Markazning tenglamasi - Equation of the center

Ob'ektning simulyatsiya qilingan ko'rinishi elliptik orbitadir, dan ko'rinib turganidek diqqat ning orbitada. Ko'rinish "bilan" aylanadi anormallikni anglatadi, shuning uchun ob'ekt bu bilan o'rtacha pozitsiyasi bo'ylab oldinga va orqaga tebranishi ko'rinadi markazning tenglamasi. Ob'ekt tufayli ham uzoqroq va yaqinlashganda kichikroq va kattaroq bo'lib ko'rinadi ekssentriklik orbitaning Marker (qizil) ning holatini ko'rsatadi periapsis.

Yilda ikki tanali, Keplerian orbital mexanika, markazning tenglamasi bu tananing haqiqiy holati orasidagi burchak farqidir elliptik orbitadir va agar uning harakati bir xil bo'lsa, u egallagan pozitsiyani, a dairesel orbit xuddi shu davr. Bu farq sifatida aniqlanadi haqiqiy anomaliya, $ν$ , minus anormallikni anglatadi, $M$ va odatda o'rtacha anomaliyaning funktsiyasini ifodalaydi, $M$ va orbital eksantriklik, $e$ .^[1]

Munozara

Antik davrdan boshlab, samoviy jismlarning harakatlarini bashorat qilish muammosi uni boshqa orbitadagi bitta tanaga qisqartirish orqali soddalashtirildi. Tananing o'z orbitasi atrofidagi holatini hisoblashda ko'pincha aylanma harakatni qabul qilish bilan boshlash qulay. Keyinchalik, bu birinchi taxminiy vaqt miqdori ko'paytiriladigan doimiy burchak tezligi. Elliptik harakat natijasida hosil bo'lgan taxminiy dumaloq holatni to'g'rilash uchun turli xil usullar mavjud, ularning ko'pi murakkab va ko'pchiligini echishni o'z ichiga oladi Kepler tenglamasi. Aksincha, markazning tenglamasini qo'llash eng oson usullardan biridir.

Kichkina holatlarda ekssentriklik, markazning tenglamasi tomonidan berilgan pozitsiya masalani echishning boshqa usullari kabi deyarli aniq bo'lishi mumkin. Tanadagi jismlar kabi ko'plab qiziqish doiralari Quyosh sistemasi yoki sun'iy Yer sun'iy yo'ldoshlar, bu deyarlidairesel orbitalar. Ekssentriklik kattalashib, elliptik orbitada aylanayotganda, tenglamaning aniqligi pasayib, eng yuqori qiymatlarda to'liq ishlamay qoladi, shuning uchun u bunday orbitalar uchun ishlatilmaydi.

Tenglama zamonaviy shaklda har qanday ixtiyoriy aniqlik darajasida kesilishi mumkin va faqat eng muhim atamalar bilan cheklanganda, to'liq aniqlik muhim bo'lmaganida, haqiqiy holatga osonlikcha hisoblangan yaqinlashishni keltirib chiqarishi mumkin. Bunday taxminlardan, masalan, takrorlanadigan echimlar uchun boshlang'ich qiymatlar sifatida foydalanish mumkin Kepler tenglamasi,^[1] yoki ko'tarilish yoki belgilangan vaqtni hisoblashda, atmosfera ta'siridan juda aniqlik bilan oldindan aytib bo'lmaydi.

The qadimgi yunonlar, jumladan Gipparx, kabi markazning tenglamasini bilar edi prostaferez, garchi ularning sayyoralar harakati geometriyasi haqidagi tushunchalari bir xil bo'lmasa ham.^[2] So'z tenglama (Lotin, aequatio, -onis) hozirgi ma'noda keladi astronomiya. Tomonidan ko'rsatilgan va ishlatilgan Kepler, kabi haqiqiy harakatga erishish uchun o'rtacha harakatga qo'shilishi yoki chiqarilishi kerak bo'lgan hisoblash yo'li bilan aniqlanadigan o'zgaruvchan miqdor. Astronomiyada bu atama vaqt tenglamasi shunga o'xshash ma'noga ega.^[3] Markazning zamonaviy shakldagi tenglamasi uning bir qismi sifatida ishlab chiqilgan bezovtalanish tahlil qilish, ya'ni a ta'sirini o'rganish uchinchi tana kuni ikki tanadagi harakat.^[4]^[5]

Seriyani kengaytirish

Maksimal xatosi ketma-ket kengayish markaz tenglamasining, ichida radianlar funktsiyasi sifatida orbital eksantriklik (pastki o'q) va kuch ning e unda ketma-ket qisqartiriladi (o'ng o'q). E'tibor bering, past ekssentriklikda (grafaning chap tomoni) aniq natijalarga erishish uchun ketma-ketlikni yuqori tartibda olib borish shart emas.

Funktsiyasi sifatida markazning ketma-ket kengaytirilgan tenglamasi anormallikni anglatadi har xil uchun ekssentrikliklar, markazning tenglamasi bilan kesilgan e⁷ barcha egri chiziqlar uchun. Qisqartirilgan tenglama yuqori ekssentriklikda bajarilmasligini va tebranuvchi egri chiziq.

Keplerian harakatida tananing koordinatalari har bir orbitada bir xil qiymatlarni qaytaradi, bu a davriy funktsiya. Bunday funktsiyalarni quyidagicha ifodalash mumkin davriy qatorlar doimiy o'zgaruvchan burchak o'zgaruvchisi,^[6] va eng katta qiziqishning o'zgaruvchisi bu anormallikni anglatadi, $M$ . Vaqt o'tishi bilan bir xilda ko'payib borishi sababli, har qanday boshqa o'zgaruvchini o'rtacha anomaliyada qator sifatida ifodalash, uni vaqt jihatidan ifodalash bilan bir xildir. Chunki ekssentriklik, $e$ , orbitaning qiymati kichik, ketma-ketlik koeffitsientlari ning kuchlari bo'yicha ishlab chiqilishi mumkin $e$ .^[5] E'tibor bering, ushbu ketma-ketliklar qisqartirilgan shaklda taqdim etilishi mumkin, ammo ular an yig'indisini bildiradi cheksiz shartlar soni.^[7]

Uchun ketma-ket $ν$ , haqiqiy anomaliya jihatidan eng qulay tarzda ifodalanishi mumkin $M$ , $e$ va Bessel funktsiyalari birinchi turdagi,^[8]

{ displaystyle nu = M + 2 sum _ {s = 1} ^ { infty} { frac {1} {s}} left {J_ {s} (se) + sum _ {p = 1} ^ { infty} beta ^ {p} chap [J_ {sp} (se) + J_ {s + p} (se) right] right } sin sM,}

qayerda

{ displaystyle J_ {n} (se)}

ular Bessel funktsiyalari va

{ displaystyle beta = { frac {1} {e}} chap (1 - { sqrt {1-e ^ {2}}} o'ng).}

^[9]

Natijada radianlar.

Bessel funktsiyalari quyidagi vakolatlarda kengaytirilishi mumkin $x$ tomonidan,^[10]

{ displaystyle J_ {n} (x) = { frac {1} {n!}} chap ({ frac {x} {2}} o'ng) ^ {n} sum _ {m = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {m} { frac { chap ({ frac {x} {2}} o'ng) ^ {2m}} {m! prod _ {k = 1} ^ {m} (n + k)}}}

va $β m$ tomonidan,^[11]

{ displaystyle beta ^ {m} = chap ({ frac {e} {2}} o'ng) ^ {m} left [1 + m sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(2n + m-1)!} {n! (n + m)!}} chap ({ frac {e} {2}} right) ^ {2n} right].}

O'rniga qo'yish va kamaytirish, uchun tenglama $ν$ bo'ladi (buyurtma bo'yicha qisqartiriladi $e 7$ ),^[8]

{ displaystyle { begin {aligned} nu = M & + left (2e - { frac {1} {4}} e ^ {3} + { frac {5} {96}} e ^ {5} + { frac {107} {4608}} e ^ {7} o'ng) sin M & {} + chap ({ frac {5} {4}} e ^ {2} - { frac {11} {24}} e ^ {4} + { frac {17} {192}} e ^ {6} right) sin 2M & {} + left ({ frac {13} {) 12}} e ^ {3} - { frac {43} {64}} e ^ {5} + { frac {95} {512}} e ^ {7} right) sin 3M & { } + chap ({ frac {103} {96}} e ^ {4} - { frac {451} {480}} e ^ {6} o'ng) sin 4M & {} + chap ({ frac {1097} {960}} e ^ {5} - { frac {5957} {4608}} e ^ {7} right) sin 5M & {} + { frac {1223} {960}} e ^ {6} sin 6M + { frac {47273} {32256}} e ^ {7} sin 7M + cdots end {hizalangan}}}

va ta'rifi bo'yicha harakatlanuvchi $M$ chap tomonga,

${ displaystyle nu -M = chap (2e - { frac {1} {4}} e ^ {3} + { frac {5} {96}} e ^ {5} + { frac {107 } {4608}} e ^ {7} right) sin M + cdots}$

markazning tenglamasini beradi.

Ushbu tenglama ba'zida muqobil usulda olinadi va ning kuchlari bo'yicha taqdim etiladi $e$ funktsiyalaridagi koeffitsientlar bilan $gunoh M$ (buyurtma bo'yicha qisqartirildi $e 6$ ),

{ displaystyle { begin {aligned} nu = M & {} + 2e sin M + { frac {5} {4}} e ^ {2} sin 2M & {} + { frac {e ^ {3}} {12}} (13 sin 3M-3 sin M) & {} + { frac {e ^ {4}} {96}} (103 sin 4M-44 sin 2M) & {} + { frac {e ^ {5}} {960}} (1097 sin 5M-645 sin 3M + 50 sin M) & {} + { frac {e ^ {6 }} {960}} (1223 sin 6M-902 sin 4M + 85 sin 2M) + cdots end {hizalangan}}}

bu yuqoridagi shakl bilan bir xil.^[12]^[13]

Kichik uchun $e$ , ketma-ket tezlik bilan yaqinlashadi. Agar $e$ 0,6627 ... dan oshsa, u ba'zi qiymatlari uchun ajralib chiqadi $M$ , birinchi tomonidan kashf etilgan Per-Simon Laplas.^[12]^[14]

Misollar

	orbital eksantriklik^[15]	markazning maksimal tenglamasi (ketma-ketlik ko'rsatilganidek kesilgan)
	orbital eksantriklik^[15]	e⁷	e³	e²
Venera	0.006777	0.7766°	0.7766°	0.7766°
Yer	0.01671	1.915°	1.915°	1.915°
Saturn	0.05386	6.174°	6.174°	6.186°
Mars	0.09339	10.71°	10.71°	10.77°
Merkuriy	0.2056	23.68°	23.77°	23.28°

Shuningdek qarang

Adabiyotlar

^ ^a ^b Vallado, Devid A. (2001). Astrodinamika asoslari va qo'llanilishi (ikkinchi nashr). Microcosm Press, El Segundo, Kaliforniya p. 82. ISBN 1-881883-12-4.
^ Narrien, Jon (1833). Astronomiyaning kelib chiqishi va taraqqiyoti to'g'risida tarixiy hisobot. Bolduin va Kredok, London. pp.230 –231.
^ Kapderu, Mishel (2005). Sun'iy yo'ldoshlar Orbitalar va Missiyalar. Springer-Verlag. p.23. ISBN 978-2-287-21317-5.
^ Moulton, Forest Ray (1914). Osmon mexanikasiga kirish (ikkinchi qayta ishlangan tahrir). Macmillan Co., Nyu-York. p. 165., da Google kitoblari
^ ^a ^b Smart, W. M. (1953). Osmon mexanikasi. Longmans, Green and Co., London. p. 26.
^ Bruver, Dirk; Klemens, Jerald M. (1961). Osmon mexanikasi usullari. Academic Press, Nyu-York va London. p.60.
^ Vallado, Devid A. (2001). p. 80
^ ^a ^b Bruver, Dirk; Klemens, Jerald M. (1961). p. 77.
^ Bruver, Dirk; Klemens, Jerald M. (1961). p. 62.
^ Bruver, Dirk; Klemens, Jerald M. (1961). p. 68.
^ Smart, W. M. (1953). p. 32.
^ ^a ^b Moulton, Forest Ray (1914). 171–172 betlar.
^ Danbi, JM.A. (1988). Osmon mexanikasi asoslari. Willmann-Bell, Inc., Richmond, VA. 199-200 betlar. ISBN 0-943396-20-4.
^ Plummer, H. C. (1918). Dinamik astronomiya bo'yicha kirish risolasi. Kembrij universiteti matbuoti. pp.46 –47.
^ Zaydelmann, P. Kennet; Urban, Shon E., nashr. (2013). Astronomik almanaxga izohli qo'shimcha (3-nashr). Universitetning ilmiy kitoblari, Mill Vodiysi, Kaliforniya. p. 338. ISBN 978-1-891389-85-6.

Qo'shimcha o'qish

Mart, A. (1890). O'rtacha eksantrikliklarning elliptik orbitalarida markaz tenglamasini hisoblash to'g'risida. Qirollik Astronomiya Jamiyatining oylik xabarnomalari, jild. 50, p. 502. Markazning tenglamasini buyurtma bo'yicha beradi e¹⁰.
Morrison, J. (1883). Eksantrik anomaliyani hisoblashda, o'rtacha anomaliya va ekssentriklik nuqtai nazaridan sayyora markazi va radius vektorining tenglamasi. Qirollik Astronomiya Jamiyatining oylik xabarnomalari, jild. 43, p. 345. Markazning tenglamasini buyurtma bo'yicha beradi e¹².
Morrison, J. (1883). Errata. Qirollik Astronomiya Jamiyatining oylik xabarnomalari, jild. 43, p. 494.

[Vallado82-1] Vallado, Devid A. (2001). Astrodinamika asoslari va qo'llanilishi (ikkinchi nashr). Microcosm Press, El Segundo, Kaliforniya p. 82. ISBN 1-881883-12-4.

[2] Narrien, Jon (1833). Astronomiyaning kelib chiqishi va taraqqiyoti to'g'risida tarixiy hisobot. Bolduin va Kredok, London. pp.230 –231.

[3] Kapderu, Mishel (2005). Sun'iy yo'ldoshlar Orbitalar va Missiyalar. Springer-Verlag. p.23. ISBN 978-2-287-21317-5.

[4] Moulton, Forest Ray (1914). Osmon mexanikasiga kirish (ikkinchi qayta ishlangan tahrir). Macmillan Co., Nyu-York. p. 165., da Google kitoblari

[Smart26-5] Smart, W. M. (1953). Osmon mexanikasi. Longmans, Green and Co., London. p. 26.

[6] Bruver, Dirk; Klemens, Jerald M. (1961). Osmon mexanikasi usullari. Academic Press, Nyu-York va London. p.60.

[7] Vallado, Devid A. (2001). p. 80

[B&C77-8] Bruver, Dirk; Klemens, Jerald M. (1961). p. 77.

[9] Bruver, Dirk; Klemens, Jerald M. (1961). p. 62.

[10] Bruver, Dirk; Klemens, Jerald M. (1961). p. 68.

[11] Smart, W. M. (1953). p. 32.

[Moulton171-12] Moulton, Forest Ray (1914). 171–172 betlar.

[13] Danbi, JM.A. (1988). Osmon mexanikasi asoslari. Willmann-Bell, Inc., Richmond, VA. 199-200 betlar. ISBN 0-943396-20-4.

[14] Plummer, H. C. (1918). Dinamik astronomiya bo'yicha kirish risolasi. Kembrij universiteti matbuoti. pp.46 –47.

[15] Zaydelmann, P. Kennet; Urban, Shon E., nashr. (2013). Astronomik almanaxga izohli qo'shimcha (3-nashr). Universitetning ilmiy kitoblari, Mill Vodiysi, Kaliforniya. p. 338. ISBN 978-1-891389-85-6.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]