Eyler tenglamalari (qattiq tana dinamikasi) - Eulers equations (rigid body dynamics)

Serialning bir qismi
Klassik mexanika
${ displaystyle { textbf {F}} = { frac {d} {dt}} (m { textbf {v}})}$ Harakatning ikkinchi qonuni
Tarix Xronologiya Darsliklar
Filiallar Amaliy Samoviy Davom etish Dinamika Kinematika Kinetika Statika Statistik
Asoslari Tezlashtirish Burchak impulsi Juftlik D'Alembert printsipi Energiya kinetik salohiyat Majburlash Malumot doirasi Inersial mos yozuvlar tizimi Impuls Atalet  / Atalet momenti Massa Mexanik quvvat Mexanik ish Lahza Momentum Bo'shliq Tezlik Vaqt Tork Tezlik Virtual ish
Formülasyonlar Nyuton harakat qonunlari Analitik mexanika Lagranj mexanikasi Hamilton mexanikasi Routhian mexanikasi Gemilton-Jakobi tenglamasi Appellning harakat tenglamasi Koopman-von Neyman mexanikasi
Asosiy mavzular Sönümleme nisbati Ko'chirish Harakat tenglamalari Eylerning harakat qonunlari Xayoliy kuch Ishqalanish Harmonik osilator Inersial  / Inersial bo'lmagan ma'lumotnoma tizimi Planar zarralar harakati mexanikasi Harakat  (chiziqli ) Nyutonning butun olam tortishish qonuni Nyuton harakat qonunlari Nisbiy tezlik Qattiq tanasi dinamikasi Eyler tenglamalari Oddiy garmonik harakat Tebranish
Qaytish Dumaloq harakat Qaytib mos yozuvlar tizimi Markazga yo'naltirilgan kuch Santrifüj kuch reaktiv Koriolis kuchi Mayatnik Tangensial tezlik Aylanish tezligi Burchakli tezlanish  / ko'chirish  / chastota  / tezlik
Olimlar Kepler Galiley Gyuygens Nyuton Horrocks Xelli Daniel Bernulli Yoxann Bernulli Eyler d'Alembert Klerot Lagranj Laplas Xemilton Poisson Koshi Routh Liovil Appell Gibbs Kupman fon Neyman
Kategoriyalar ► Klassik mexanika

Yilda klassik mexanika, Eylerning aylanish tenglamalari vektorli kvazilineardir birinchi darajali oddiy differentsial tenglama a ning aylanishini tavsiflovchi qattiq tanasi yordamida aylanadigan mos yozuvlar ramkasi o'qlari tanaga mahkamlangan va tanaga parallel bo'lgan holda asosiy harakatsizlik o'qlari. Ularning umumiy shakli:

${ displaystyle mathbf {I} { dot { boldsymbol { omega}}} + { boldsymbol { omega}} times left ( mathbf {I} { boldsymbol { omega}} right) = mathbf {M}.}$

qayerda M qo'llaniladi torklar, Men bo'ladi inersiya matritsasi, va ω bu burchak tezligi asosiy o'qlar haqida.

Uch o'lchovli asosiy ortogonal koordinatalar, ular:

${ displaystyle { begin {aligned} I_ {1} { dot { omega}} _ {1} + (I_ {3} -I_ {2}) omega _ {2} omega _ {3} & = M_ {1} I_ {2} { dot { omega}} _ {2} + (I_ {1} -I_ {3}) omega _ {3} omega _ {1} & = M_ {2} I_ {3} { dot { omega}} _ {3} + (I_ {2} -I_ {1}) omega _ {1} omega _ {2} & = M_ {3 } end {hizalangan}}}$

qayerda M_k qo'llaniladigan momentlarning tarkibiy qismlari, Men_k ular asosiy harakatsizlik momentlari va ω_k asosiy o'qlarga nisbatan burchak tezligining tarkibiy qismlari.

Motivatsiya va xulosa

Boshlash Nyutonning ikkinchi qonuni, an inersial mos yozuvlar tizimi ("in" ga obuna bo'lgan), the vaqt hosilasi ning burchak momentum L qo'llaniladiganga teng moment

${ displaystyle { frac {d mathbf {L} _ { text {in}}} {dt}} { stackrel { mathrm {def}} {=}} { frac {d} {dt }} left ( mathbf {I} _ { text {in}} { boldsymbol { omega}} right) = mathbf {M} _ { text {in}}}$

qayerda Men_yilda bo'ladi harakatsizlik momenti tensor inersiya doirasida hisoblangan. Garchi ushbu qonun hamma uchun to'g'ri bo'lsa-da, har doim ham umumiy aylanadigan qattiq jismning harakatini hal qilishda yordam beravermaydi, chunki ikkalasi ham Men_yilda va ω harakat paytida o'zgarishi mumkin.

Shuning uchun biz aylanadigan korpusga o'rnatilgan koordinata ramkasiga o'tamiz va uning o'qlari asosiy o'qlariga to'g'ri keladigan qilib tanlaymiz. harakatsizlik momenti tensor. Ushbu ramkada hech bo'lmaganda inersiya momenti doimiy (va diagonal) bo'lib, hisob-kitoblarni soddalashtiradi. Da tasvirlanganidek harakatsizlik momenti, burchak momentum L yozilishi mumkin

${ displaystyle mathbf {L} { stackrel { mathrm {def}} {=}} L_ {1} mathbf {e} _ {1} + L_ {2} mathbf {e} _ {2 } + L_ {3} mathbf {e} _ {3} = I_ {1} omega _ {1} mathbf {e} _ {1} + I_ {2} omega _ {2} mathbf {e } _ {2} + I_ {3} omega _ {3} mathbf {e} _ {3}}$

qayerda M_k, Men_k va ω_k yuqoridagi kabi.

A aylanuvchi mos yozuvlar doirasi, vaqt hosilasi bilan almashtirilishi kerak (qarang. qarang aylanuvchi mos yozuvlar tizimidagi vaqt hosilasi )

${ displaystyle chap ({ frac {d mathbf {L}} {dt}} o'ng) _ { mathrm {rot}} + { boldsymbol { omega}} times mathbf {L} = mathbf {M}}$

bu erda "chirigan" pastki belgisi uning aylanuvchi mos yozuvlar tizimida olinganligini bildiradi. Aylanadigan va inersial ramkalardagi momentning ifodalari quyidagilar bilan bog'liq

${ displaystyle mathbf {M} _ { text {in}} = mathbf {Q} mathbf {M},}$

qayerda Q burilish tensori (emas aylanish matritsasi ), an ortogonal tensor tomonidan burchak tezlik vektori bilan bog'liq

${ displaystyle { boldsymbol { omega}} times { boldsymbol {v}} = { dot { mathbf {Q}}} mathbf {Q} ^ {- 1} { boldsymbol {v}}}$

har qanday vektor uchun v.

Umuman, L = Iω o'rnini bosadi va inersiya tensori va shu bilan birga asosiy momentlar ham vaqtga bog'liq emasligini anglab, vaqt hosilalari olinadi. Bu Eyler tenglamalarining umumiy vektor shakliga olib keladi

${ displaystyle mathbf {I} { dot { boldsymbol { omega}}} + { boldsymbol { omega}} times left ( mathbf {I} { boldsymbol { omega}} right) = mathbf {M}.}$

Agar asosiy o'qning aylanishi bo'lsa

${ displaystyle L_ {k} { stackrel { mathrm {def}} {=}} I_ {k} omega _ {k}}$

almashtiriladi va undan keyin olinadi o'zaro faoliyat mahsulot va asosiy momentlar vaqt o'tishi bilan o'zgarmasligidan foydalanib, biz maqolaning boshida Eyler tenglamalariga tarkibiy qismlarda kelamiz.

Torksiz echimlar

Uchun RHSlar nolga teng bo'lgan ahamiyatsiz echimlar mavjud: momentsiz oldingi. O'shandan beri e'tibor bering Men doimiy (chunki inersiya tensori 3 × 3 ga teng diagonal matritsa (oldingi qismga qarang), chunki biz ichki ramkada ishlaymiz yoki tork aylanishni bir xil eksa atrofida boshqaradi ${ displaystyle mathbf { hat {n}}}$ Shuning uchun; ... uchun; ... natijasida Men o'zgarmaydi) keyin yozishimiz mumkin

${ displaystyle mathbf {M} { stackrel { mathrm {def}} {=}} I { frac {d omega} {dt}} mathbf { hat {n}} = I alfa , mathbf { hat {n}}}$

qayerda

a deyiladi burchakli tezlanish (yoki aylanma tezlanish) aylanish o'qi haqida ${ displaystyle mathbf { hat {n}}}$.

Ammo, agar Men tashqi mos yozuvlar tizimida doimiy emas (ya'ni tanasi harakat qiladi va uning inertsiya tenzori doimo diagonali emas), keyin biz Men tashqarida lotin. Bunday holda bizda bo'ladi momentsiz prekretsiya, shunday qilib Men(t) va ω(t) ularning hosilasi nolga teng bo'lishi uchun birgalikda o'zgaradi. Ushbu harakatni ingl Poinsot qurilishi.

Umumlashtirish

Agar o'qlar bo'lsa, bu tenglamalardan foydalanish ham mumkin

${ displaystyle chap ({ frac {d mathbf {L}} {dt}} o'ng) _ { mathrm {nisbatan}}}$

tanaga ulanmaganligi tasvirlangan. Keyin ω tanani aylantirish o'rniga o'qlarning aylanishi bilan almashtirish kerak. Biroq, tanlangan o'qlar hali ham asosiy inertsiya o'qlari bo'lishi talab qilinadi. Eyler tenglamalarining ushbu shakli aylanishning nosimmetrik ob'ektlari uchun foydalidir, bu ba'zi bir asosiy aylanish o'qlarini erkin tanlashga imkon beradi.

Shuningdek qarang

• Eylerning burchaklari
• Janibekov ta'siri
• Atalet momenti
• Poinsot qurilishi
• Qattiq rotor

Adabiyotlar

• C. A. Truesdell, III (1991) Ratsional uzluksiz mexanikaning birinchi kursi. Vol. 1: umumiy tushunchalar, 2-nashr, Academic Press. ISBN  0-12-701300-8. Sektalar. I.8-10.
• C. A. Truesdell, III va R. A. Toupin (1960) Klassik dala nazariyalari, S. Flyuzda (tahr.) Fizika ensiklopediyasi. Vol. III / 1: Klassik mexanika asoslari va dala nazariyasi, Springer-Verlag. Sektalar. 166–168, 196–197 va 294 yillarda.
• Landau L.D. va Lifshitz E.M. (1976) Mexanika, 3-chi. ed., Pergamon Press. ISBN  0-08-021022-8 (qattiq qopqoqli) va ISBN  0-08-029141-4 (yumshoq qopqoq).
• Goldstein H. (1980) Klassik mexanika, 2-nashr, Addison-Uesli. ISBN  0-201-02918-9
• Symon KR. (1971) Mexanika, 3-chi. ed., Addison-Uesli. ISBN  0-201-07392-7