Furye-Mukay konvertatsiyasi - Fourier–Mukai transform

Yilda algebraik geometriya, a Furye-Mukay konvertatsiyasi Φ_K a funktsiya o'rtasida olingan toifalar ning izchil qirg'oqlar D (X) → D (Y) uchun sxemalar X va Y, bu ma'lum ma'noda an integral transformatsiya yadro ob'ekti bo'ylab K ∈ D (X×Y). Ko'pgina tabiiy funktsiyalar, shu jumladan asosiy funktsiyalar oldinga va orqaga chekinishlar, ushbu turdagi.

Ushbu turdagi funktsiyalar tomonidan kiritilgan Mukai (1981 ) isbotlash uchun ekvivalentlik an bo'yicha izchil qirralarning olingan toifalari o'rtasida abeliya xilma-xilligi va uning ikkilamchi. Ekvivalentlik klassikaga o'xshashdir Furye konvertatsiyasi o'rtasida izomorfizm beradi temperaturali taqsimotlar cheklangan o'lchovli realda vektor maydoni va uning ikkilamchi.

Ta'rif

Ruxsat bering X va Y bo'lishi silliq proektsion navlar, K . D.^b(X×Y) o'z mahsulotidagi izchil qistirmalarning olingan toifasidagi ob'ekt. Belgilash q proektsiya X×Y→X, tomonidan p proektsiya X×Y→Y. Keyin Furye-Mukay konvertatsiyasi Φ_K funktsiyali D^b(X) → D^b(Y) tomonidan berilgan

{ displaystyle { mathcal {F}} mapsto mathrm {R} p _ {*} left (q ^ {*} { mathcal {F}} otimes ^ {L} K right)}

qaerda Rp_* bo'ladi olingan to'g'ridan-to'g'ri tasvir funktsiyasi va ${ displaystyle otimes ^ {L}}$ olingan tensor mahsuloti.

Fourier-Mukai konvertatsiyalari har doim chapga va o'ngga ega qo'shni, ikkalasi ham yadro o'zgarishi. Ikkita yadro berilgan K₁ . D.^b(X×Y) va K₂ . D.^b(Y×Z), tuzilgan funktsiya Φ_K₂ ∘ Φ_K₁ shuningdek, Furye-Mukay konvertatsiyasi.

Diagonalning tizmasi ${ displaystyle { mathcal {O}} _ { Delta} in mathrm {D} ^ {b} (X times X)}$ , yadro sifatida olingan, D da identifikatsiya funktsiyasini ishlab chiqaradi^b(X). Morfizm uchun f:X→Y, g chizma tuzilishi pog'onasi_f ishlab chiqaradi oldinga D.da ob'ekt sifatida qaralganda^b(X×Y), yoki a orqaga tortish D.da ob'ekt sifatida qaralganda^b(Y×X).

Abeliya navlari bo'yicha

Ruxsat bering ${ displaystyle X}$ bo'lish abeliya xilma-xilligi va ${ displaystyle { hat {X}}}$ uning bo'lishi ikki xillik. The Puankare to'plami ${ displaystyle { mathcal {P}}}$ kuni ${ displaystyle X times { hat {X}}}$ , tolaga nol darajasida ahamiyatsiz bo'lish uchun normalizatsiya qilingan, Furye-Mukay yadrosi sifatida ishlatilishi mumkin. Ruxsat bering ${ displaystyle p}$ va ${ displaystyle { hat {p}}}$ Kanonik proektsiyalar bo'ling. Yadro bilan mos keladigan Fourier-Mukai funktsiyasi ${ displaystyle { mathcal {P}}}$ keyin

{ displaystyle R { mathcal {S}}: { mathcal {F}} in D (X) mapsto R { hat {p}} _ { ast} (p ^ { ast} { mathcal {F}} otimes { mathcal {P}}) in D ({ hat {X}})}

Shunga o'xshash funktsiya mavjud

{ displaystyle R { widehat { mathcal {S}}}: D ({ hat {X}}) to D (X). ,}

Agar kanonik sinf turli xil etarli yoki anti-ample, keyin olingan kategoriya kogerent pog'onalar xilma-xillikni aniqlaydi.^[1] Umuman olganda, abeliya navi uning ikkilikiga izomorf emas, shuning uchun bu Furye-Mukay konvertatsiyasi ekvivalenti kelib chiqadigan toifalarga ega bo'lgan turli navlarga (ahamiyatsiz kanonik to'plamlar bilan) misollar keltiradi.

Ruxsat bering g ning o'lchamini belgilang X. Furye-Mukay konvertatsiyasi deyarli o'z ichiga olmaydi:

{ displaystyle R { mathcal {S}} circ R { widehat { mathcal {S}}} = (- 1) ^ { ast} [- g]}

U o'zaro almashadi Pontragin mahsuloti va tensor mahsuloti.

{ displaystyle R { mathcal {S}} ({ mathcal {F}} ast { mathcal {G}}) = R { mathcal {S}} ({ mathcal {F}}) otimes R { mathcal {S}} ({ mathcal {G}})}

{ displaystyle R { mathcal {S}} ({ mathcal {F}} otimes { mathcal {G}}) = R { mathcal {S}} ({ mathcal {F}}) ast R { mathcal {S}} ({ mathcal {G}}) [g]}

Deninger va Murre (1991) buni isbotlash uchun Furye-Mukay konvertatsiyasidan foydalangan Künnet parchalanishi uchun Chow motivlari abeliya navlarining.

Ip nazariyasidagi dasturlar

Ip nazariyasida, T-ikkilik (qisqacha maqsad kosmik ikkilik) ikki kvantli maydon nazariyasini yoki turli xil fazoviy geometriyalari bilan torli nazariyalarni o'zaro bog'laydigan, Furye-Mukay konvertatsiyasi bilan chambarchas bog'liq, bu haqiqat yaqinda juda o'rganilgan.^[2]^[3]

Shuningdek qarang

Kommutativ bo'lmagan algebraik geometriya

Adabiyotlar

^ Bondal, Aleksey; Orlov, Dmitriy (2001). "Avtouquivalentsiyaning kelib chiqadigan toifasi va guruhlaridan turkumni tiklash" (PDF). Compositio Mathematica. 125 (3): 327–344. doi:10.1023 / A: 1002470302976.
^ Leung, Naychung Konan; Yau, Shing-Tung; Zaslow, Erik (2000). "Furye-Mukay konvertatsiyasi orqali maxsus Lagrangiandan Ermitiy-Yang-Millsga". Nazariy va matematik fizikadagi yutuqlar. 4 (6): 1319–1341. arXiv:matematik / 0005118. doi:10.4310 / ATMP.2000.v4.n6.a5.
^ Gevorgyan, Eva; Sarkissian, Gor (2014). "Kamchiliklar, abelian bo'lmagan t-ikkilik va Ramond-Ramond maydonlarining Furye-Mukay konvertatsiyasi". Yuqori energiya fizikasi jurnali. 2014 (3): 35. arXiv:1310.1264. doi:10.1007 / JHEP03 (2014) 035.

Deninger, Kristofer; Murre, Jeykob (1991), "Abeliya sxemalarining motivatsion parchalanishi va Furye konvertatsiyasi", J. Reyn Anju. Matematika., 422: 201–219, JANOB 1133323

Gyuybrechts, D. (2006), Furye-Mukay algebraik geometriyada o'zgaradi, Oksford matematik monografiyalari, 1, The Clarendon Press Oksford universiteti matbuoti, doi:10.1093 / acprof: oso / 9780199296866.001.0001, ISBN 978-0-19-929686-6, JANOB 2244106
Mukai, Shigeru (1981). "Ikki tomonlama ${ displaystyle D (X)}$ va ${ displaystyle D ({ hat {X}})}$ Picard sheaves-ga qo'llanilishi bilan ". Nagoya matematik jurnali. 81: 153–175. ISSN 0027-7630.

[1] Bondal, Aleksey; Orlov, Dmitriy (2001). "Avtouquivalentsiyaning kelib chiqadigan toifasi va guruhlaridan turkumni tiklash" (PDF). Compositio Mathematica. 125 (3): 327–344. doi:10.1023 / A: 1002470302976.

[2] Leung, Naychung Konan; Yau, Shing-Tung; Zaslow, Erik (2000). "Furye-Mukay konvertatsiyasi orqali maxsus Lagrangiandan Ermitiy-Yang-Millsga". Nazariy va matematik fizikadagi yutuqlar. 4 (6): 1319–1341. arXiv:matematik / 0005118. doi:10.4310 / ATMP.2000.v4.n6.a5.

[3] Gevorgyan, Eva; Sarkissian, Gor (2014). "Kamchiliklar, abelian bo'lmagan t-ikkilik va Ramond-Ramond maydonlarining Furye-Mukay konvertatsiyasi". Yuqori energiya fizikasi jurnali. 2014 (3): 35. arXiv:1310.1264. doi:10.1007 / JHEP03 (2014) 035.

[1]

[2]

[3]