Aniq diagonalizatsiya - Exact diagonalization

Aniq diagonalizatsiya (ED) - ishlatiladigan raqamli texnik fizika ni aniqlash uchun o'z davlatlari va energiya o'zgacha qiymatlar kvantning Hamiltoniyalik. Ushbu texnikada diskret, cheklangan tizim uchun Gamiltonian matritsa shaklida va diagonallashtirilgan kompyuterdan foydalanish. To'liq diagonalizatsiya faqat bir necha o'nlab zarrachalarga ega tizimlar uchun mumkin, chunki Hilbert maydoni kvant tizimining kattaligi bilan o'lchov. Tez-tez panjara modellarini, shu jumladan Xabbard modeli, Ising modeli, Heisenberg modeli, t-J model va SYK modeli.^[1]^[2]

To'liq diagonalizatsiyadan kutish qiymatlari

O'ziga xos davlatlarni aniqlagandan so'ng ${ displaystyle | n rangle}$ va energiya ${ displaystyle epsilon _ {n}}$ Berilgan Hamiltonning aniq diagonalizatsiyasidan kuzatiladigan narsalarning kutish qiymatlarini olish uchun foydalanish mumkin. Masalan, agar ${ displaystyle { mathcal {O}}}$ kuzatiladigan, uning termal kutish qiymati bu

{ displaystyle langle { mathcal {O}} rangle = { frac {1} {Z}} sum _ {n} e ^ {- beta epsilon _ {n}} langle n | { matematik {O}} | n rangle,}

qayerda ${ displaystyle Z = sum _ {n} e ^ {- beta epsilon _ {n}}}$ bo'ladi bo'lim funktsiyasi. Agar kuzatiladigan narsa muammo uchun dastlabki asosda yozilishi mumkin bo'lsa, unda bu yig'indini xususiy davlatlar bazasiga o'tkazgandan keyin baholash mumkin.

Yashilning vazifalari xuddi shunday baholanishi mumkin. Masalan, kechiktirilgan Green funktsiyasi ${ displaystyle G ^ {R} (t) = - i theta (t) langle [A (t), B (0)] rangle}$ yozilishi mumkin

{ displaystyle G ^ {R} (t) = - { frac {i theta (t)} {Z}} sum _ {n, m} left (e ^ {- beta epsilon _ {n }} - e ^ {- beta epsilon _ {m}} o'ng) langle n | A (0) | m rangle langle m | B (0) | n rangle e ^ {- i ( epsilon _ {m} - epsilon _ {n}) t / hbar}.}

To'g'ri diagonalizatsiya yordamida söndürmeden keyin tizimning vaqt evolyutsiyasini aniqlash uchun ham foydalanish mumkin. Aytaylik, tizim dastlabki holatda tayyorlangan ${ displaystyle | psi rangle}$ va keyin vaqt uchun ${ displaystyle t> 0}$ yangi Hamiltoniyalik ostida rivojlanadi, ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ . Vaqtdagi davlat ${ displaystyle t}$ bu

{ displaystyle | psi (t) rangle = sum _ {n} e ^ {- i epsilon _ {n} t / hbar} langle n | psi (0) rangle | n rangle. }

Xotira talablari

Kvant tizimining miqyosini tavsiflovchi Hilbert fazosining o'lchovi tizim kattaligi bilan eksponent ravishda. Masalan, ning tizimini ko'rib chiqing ${ displaystyle N}$ sobit panjara joylarida lokalize qilingan spinlar. Saytdagi o'lcham 2 ga teng, chunki har bir spinning holatini spin-up va spin-pastga superpozitsiyasi deb ta'riflash mumkin. ${ displaystyle left | uparrow right rangle}$ va ${ displaystyle left | downarrow right rangle}$ . To'liq tizim o'lchovga ega ${ displaystyle 2 ^ {N}}$ va matritsa sifatida ko'rsatilgan Hamiltonian o'lchamiga ega ${ displaystyle 2 ^ {N} times 2 ^ {N}}$ . Bu shuni anglatadiki, hisoblash diagonalizatsiyasida hisoblash vaqti va xotiraga bo'lgan talablar juda noqulay. Amalda, muammoning simmetriyasidan foydalanish, saqlash qonunlarini joriy qilish va ular bilan ishlash orqali xotira talablarini kamaytirish mumkin siyrak matritsalar yoki boshqa usullardan foydalanish.

Kompyuterda bajarilgan spin-½ tizimining aniq diagonalizatsiyasida xotira talablari uchun sodda hisob-kitoblar. Hamiltonian matritsasi sifatida saqlangan deb taxmin qilinadi ikki aniqlikdagi suzuvchi nuqta raqamlar.
Saytlar soni	Shtatlar soni	Xotiradagi gamiltoniya kattaligi
4	16	2048 B
9	512	2 MB
16	65536	34 GB
25	33554432	9 PB
36	6.872e10	40 ZB

Boshqa texnikalar bilan taqqoslash

To'liq diagonalizatsiya cheklangan tizimlar to'g'risida aniq ma'lumot olish uchun foydalidir. Biroq, ko'pincha kichik tizimlar cheksiz panjara tizimlari haqida tushuncha olish uchun o'rganiladi. Agar diagonallashtirilgan tizim juda kichik bo'lsa, uning xususiyatlari tizimdagi xususiyatlarni aks ettirmaydi termodinamik chegara, va simulyatsiya cheklangan o'lchamdagi ta'sirlardan aziyat chekishi aytiladi.

Kabi ba'zi bir aniq nazariya texnikalaridan farqli o'laroq Monte-Karlo yordamchi maydoni, aniq diagonalizatsiya, aksincha Grinning funktsiyalarini to'g'ridan-to'g'ri real vaqtda oladi xayoliy vaqt. Ushbu boshqa texnikalardan farqli o'laroq, aniq diagonalizatsiya natijalari raqamli bo'lishi shart emas analitik ravishda davom etdi. Bu afzallik, chunki raqamli analitik davom etish noto'g'ri va qiyin optimallashtirish muammosi hisoblanadi.^[3]

Ilovalar

Nopoklikni hal qiluvchi sifatida ishlatilishi mumkin Dinamik o'rtacha-maydon nazariyasi texnikalar.^[4]

Sonli o'lchovlar bilan birlashganda, taxmin qilish asosiy holat energiya va tanqidiy ko'rsatkichlar 1D ning transvers-maydon Ising modeli.^[5]

2D ning turli xil xususiyatlarini o'rganish Heisenberg modeli magnit maydonda, shu jumladan antiferromagnetizm va spin-to'lqin tezligi.^[6]

2D Hubbard modelining Dude vaznini o'rganish.^[7]

Vaqtdan tashqari korrelyatsiyalarni (OTOC) o'rganish va SYK modelida chalkashliklarni o'rganish.^[8]

O'zaro bog'liq bo'lgan materiallarning rezonansli rentgen spektrlarini simulyatsiya qilish.^[9]

Amaliyotlar

Hamiltoniyaliklarning kvantlarini aniq diagonalizatsiyasini amalga oshiradigan ko'plab dasturiy ta'minot to'plamlari mavjud. Bunga quyidagilar kiradi QuSpin, ALPS, DoQo, EdLib, edrixs va boshqalar.

Umumlashtirish

Ko'pgina kichik klasterlardan aniq diagonalizatsiya natijalarini birlashtirib, termodinamik chegaradagi tizimlar to'g'risida aniqroq ma'lumot olish mumkin. raqamli bog'langan klasterni kengaytirish.^[10]

Shuningdek qarang

Lanczos algoritmi

Adabiyotlar

^ ^a ^b Vayse, Aleksandr; Fehske, Xolger (2008). "Diagonalizatsiya qilishning aniq usullari". Hisoblash ko'p zarrachalar fizikasi. Fizikadan ma'ruza matnlari. 739. Springer. 529-544 betlar. doi:10.1007/978-3-540-74686-7_18. ISBN 978-3-540-74685-0.
^ ^a ^b Prelovšek, Piter (2017). "Lanczosning so'nggi harorat usuli va uning qo'llanilishi". O'zaro bog'liq izolyatorlar, metallar va supero'tkazuvchilar fizikasi. Modellashtirish va simulyatsiya. 7. Forschungszentrum Julich. ISBN 978-3-95806-224-5.
^ Bergeron, Dominik; Tremblay, A.-M. S. (2016 yil 5-avgust). "Analitik davom ettirish uchun optimallashtirilgan maksimal entropiya va diagnostika vositalari algoritmlari". Jismoniy sharh E. 94 (2). arXiv:1507.01012. doi:10.1103 / PhysRevE.94.023303.
^ Medvedeva, Daryo; Iskakov, Sergey; Krien, Fridrix; Mazurenko, Vladimir V.; Lixtenshteyn, Aleksandr I. (2017 yil 29-dekabr). "Kengaytirilgan dinamik va o'rtacha maydon nazariyasi uchun aniq diagonalizatsiya echimi". Jismoniy sharh B. 96 (23). arXiv:1709.09176. doi:10.1103 / PhysRevB.96.235149.
^ Xamer, C. J .; Barber, M. N. (1981 yil 1-yanvar). "Gambilton maydonlari nazariyasining kvantli-panjarali usullari. I. Ising modeli". Fizika jurnali A: matematik va umumiy. 14 (1): 241–257. doi:10.1088/0305-4470/14/1/024.
^ Lyuscher, Andreas; Läuchli, Andreas M. (2009 yil 5-may). "Antiferromagnitik spin-1/2 Heisenberg modelini magnit maydonidagi kvadrat panjarada aniq diagonalizatsiya bo'yicha o'rganish". Jismoniy sharh B. 79 (19). arXiv:0812.3420. doi:10.1103 / PhysRevB.79.195102.
^ Nakano, Xiroki; Takaxashi, Yoshinori; Imada, Masatoshi (2007 yil 15 mart). "Ikki o'lchovli Hubard modelining og'irligi - aniq diagonalizatsiya tadqiqotida cheklangan o'lchov ta'sirini qayta tekshirish -". Yaponiya jismoniy jamiyati jurnali. 76 (3): 034705. arXiv:kond-mat / 0701735. doi:10.1143 / JPSJ.76.034705.
^ Fu, Venbo; Sachdev, Subir (2016 yil 15-iyul). "Cheksiz diapazonli o'zaro ta'sirga ega bo'lgan fermion va bozon modellarini sonli o'rganish". Jismoniy sharh B. 94 (3). arXiv:1603.05246. doi:10.1103 / PhysRevB.94.035135.
^ Vang, Y .; Fabbris, G.; Dekan, M.P.M; Kotliar, G. (2019). EDRIXS: rezonansli elastik bo'lmagan rentgen nurlanishining spektrlarini simulyatsiya qilish uchun ochiq manbali vositalar to'plami.. 243. Kompyuter fizikasi aloqalari. 151-165 betlar. arXiv:1812.05735. doi:10.1016 / j.cpc.2019.04.018.
^ Tang, Baoming; Xatami, Ehsan; Rigol, Markos (2013 yil mart). "Raqamli bog'langan-klasterli kengayishlarga qisqacha kirish". Kompyuter fizikasi aloqalari. 184 (3): 557–564. arXiv:1207.3366. doi:10.1016 / j.cpc.2012.10.008.

Tashqi havolalar

Bu fizika bilan bog'liq maqola a naycha. Siz Vikipediyaga yordam berishingiz mumkin uni kengaytirish.

[book_edch18-1] Vayse, Aleksandr; Fehske, Xolger (2008). "Diagonalizatsiya qilishning aniq usullari". Hisoblash ko'p zarrachalar fizikasi. Fizikadan ma'ruza matnlari. 739. Springer. 529-544 betlar. doi:10.1007/978-3-540-74686-7_18. ISBN 978-3-540-74685-0.

[lanczos_bookch-2] Prelovšek, Piter (2017). "Lanczosning so'nggi harorat usuli va uning qo'llanilishi". O'zaro bog'liq izolyatorlar, metallar va supero'tkazuvchilar fizikasi. Modellashtirish va simulyatsiya. 7. Forschungszentrum Julich. ISBN 978-3-95806-224-5.

[3] Bergeron, Dominik; Tremblay, A.-M. S. (2016 yil 5-avgust). "Analitik davom ettirish uchun optimallashtirilgan maksimal entropiya va diagnostika vositalari algoritmlari". Jismoniy sharh E. 94 (2). arXiv:1507.01012. doi:10.1103 / PhysRevE.94.023303.

[4] Medvedeva, Daryo; Iskakov, Sergey; Krien, Fridrix; Mazurenko, Vladimir V.; Lixtenshteyn, Aleksandr I. (2017 yil 29-dekabr). "Kengaytirilgan dinamik va o'rtacha maydon nazariyasi uchun aniq diagonalizatsiya echimi". Jismoniy sharh B. 96 (23). arXiv:1709.09176. doi:10.1103 / PhysRevB.96.235149.

[5] Xamer, C. J .; Barber, M. N. (1981 yil 1-yanvar). "Gambilton maydonlari nazariyasining kvantli-panjarali usullari. I. Ising modeli". Fizika jurnali A: matematik va umumiy. 14 (1): 241–257. doi:10.1088/0305-4470/14/1/024.

[6] Lyuscher, Andreas; Läuchli, Andreas M. (2009 yil 5-may). "Antiferromagnitik spin-1/2 Heisenberg modelini magnit maydonidagi kvadrat panjarada aniq diagonalizatsiya bo'yicha o'rganish". Jismoniy sharh B. 79 (19). arXiv:0812.3420. doi:10.1103 / PhysRevB.79.195102.

[7] Nakano, Xiroki; Takaxashi, Yoshinori; Imada, Masatoshi (2007 yil 15 mart). "Ikki o'lchovli Hubard modelining og'irligi - aniq diagonalizatsiya tadqiqotida cheklangan o'lchov ta'sirini qayta tekshirish -". Yaponiya jismoniy jamiyati jurnali. 76 (3): 034705. arXiv:kond-mat / 0701735. doi:10.1143 / JPSJ.76.034705.

[8] Fu, Venbo; Sachdev, Subir (2016 yil 15-iyul). "Cheksiz diapazonli o'zaro ta'sirga ega bo'lgan fermion va bozon modellarini sonli o'rganish". Jismoniy sharh B. 94 (3). arXiv:1603.05246. doi:10.1103 / PhysRevB.94.035135.

[9] Vang, Y .; Fabbris, G.; Dekan, M.P.M; Kotliar, G. (2019). EDRIXS: rezonansli elastik bo'lmagan rentgen nurlanishining spektrlarini simulyatsiya qilish uchun ochiq manbali vositalar to'plami.. 243. Kompyuter fizikasi aloqalari. 151-165 betlar. arXiv:1812.05735. doi:10.1016 / j.cpc.2019.04.018.

[10] Tang, Baoming; Xatami, Ehsan; Rigol, Markos (2013 yil mart). "Raqamli bog'langan-klasterli kengayishlarga qisqacha kirish". Kompyuter fizikasi aloqalari. 184 (3): 557–564. arXiv:1207.3366. doi:10.1016 / j.cpc.2012.10.008.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]