Frilings simmetriya aksiomasi - Freilings axiom of symmetry

Fraylingning simmetriya aksiomasi (${ displaystyle { texttt {AX}}}$) a nazariy tomonidan taklif qilingan aksioma Kris Freiling. Bu Styuart Devidsonning sezgi-intizomiga asoslangan, ammo uning ortidagi matematika orqaga qaytadi Vatslav Sierpinskiy.

Ruxsat bering ${ displaystyle A subseteq wp ([0,1]) ^ {[0,1]}}$ dan barcha funktsiyalar to'plamini belgilang ${ displaystyle [0,1]}$ ning hisoblanadigan kichik to'plamlariga ${ displaystyle [0,1]}$. Aksioma ${ displaystyle { texttt {AX}}}$ aytadi:

Har bir kishi uchun ${ displaystyle f in A}$mavjud ${ displaystyle x, y in [0,1]}$ shu kabi ${ displaystyle x not in f (y)}$ va ${ displaystyle y not in f (x)}$.

Sierpinskiy teoremasi, ZFC to'plamlari nazariyasi bo'yicha, ${ displaystyle { texttt {AX}}}$ ning inkoriga tengdir doimiy gipoteza (CH). Savolga javoban Sierpinskiy teoremasi Ugo Shtaynxaus va CH mustaqilligi tomonidan o'rnatilishidan ancha oldin isbotlanganKurt Gödel va Pol Koen.

Freylingning ta'kidlashicha, ehtimoliy sezgi ushbu taklifni qat'iyan qo'llab-quvvatlaydi, boshqalari esa rozi emas. Aksiomaning bir nechta versiyalari mavjud, ularning ba'zilari quyida muhokama qilinadi.

Fraylingning argumenti

Funktsiyani tuzatish f yilda A. Ikkita dartni birlik oralig'iga tashlashni o'z ichiga olgan fikr tajribasini ko'rib chiqamiz. Biz raqamlarning haqiqiy qiymatlarini jismonan aniqlay olmaymiz x va y urilgan. Xuddi shunday, savol "y ichida f(x) "aslida jismonan hisoblash mumkin emas. Shunga qaramay, agar f haqiqatan ham bu Agar funktsiya bo'lsa, unda bu savol mazmunli bo'lib, aniq "ha" yoki "yo'q" javobiga ega bo'ladi.

Endi birinchi dartdan keyin kuting, x, tashlanadi va keyin ikkinchi dart bo'lish imkoniyatini baholaydi y ichida bo'ladi f(x). Beri x endi aniqlangan, f(x) sobit hisoblanadigan to'plamdir va ega Lebesg o'lchovi nol. Shuning uchun, ushbu tadbir, bilan x sobit, ehtimollik nolga ega. Endi Freiling ikkita umumiy fikrni amalga oshiradi:

• Chunki biz virtual aniqlik bilan bashorat qilishimiz mumkin "y emas f(x) "birinchi dart otilgandan keyin va bu taxmin birinchi dart nima bo'lishidan qat'i nazar haqiqiy bo'lganligi sababli, biz birinchi dart otilishidan oldin bu bashoratni qilishimiz kerak. Bu bizda hali ham o'lchovli hodisa bor degani emas aksincha, bu taxmin qilish mumkin bo'lgan tabiat haqidagi sezgi.
• Beri "y emas f(x) "oldindan taxmin qilinadigan darajada to'g'ri, dartlar tashlangan tartibning simmetriyasi bilan (shu sababli" simmetriya aksiomasi "nomi) biz ham virtual aniqlik bilan bashorat qilishimiz kerak"x emas f(y)".

Aksioma ${ displaystyle { texttt {AX}}}$ endi ushbu tajriba har safar amalga oshirilganda, hech bo'lmaganda imkon bo'lishi kerak bo'lgan narsa sodir bo'lishi mumkinligi printsipi asosida o'zini oqlamoqda. Shuning uchun ikkita haqiqiy raqam mavjud bo'lishi kerak x, y shu kabi x emas f(y) va y emas f(x).

(Umumlashtirilgan) doimiylik gipotezasi bilan bog'liqlik

Tuzatish ${ displaystyle kappa ,}$ cheksiz kardinal (masalan. ${ displaystyle aleph _ {0} ,}$). Ruxsat bering ${ displaystyle { texttt {AX}} _ { kappa}. ,}$ bayonot bo'lishi: xarita yo'q ${ displaystyle f: wp ( kappa) to wp ( wp ( kappa)) ,}$ to'plamlardan kattalik to'plamlariga ${ displaystyle leq kappa}$ buning uchun ${ displaystyle ( forall {x, y in wp ( kappa)}) ,}$ yoki ${ displaystyle x in f (y) ,}$ yoki ${ displaystyle y in f (x) ,}$.

Talab: ${ displaystyle { texttt {ZFC}} vdash 2 ^ { kappa} = kappa ^ {+} leftrightarrow neg { texttt {AX}} _ { kappa}. ,}$.

Isbot:I qism (${ displaystyle Rightarrow ,}$):

Aytaylik ${ displaystyle 2 ^ { kappa} = kappa ^ {+} ,}$. Keyin bijection mavjud ${ displaystyle sigma: kappa ^ {+} to wp ( kappa) ,}$. O'rnatish ${ displaystyle f: wp ( kappa) to wp ( wp ( kappa)) ,}$ orqali aniqlangan ${ displaystyle sigma ( alpha) mapsto { sigma ( beta): beta preceq alpha } ,}$, bu Freyling aksiomasining muvaffaqiyatsizligini namoyish etishini anglash oson.

II qism (${ displaystyle Leftarrow ,}$):

Deylik, Fraylingning aksiomasi muvaffaqiyatsiz tugadi. Keyin biroz tuzating ${ displaystyle f ,}$ ushbu faktni tekshirish uchun. Buyurtma munosabatini aniqlang ${ displaystyle wp ( kappa) ,}$ tomonidan ${ displaystyle A leq _ {f} B}$ iff ${ displaystyle A in f (B)}$. Ushbu munosabat to'liq va har bir nuqta bor ${ displaystyle leq kappa}$ ko'plab o'tmishdoshlar. Endi qat'iy ravishda ko'payib borayotgan zanjirni aniqlang ${ displaystyle (A _ { alpha} in wp ( kappa)) _ { alpha < kappa ^ {+}}}$ quyidagicha: har bir bosqichda tanlang ${ displaystyle A _ { alpha} in wp ( kappa) setminus bigcup _ { xi < alpha} f (A _ { xi})}$. Ushbu jarayon har bir tartib uchun amalga oshirilishi mumkin ${ displaystyle alpha < kappa ^ {+} ,}$, ${ displaystyle bigcup _ { xi < alpha} f (A _ { xi}) ,}$ ning birlashmasi ${ displaystyle leq kappa ,}$ o'lchamlarning ko'p to'plamlari ${ displaystyle leq kappa ,}$; shuning uchun kattaligi ${ displaystyle leq kappa <2 ^ { kappa} ,}$ va shuning uchun ham qattiq pastki qism ${ displaystyle wp ( kappa) ,}$. Bizda bu ketma-ketlik mavjud kofinal belgilangan tartibda, ya'ni har bir a'zosi ${ displaystyle wp ( kappa) ,}$ bu ${ displaystyle leq _ {f} ,}$ biroz ${ displaystyle A _ { alpha} ,}$. (Aks holda, agar shunday bo'lsa ${ displaystyle B in wp ( kappa) ,}$ emas ${ displaystyle leq _ {f} ,}$ biroz ${ displaystyle A _ { alpha}}$, keyin buyurtma jami bo'lgani uchun ${ displaystyle ( forall { alpha < kappa ^ {+}}) A _ { alpha} leq _ {f} B ,}$; nazarda tutgan ${ displaystyle B ,}$ bor ${ displaystyle geq kappa ^ {+}> kappa ,}$ ko'plab o'tmishdoshlar; qarama-qarshilik.) Shunday qilib biz xaritani aniq belgilashimiz mumkin ${ displaystyle g: wp ( kappa) to kappa ^ {+} ,}$ tomonidan ${ displaystyle B mapsto operator nomi {min} { alfa < kappa ^ {+}: B in f (A _ { alpha}) }}$.Shunday qilib ${ displaystyle wp ( kappa) = bigcup _ { alpha < kappa ^ {+}} g ^ {- 1} { alpha } = bigcup _ { alpha < kappa ^ {+} } f (A _ { alpha}) ,}$ qaysi birlashma ${ displaystyle kappa ^ {+} ,}$ har bir o'lchamdagi ko'plab to'plamlar ${ displaystyle leq kappa ,}$. Shuning uchun ${ displaystyle 2 ^ { kappa} leq kappa ^ {+} cdot kappa = kappa ^ {+} ,}$ va biz tugatdik.

${ displaystyle blacksquare}$ (Talab)

Yozib oling ${ displaystyle | [0,1] | = | wp ( aleph _ {0}) | ,}$ shuning uchun biz bunga erishish uchun narsalarni osongina o'zgartiramiz ${ displaystyle neg { texttt {CH}} Leftrightarrow ,}$ yuqorida qayd etilgan Freyling aksiomasining shakli.

Yuqoridagilarni aniqroq qilish mumkin: ${ displaystyle { texttt {ZF}} vdash ({ texttt {AC}} _ ​​{ wp ( kappa)} + neg { texttt {AX}} _ { kappa}) leftrightarrow { texttt {CH}} _ { kappa} ,}$. Bu (doimiylik gipotezasi tanlovdan mustaqil ekanligi bilan birga) (umumlashtirilgan) doimiylik gipotezasi tanlov aksiomasining kengayishi bo'lgan aniq usulni ko'rsatadi.

Fraylingning argumentiga e'tirozlar

Fraylingning argumenti quyidagi ikkita muammo tufayli keng qabul qilinmaydi (ular Frayling o'z ishida yaxshi bilgan va muhokama qilgan).

• Frayling tomonidan ishlatiladigan sodda ehtimollik sezgisi jimgina taxmin qiladi haqiqatni har qanday kichik qismga bog'lash uchun yaxshi xulqli usul mavjud. Ammo tushunchasining matematik rasmiylashtirilishi ehtimollik tushunchasidan foydalanadi o'lchov, ammo tanlov aksiomasi, hatto o'lchov oralig'i, hatto birlik oralig'ining mavjudligini anglatadi. Bunga ba'zi misollar Banax-Tarski paradoksi va mavjudligi Vitali to'plamlari.
• Uning argumentining ozgina o'zgarishi, agar kimdir ehtimollikning hisoblanadigan qo'shimchasini doimiylikdan kamroq kardinallar uchun qo'shimchalar bilan almashtirsa, u doimiylik gipotezasini qabul qiladimi yoki yo'qmi, tanlov aksiomasiga zid keladi. (Frayling bunga o'xshash dalillardan foydalangan Martinning aksiomasi yolg'on.) Freiling sezgisi nima uchun bu holatda kamroq qo'llanilishi kerakligi aniq emas, agar u umuman tegishli bo'lsa. (Maddi 1988 yil, p. 500) Demak, Fraylingning dalillari doimiy gipotezaga qaraganda reallarga yaxshi buyurtma berish imkoniyatiga qarshi dalil bo'lib tuyuladi.

Grafika nazariyasiga ulanish

ZFC-da bizda mavjud bo'lgan haqiqatdan foydalanib ${ displaystyle 2 ^ { kappa} = kappa ^ {+} Leftrightarrow neg { texttt {AX}} _ { kappa} ,}$ (qarang yuqorida ) ekanligini ko'rish qiyin emas muvaffaqiyatsizlik simmetriya aksiyomasi - va shu bilan muvaffaqiyat ${ displaystyle 2 ^ { kappa} = kappa ^ {+} ,}$ - grafikalar uchun quyidagi kombinatorial printsipga teng:

• The to'liq grafik kuni ${ displaystyle wp ( kappa) ,}$ shunday yo'naltirilgan bo'lishi mumkinki, har bir tugun ko'pi bilan olib keladi ${ displaystyle kappa ,}$- ko'plab tugunlar.

Bo'lgan holatda ${ displaystyle kappa = aleph _ {0} ,}$, bu quyidagicha tarjima qilinadi:

• Birlik doirasidagi to'liq grafik shunday yo'naltirilgan bo'lishi mumkinki, har bir tugun ko'pi bilan ko'p sonli tugunlarga olib keladi.

Shunday qilib, ZFC kontekstida Freiling aksiomasining ishlamay qolishi ma'lum turdagi tanlov funktsiyasining mavjudligiga tengdir.

Adabiyotlar

• Frayling, Kris (1986), "Simmetriya aksiomalari: dartlarni haqiqiy sonlar qatoriga uloqtirish", Symbolic Logic jurnali, 51 (1): 190–200, doi:10.2307/2273955, ISSN  0022-4812, JANOB  0830085
• Maddi, Penelopa (1988). "Aksiomalarga ishonish, men". Symbolic Logic jurnali. 53 (2): 481–511. doi:10.2307/2274520.
• Devid Mumford, "Stoxastiklik asrining shafaqi", yilda Matematika: Chegaralar va istiqbollar 2000 yil, Amerika Matematik Jamiyati, 1999, 197-218.
• Sierpinskiy, Vatslav (1956) [1934], Hypothèse du davom etmoqda, Chelsi nashriyot kompaniyasi, Nyu-York, N. Y., JANOB  0090558
• Jon Simms, "Zamonaviy maydon tushunchasiga tatbiq etilgan an'anaviy Kavaleri tamoyillari", J. Falsafiy mantiq 18 (1989), 275–314.