In matematik nazariyasi norasmiy va kvazikonformal xaritalar, ekstremal uzunlik to'plamining chiziqlar ning o'lchovidir bu konformal xaritalashda o'zgarmasdir. Aniqroq aytaylik bu ochiq to'plamdir murakkab tekislik va bu yo'llarning to'plamidir va konformal xaritalashdir. Keyin ekstremal uzunligi ning tasvirining ekstremal uzunligiga teng ostida . Ulardan biri konformal modul ning , ekstremal uzunlikning o'zaro aloqasi. Ekstremal uzunlik va konformal modul haqiqatdir konformal invariantlar ning ularni konformal va kvaziqonformali xaritalarni o'rganishda foydali vositalarga aylantiradi. Ulardan biri ikkitadan kattaroq o'lchamdagi ekstremal uzunlik bilan ishlaydi metrik bo'shliqlar, ammo quyida asosan ikki o'lchovli parametr haqida gap boradi.
Ekstremal uzunlik ta'rifi
Ekstremal uzunlikni aniqlash uchun avvalo bir nechta bog'liq miqdorlarni kiritishimiz kerak murakkab tekislikda ochiq to'plam bo'ling. Aytaylik ning yig'ilishi tuzatiladigan egri chiziqlar yilda . Agar bu Borelni o'lchash mumkin, keyin har qanday tuzatiladigan egri uchun biz ruxsat berdik
ni belgilang - uzunligi , qayerda belgisini bildiradiEvklid uzunlik elementi. (Bu mumkin .) Bu aslida nimani anglatadi? Agar ba'zi bir oraliqda parametrlangan , keyin Borel bilan o‘lchanadigan funksiyaning ajralmas qismidir Borel o'lchoviga nisbatan buning uchun har bir subintervalning o'lchovi ning termostriklanish uzunligi ga . Boshqacha qilib aytganda, buLebesgue-Stieltjes integral , qayerda ning cheklanishining uzunligi ga .Shuningdek o'rnatilgan
The maydon ning sifatida belgilanadi
va ekstremal uzunlik ning bu
bu erda supremum butun Borel bilan o'lchanadi bilan . Agar ba'zi bir tuzatilmaydigan egri chiziqlarni o'z ichiga oladi va tuzatiladigan egri chiziqlar to'plamini belgilaydi , keyin deb belgilangan .
Atama (konformal) modul ning ga tegishli .
The ekstremal masofa yilda ikki to'plam o'rtasida - egri chiziqlar yig'indisining ekstremal uzunligi bittasi bitta to'plamda, ikkinchisi esa boshqa to'plamda.
Misollar
Ushbu bo'limda ekstremal uzunlik bir nechta misollarda hisoblanadi. Ushbu misollarning dastlabki uchtasi ekstremal uzunlikdagi dasturlarda foydalidir.
To'rtburchakda juda katta masofa
Ijobiy sonlarni tuzating va ruxsat bering to'rtburchak bo'ling . Ruxsat bering barcha cheklangan uzunlikdagi egri chiziqlar to'plami bo'ling bu ma'noda to'rtburchaklar chapdan o'ngga kesib o'tadi chap tomonda to'rtburchaklar va o'ng tomonda . (Chegaralar albatta mavjud, chunki biz buni taxmin qilamiz cheklangan uzunlikka ega.) Biz endi buni isbotlaymiz
Birinchidan, biz olishimiz mumkin kuni . Bu beradi va . Ning ta'rifi keyin supremum beradi .
Qarama-qarshi tengsizlik juda oson emas. O'zboshimchalik bilan o'lchanadigan Borelni ko'rib chiqing shu kabi.Uchun , ruxsat bering (biz aniqlayotgan joy murakkab tekislik bilan) .Shundan keyin va shuning uchun Oxirgi tengsizlik quyidagicha yozilishi mumkin
Ushbu tengsizlikni birlashtirish nazarda tutadi
- .
Endi o'zgaruvchining o'zgarishi va ilovasi Koshi-Shvarts tengsizligi berish
- . Bu beradi .
Shuning uchun, , talabga binoan.
Dalildan ko'rinib turibdiki, ning ekstremal uzunligi egri chiziqlarning ancha kichik to'plamining ekstremal uzunligi bilan bir xil .
Shuni ta'kidlash kerakki, egri chiziqlar oilasining ekstremal uzunligi ning pastki chetini bog'laydigan ning yuqori chetiga qondiradi , xuddi shu dalil bilan. Shuning uchun, .Buni ekstremal uzunlikdagi ikkilik xususiyati deb atash tabiiy va shunga o'xshash ikkilik xususiyati keyingi kichik bo'lim tarkibida yuzaga keladi. Quyi chegarani olishiga e'tibor bering odatda yuqori chegara olishdan osonroqdir, chunki pastki chegara oqilona yaxshilikni tanlashni o'z ichiga oladi va taxmin qilish , yuqori chegaralar barcha mumkin bo'lgan narsalar to'g'risida bayonotni o'z ichiga oladi . Shu sababli, ikkilik ko'pincha uni o'rnatish mumkin bo'lganda foydalidir: biz buni bilganimizda , pastki chegara yuqori chegaraga tarjima qilinadi .
Anulusdagi juda katta masofa
Ruxsat bering va ikkita radiusni qoniqtiradigan bo'ling . Ruxsat bering halol bo'ling va ruxsat bering va ning ikkita chegara komponenti bo'ling : va . Ekstremal masofani ko'rib chiqing o'rtasida va ; bu to'plamning ekstremal uzunligi egri chiziqlar ulanish va .
Pastki chegarani olish uchun , biz olamiz . Keyin uchun dan yo'naltirilgan ga
Boshqa tarafdan,
Biz shunday xulosaga keldik
Endi biz ushbu tengsizlik haqiqatan ham tenglik ekanligini to'rtburchaklar uchun yuqorida keltirilgan argumentga o'xshash dalillarni qo'llash orqali ko'rib turibmiz. O'zboshimchalik bilan o'lchanadigan Borelni ko'rib chiqing shu kabi . Uchun ruxsat bering egri chiziqni belgilang . Keyin
Biz birlashamiz va quyidagilarni olish uchun Koshi-Shvarts tengsizligini qo'llang:
Kvadratchalar beradi
Bu yuqori chegarani nazarda tutadi Pastki chegara bilan birlashganda, bu ekstremal uzunlikning aniq qiymatini beradi:
Anulus atrofida o'ta uzunlik
Ruxsat bering va yuqoridagi kabi bo'ling, lekin endi ruxsat bering ajratib turadigan halqa atrofida bir marta aylanadigan barcha egri chiziqlar to'plami bo'ling dan . Yuqoridagi usullardan foydalanib, buni ko'rsatish qiyin emas
Bu ekstremal uzunlikdagi ikkilikning yana bir misolini ko'rsatadi.
Proektsion tekislikdagi topologik muhim yo'llarning haddan tashqari uzunligi
Yuqoridagi misollarda ekstremal bu nisbatni maksimal darajaga ko'targan va ekstremal uzunlik tekis metrikaga to'g'ri keldi. Boshqacha qilib aytganda, qachon Evklid Riemann metrikasi tegishli planar domenning ko'lami kattalashtiriladi , natijada metrik tekis. To'rtburchakda bu faqat asl metrik edi, ammo halqa uchun aniqlangan ekstremal metrik a metrikasi silindr. Endi biz ekstremal metrikaning tekis bo'lmagan misolini muhokama qilamiz. Sharsimon metrikaga ega proektsion tekislik aniqlash orqali olinadi antipodal nuqtalar birlik sharida Riemann sharsimon metrikasi bilan. Boshqacha qilib aytganda, bu sferaning xaritada ko'rsatadigan qismi . Ruxsat bering ushbu proektsion tekislikdagi yopiq egri chiziqlar to'plamini belgilang nol-homotopik. (Har bir egri chiziq sharni egri chiziqni nuqtadan antipodgacha proyeksiyalash orqali olinadi.) Keyin sharsimon metrik bu egri chiziq oilasi uchun ekstremaldir.[1] (Ekstremal uzunlik ta'rifi Riemann sirtlariga osonlikcha tarqaladi.) Shunday qilib, ekstremal uzunlik .
Nuqtani o'z ichiga olgan yo'llarning haddan tashqari uzunligi
Agar bu ijobiy diametrga ega va nuqta o'z ichiga olgan har qanday yo'llar to'plamidir , keyin . Bu, masalan, qabul qilish orqali