Kengaytirilgan topologiya - Extension topology

Yilda topologiya, matematikaning bir bo'limi, an kengaytma topologiyasi a topologiya ustiga joylashtirilgan uyushmagan birlashma a topologik makon va boshqasi o'rnatilgan. Quyidagi bo'limlarda tasvirlangan kengaytma topologiyasining har xil turlari mavjud.

Kengaytma topologiyasi

Ruxsat bering X topologik makon bo'ling va P dan ajratilgan to'plam X. O'ylab ko'ring X ∪ P ochiq to'plamlari shaklga ega bo'lgan topologiya A ∪ Q, qayerda A ochiq to'plamidir X va Q ning pastki qismi P.

Ning yopiq to'plamlari X ∪ P shakldadir B ∪ Q, qayerda B ning yopiq to'plami X va Q ning pastki qismi P.

Shu sabablarga ko'ra ushbu topologiya "deb nomlanadi kengaytma topologiyasi ning X ortiqcha P, qaysi biri bilan kengaytiriladi X ∪ P ning ochiq va yopiq to'plamlari X. Ning pastki to'plamlari sifatida X ∪ P The subspace topologiyasi ning X ning asl topologiyasi X, subspace topologiyasi esa P bo'ladi diskret topologiya. Topologik makon sifatida X ∪ P ga homomorfdir topologik summa ning X va Pva X a klopen pastki qismi ning X ∪ P.

Agar Y topologik makon va R ning pastki qismi Y, kengaytma topologiyasi haqida so'rash mumkin Y - R ortiqcha R ning asl topologiyasi bilan bir xil Yva javob umuman yo'q.

Ushbu kengaytma topologiyasining qurilishi va o'xshashligiga e'tibor bering Alexandroff bir nuqtali kompaktizatsiya, bu holda, topologik makonga ega bo'lish X qaysi biri cheksizlikda point nuqtasini qo'shib ixchamlashtirishni istasa, yopiq to'plamlarni ko'rib chiqadi X ∪ {∞} - shaklning to'plamlari K, qayerda K ning yopiq ixcham to'plamidir X, yoki B ∪ {∞}, qaerda B ning yopiq to'plami X.

Kengaytirilgan topologiya

Ruxsat bering X topologik makon bo'ling va P dan ajratilgan to'plam X. O'ylab ko'ring X ∪ P ochiq to'plamlari shaklga ega bo'lgan topologiya X ∪ Q, qayerda Q ning pastki qismi P, yoki A, qayerda A ochiq to'plamidir X.

Shu sababli ushbu topologiya "deb nomlanadi ochiq kengaytma topologiyasi ning X ortiqcha P, qaysi biri bilan kengaytiriladi X ∪ P ning ochiq to'plamlari X. Ning pastki to'plamlari sifatida X ∪ P ning subspace topologiyasi X ning asl topologiyasi X, subspace topologiyasi esa P bu diskret topologiya.

Yopiq to'plamlar X ∪ P quyidagi shaklga ega: Q, qayerda Q ning pastki qismi P, yoki B ∪ P, qayerda B ning yopiq to'plami X. Yozib oling P yopiq X ∪ P va X ochiq va zich X ∪ P.

Agar Y topologik makon va R ning pastki qismi Y, ochiq kengaytma topologiyasi haqida so'rash mumkin Y - R ortiqcha R ning asl topologiyasi bilan bir xil Yva javob umuman yo'q.

Ning kengaytirilgan topologiyasi ekanligini unutmang X ∪ P bu kichikroq ning kengaytirilgan topologiyasidan ko'ra X ∪ P.

Faraz qiling X va P ahamiyatsiz narsalardan qochish uchun bo'sh emas, ochiq kengaytma topologiyasining bir nechta umumiy xususiyatlari:^[1]

• Agar P cheklangan, X ∪ P bu ixcham. Shunday qilib X ∪ P a ixchamlashtirish ning X Shunday bo'lgan taqdirda.
• X ∪ P bu ulangan.
• Agar P bitta nuqta bor, X ∪ P bu juda ulangan.

To'plam uchun Z va nuqta p yilda Z, birini oladi chiqarib tashlangan nuqta topologiyasi inobatga olgan holda qurilish Z alohida topologiyani va ochiq kengaytirilgan topologiyani konstruktsiyasini qo'llashni Z - {p} ortiqcha p.

Yopiq kengaytma topologiyasi

Ruxsat bering X topologik makon bo'ling va P dan ajratilgan to'plam X. O'ylab ko'ring X ∪ P yopiq to'plamlari shaklga ega bo'lgan topologiya X ∪ Q, qayerda Q ning pastki qismi P, yoki B, qayerda B ning yopiq to'plami X.

Shu sababli ushbu topologiya "deb nomlanadi yopiq kengaytma topologiyasi ning X ortiqcha P, qaysi biri bilan kengaytiriladi X ∪ P ning yopiq to'plamlari X. Ning pastki to'plamlari sifatida X ∪ P ning subspace topologiyasi X ning asl topologiyasi X, subspace topologiyasi esa P bu diskret topologiya.

Ning ochiq to'plamlari X ∪ P shakldadir Q, qayerda Q ning pastki qismi P, yoki A ∪ P, qayerda A ochiq to'plamidir X. Yozib oling P ochiq X ∪ P va X yopiq X ∪ P.

Agar Y topologik makon va R ning pastki qismi Y, yopiq kengaytma topologiyasi haqida so'rash mumkin Y - R ortiqcha R ning asl topologiyasi bilan bir xil Yva javob umuman yo'q.

Ning yopiq kengaytirilgan topologiyasini unutmang X ∪ P bu kichikroq ning kengaytirilgan topologiyasidan ko'ra X ∪ P.

To'plam uchun Z va nuqta p yilda Z, birini oladi alohida nuqta topologiyasi inobatga olgan holda qurilish Z alohida topologiyani va yopiq kengaytirilgan topologiyani konstruktsiyasini qo'llash Z - {p} ortiqcha p.

Izohlar

Adabiyotlar

• Stin, Lin Artur; Seebach, J. Artur Jr. (1995) [1978], Topologiyadagi qarshi misollar (Dover 1978 yildagi qayta nashr), Berlin, Nyu-York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-486-68735-3, JANOB  0507446