {ast} (X)}$ Diferensial darajali komodul tuzilmalari tugagan ${displaystyle S_ {ast} (B)}$, tuzilish xaritalari bilan

${displaystyle S_ {ast} (X) {xrightarrow {riangle}} S_ {ast} (X) otimes S_ {ast} (X) {xrightarrow {f_ {ast} otimes 1}} S_ {ast} (B) otimes S_ {ast} (X)}$

va shunga o'xshash uchun E o'rniga X. Endi deb atalmish qurish mumkin kobar o'lchamlari uchun

${displaystyle S_ {ast} (X)}$

differentsial darajali sifatida ${displaystyle S_ {ast} (B)}$ komodul. Cobar rezolyutsiyasi differentsial homologik algebrada standart texnik hisoblanadi:

${displaystyle {mathcal {C}} (S_ {ast} (X), S_ {ast} (B)) = cdots {xleftarrow {delta _ {2}}} {mathcal {C}} _ ​​{- 2} (S_ {ast} (X), S_ {ast} (B)) {xleftarrow {delta _ {1}}} {mathcal {C}} _ ​​{- 1} (S_ {ast} (X), S_ {ast} ( B)) {xleftarrow {delta _ {0}}} S_ {ast} (X) otimes S_ {ast} (B),}$

qaerda n- muddat ${displaystyle {mathcal {C}} _ ​​{- n}}$ tomonidan berilgan

${displaystyle {mathcal {C}} _ ​​{- n} (S_ {ast} (X), S_ {ast} (B)) = S_ {ast} (X) otimes under {S_ {ast} (B) otimes cdots otimes S_ {ast} (B)} _ {n} otimes S_ {ast} (B).}$

Xaritalar ${displaystyle delta _ {n}}$ tomonidan berilgan

${displaystyle lambda _ {f} otimes cdots otimes 1 + sum _ {i = 2} ^ {n} 1otimes cdots otimes riangle _ {i} otimes cdots otimes 1,}$

qayerda ${displaystyle lambda _ {f}}$ uchun tuzilish xaritasi ${displaystyle S_ {ast} (X)}$ chap tomonda ${displaystyle S_ {ast} (B)}$ komodul.

Cobar o'lchamlari a bikompleks, bir daraja zanjir komplekslarini gradingidan kelib chiqadi S_∗(-), ikkinchisi oddiy daraja n. The umumiy kompleks ikki tomonlama kompleks belgilanadi ${displaystyle mathbf {mathcal {C}} _ ​​{ullet}}$.

Yuqoridagi algebraik konstruktsiyaning topologik vaziyat bilan aloqasi quyidagicha. Yuqoridagi taxminlar asosida xarita mavjud

${displaystyle Theta yo'g'on ichak mathbf {mathcal {C}} _ ​​{ullet {{ext {}} Box _ {S_ {ast} (B)}}} S_ {ast} (E) qorovul S_ {ast} (E_ {f}) , k)}$

bu a ni keltirib chiqaradi kvazi-izomorfizm (ya'ni, homologiya guruhlarida izomorfizmni keltirib chiqarish)

${displaystyle Theta _ {ast} yo'g'on ichakning operator nomi {Cotor} ^ {S_ {ast} (B)} (S_ {ast} (X) S_ {ast} (E)) karavot H_ {ast} (E_ {f}), }$

qayerda ${displaystyle Box _ {S_ {ast} (B)}}$ bo'ladi kotensor mahsuloti va Kotor (kotorion) buolingan funktsiya uchun kotensor mahsulot.

Hisoblash uchun

${displaystyle H_ {ast} (mathbf {mathcal {C}} _ ​​{ullet {{ext {}} Box _ {S_ {ast} (B)}}} S_ {ast} (E))}$,

ko'rinish

${displaystyle mathbf {mathcal {C}} _ ​​{ullet {{ext {}} Box _ {S_ {ast} (B)}}} S_ {ast} (E)}$

kabi er-xotin kompleks.

Har qanday bikompleks uchun ikkitasi mavjud filtrlash (qarang: John McCleary (2001 ) yoki spektral ketma-ketlik filtrlangan kompleks); bu holda Eilenberg-Mur spektral ketma-ketligi gomologik darajani oshirib filtrlash natijasida hosil bo'ladi (spektral ketma-ketlikning standart rasmidagi ustunlar bo'yicha). Ushbu filtrlash hosil beradi

${displaystyle E ^ {2} = operator nomi {Cotor} ^ {H_ {ast} (B)} (H_ {ast} (X), H_ {ast} (E))}.$

Ushbu natijalar turli yo'llar bilan takomillashtirildi. Masalan, Uilyam G. Dvayer  (1975 ) konvergentsiya natijalarini bo'shliqlarni o'z ichiga olgan holda takomillashtirdi

${displaystyle pi _ {1} (B)}$

harakat qiladi nilpotentsiya bilan kuni

${displaystyle H_ {i} (E_ {f})}$

Barcha uchun ${displaystyle igeq 0}$va Bruk Shipli  (1996 ) buni o'zboshimchalik bilan qaytarib olishni o'z ichiga olgan holda yanada umumlashtirdi.

Asl konstruktsiya boshqa homologiya nazariyalari bilan hisoblashishga imkon bermaydi, chunki bunday jarayon zanjir komplekslaridan kelib chiqmagan homologiya nazariyasi uchun ishlaydi deb kutish uchun hech qanday sabab yo'q. Biroq, yuqoridagi protsedurani aksiomatizatsiya qilish va umumiy (birgalikda) gomologiya nazariyasi uchun yuqoridagi spektral ketma-ketlik shartlarini berish mumkin, qarang Larri Smitning asl ishi (Smit 1970 yil ) yoki kirish (Xetcher 2002 yil ).

Adabiyotlar

• Duayer, Uilyam G. (1975), "Eilenberg-Mur spektral ketma-ketligining ekzotik yaqinlashuvi", Illinoys matematikasi jurnali, 19 (4): 607–617, ISSN  0019-2082, JANOB  0383409
• Eilenberg, Samuel; Mur, Jon C. (1962), "Limitlar va spektral ketma-ketliklar", Topologiya. Xalqaro matematika jurnali, 1 (1): 1–23, doi:10.1016/0040-9383(62)90093-9
• Xetcher, Allen (2002), Algebraik topologiya, Kembrij universiteti matbuoti, ISBN  978-0-521-79540-1
• McCleary, John (2001), "7 va 8 boblar: Eilenberg-Mur spektral ketma-ketligi I va II", Spektral ketma-ketliklar bo'yicha foydalanuvchi qo'llanmasi, Kengaytirilgan matematikadan Kembrij tadqiqotlari, 58, Kembrij universiteti matbuoti, ISBN  978-0-521-56759-6
• Shipli, Bruk E. (1996), "Kosimplikial fazoning homologik spektral ketma-ketligining yaqinlashuvi", Amerika matematika jurnali, 118 (1): 179–207, CiteSeerX  10.1.1.549.661, doi:10.1353 / ajm.1996.0004
• Smit, Larri (1970), Eilenberg − Mur spektral ketma-ketligi bo'yicha ma'ruzalar, Matematikadan ma'ruza matnlari, 134, Berlin, Nyu-York: Springer-Verlag, JANOB  0275435

Qo'shimcha o'qish

• Allen Xetcher, Algebraik topologiyadagi spektral ketma-ketliklar, Ch 3. Eilenberg-Maklen bo'shliqlari [1]