Frobenius kovariant - Frobenius covariant

Yilda matritsa nazariyasi, Frobenius kovariantlari a kvadrat matritsa A uning maxsus polinomlari, ya'ni proektsiya matritsalar A_men bilan bog'liq xususiy qiymatlar va xususiy vektorlar ning A.^{[1]:s.403,437-8} Ular matematikning nomi bilan atalgan Ferdinand Frobenius.

Har bir kovariant a proektsiya ustida xususiy maydon o'ziga xos qiymat bilan bog'liq λ_men.Frobenius kovaryantlari - ning koeffitsientlari Silvestr formulasi, ifodalovchi a matritsaning funktsiyasi f(A) matritsali polinom sifatida, ya'ni funktsiya qiymatlarining chiziqli birikmasi A.

Rasmiy ta'rif

Ruxsat bering A bo'lishi a diagonalizatsiya qilinadigan matritsa o'zgacha qiymatlar bilan λ₁, …, λ_k.

Frobenius kovarianti A_men, uchun men = 1,…, k, bu matritsa

${ displaystyle A_ {i} equiv prod _ {j = 1 j neq i} ^ {k} { frac {1} { lambda _ {i} - lambda _ {j}}} ( A- lambda _ {j} I) ~.}$

Bu aslida Lagranj polinomi matritsa argumenti bilan. Agar o'ziga xos qiymat bo'lsa λ_men oddiy, keyin idempotent proektsiya matritsasi sifatida bir o'lchovli pastki bo'shliqqa, A_men birligi bor iz.

Kovaryantlarni hisoblash

Ferdinand Georg Frobenius (1849-1917), nemis matematikasi. Uning asosiy manfaatlari edi elliptik funktsiyalar differentsial tenglamalar va keyinroq guruh nazariyasi.

Matritsaning Frobenius kovariantlari A har qanday narsadan olish mumkin o'ziga xos kompozitsiya A = SDS⁻¹, qayerda S birliksiz va D. bilan diagonali D._men,men = λ_men. Agar A bir nechta o'ziga xos qiymatlari yo'q, keyin ruxsat bering v_men bo'lishi menning o'ng xususiy vektori A, ya'ni menning ustuni S; va ruxsat bering r_men bo'lishi menning chap xususiy vektori A, ya'ni menuchinchi qator S⁻¹. Keyin A_men = v_men r_men.

Agar A o'ziga xos qiymatga ega λ_men keyin bir necha marta paydo bo'ladi A_men = Σ_j v_j r_j, bu erda summa o'z qiymatiga bog'liq bo'lgan barcha qatorlar va ustunlar ustida joylashgan λ_men.^[1]:s.521

Misol

Ikkala matritsani ko'rib chiqing:

${ displaystyle A = { begin {bmatrix} 1 & 3 4 & 2 end {bmatrix}}.}$

Ushbu matritsa ikkita xos qiymatga ega, 5 va −2; shu sababli (A−5)(A+2)=0.

O'ziga xos dekompozitsiya

${ displaystyle A = { begin {bmatrix} 3 & 1/7 4 & -1 / 7 end {bmatrix}} { begin {bmatrix} 5 & 0 0 & -2 end {bmatrix}} { begin {bmatrix } 3 & 1/7 4 & -1 / 7 end {bmatrix}} ^ {- 1} = { begin {bmatrix} 3 & 1/7 4 & -1 / 7 end {bmatrix}} { begin {bmatrix } 5 & 0 0 & -2 end {bmatrix}} { begin {bmatrix} 1/7 va 1/7 4 & -3 end {bmatrix}}.}$

Shuning uchun Frobenius kovaryantlari, aniq proektsiyalar

${ displaystyle { begin {array} {rl} A_ {1} & = c_ {1} r_ {1} = { begin {bmatrix} 3 4 end {bmatrix}} { begin {bmatrix} 1 / 7 & 1/7 end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} 3/7 & 3/7 4/7 & 4/7 end {bmatrix}} = A_ {1} ^ {2} A_ {2} & = c_ {2} r_ {2} = { begin {bmatrix} 1/7 - 1/7 end {bmatrix}} { begin {bmatrix} 4 & -3 end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} 4/7 & -3/7 - 4/7 & 3/7 end {bmatrix}} = A_ {2} ^ {2} ~, end {array}}}$

bilan

${ displaystyle A_ {1} A_ {2} = 0, qquad A_ {1} + A_ {2} = I ~.}$

Eslatma trA₁= trA₂=1, talabga binoan.

Adabiyotlar