Enneper yuzasi - Enneper surface

Enneper sirtining bir qismi

Yilda differentsial geometriya va algebraik geometriya, Enneper yuzasi ta'rif berish mumkin bo'lgan o'z-o'zidan kesishgan sirtdir parametrli ravishda tomonidan:

${displaystyle x = u (1-u ^ {2} / 3 + v ^ {2}) / 3,}$

${displaystyle y = v (1-v ^ {2} / 3 + u ^ {2}) / 3,}$

${displaystyle z = (u ^ {2} -v ^ {2}) / 3. }$

Tomonidan kiritilgan Alfred Enneper bilan bog'liq holda 1864 yilda minimal sirt nazariya.^[1][2][3][4]

The Weierstrass-Enneper parametrlari juda oddiy, ${displaystyle f (z) = 1, g (z) = z}$, va undan haqiqiy parametrli shaklni osongina hisoblash mumkin. Yuzaki birlashtirmoq o'ziga.

Implicitization usullari algebraik geometriya yordamida Enneper sathidagi nuqtalar-9 darajasini qondirishini bilish uchun foydalanish mumkin polinom tenglama^{[iqtibos kerak ]}

${displaystyle 64z ^ {9} -128z ^ {7} + 64z ^ {5} -702x ^ {2} y ^ {2} z ^ {3} -18x ^ {2} y ^ {2} z + 144 ( y ^ {2} z ^ {6} -x ^ {2} z ^ {6})}$

${displaystyle {} +162 (y ^ {4} z ^ {2} -x ^ {4} z ^ {2}) + 27 (y ^ {6} -x ^ {6}) + 9 (x ^ { 4} z + y ^ {4} z) +48 (x ^ {2} z ^ {3} + y ^ {2} z ^ {3})}$

${displaystyle {} -432 (x ^ {2} z ^ {5} + y ^ {2} z ^ {5}) + 81 (x ^ {4} y ^ {2} -x ^ {2} y ^ {4}) + 240 (y ^ {2} z ^ {4} -x ^ {2} z ^ {4}) - 135 (x ^ {4} z ^ {3} + y ^ {4} z ^ {3}) = 0. }$

Ikki marta teginuvchi tekislik berilgan parametrlarga ega bo'lgan nuqtada ${displaystyle a + bx + cy + dz = 0,}$ qayerda

${displaystyle a = - (u ^ {2} -v ^ {2}) (1 + u ^ {2} / 3 + v ^ {2} / 3),}$

${displaystyle b = 6u,}$

${displaystyle c = 6v,}$

${displaystyle d = -3 (1-u ^ {2} -v ^ {2}). }$

Uning koeffitsientlari yopiq daraja-6 polinom tenglamasini qondiradi

${displaystyle 162a ^ {2} b ^ {2} c ^ {2} + 6b ^ {2} c ^ {2} d ^ {2} -4 (b ^ {6} + c ^ {6}) + 54 (ab ^ {4} d-ac ^ {4} d) +81 (a ^ {2} b ^ {4} + a ^ {2} c ^ {4})}$

${displaystyle {} +4 (b ^ {4} c ^ {2} + b ^ {2} c ^ {4}) - 3 (b ^ {4} d ^ {2} + c ^ {4} d ^ {2}) + 36 (ab ^ {2} d ^ {3} -ac ^ {2} d ^ {3}) = 0. }$

The Jacobian, Gauss egriligi va egrilik degani bor

${displaystyle J = (1 + u ^ {2} + v ^ {2}) ^ {4} / 81,}$

${displaystyle K = - (4/9) / J,}$

${displaystyle H = 0. }$

The umumiy egrilik bu ${displaystyle -4pi}$. Osserman ning to'liq minimal yuzasi ekanligini isbotladi ${displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$ umumiy egrilik bilan ${displaystyle -4pi}$ ham katenoid yoki Enneper yuzasi.^[5]

Boshqa xususiyat - bu ikkitomonlama minimaldir Bézier sirtlari gacha, gacha afinaning o'zgarishi, sirt qismlari.^[6]

Weierstrass-Enneper parametrlarini qo'llash orqali uni yuqori darajadagi aylanish simmetriyalari bo'yicha umumlashtirish mumkin ${displaystyle f (z) = 1, g (z) = z ^ {k}}$ k> 1 butun son uchun.^[3] Bundan tashqari, uni yuqori o'lchamlarga umumlashtirish mumkin; Enneperga o'xshash sirtlar mavjud bo'lganligi ma'lum ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ n uchun 7 gacha.^[7]

Adabiyotlar

Tashqi havolalar

• "Enneper yuzasi", Matematika entsiklopediyasi, EMS Press, 2001 [1994]
• https://web.archive.org/web/20130501084413/http://www.math.hmc.edu/~gu/curves_and_surfaces/surfaces/enneper.html
• https://web.archive.org/web/20160919231223/https://secure.msri.org/about/sgp/jim/geom/minimal/library/ennepern/index.html