Fueter – Polya teoremasi - Fueter–Pólya theorem

Bu maqola uchun qo'shimcha iqtiboslar kerak tekshirish. Iltimos yordam bering ushbu maqolani yaxshilang tomonidan ishonchli manbalarga iqtiboslarni qo'shish. Ma'lumot manbasi bo'lmagan material shubha ostiga olinishi va olib tashlanishi mumkin. Manbalarni toping: "Fueter-Polya teoremasi"  – Yangiliklar  · gazetalar  · kitoblar  · olim  · JSTOR (2015 yil dekabr) (Ushbu shablon xabarini qanday va qachon olib tashlashni bilib oling)

The Fueter – Polya teoremasi, birinchi tomonidan isbotlangan Rudolf Fueter va Jorj Polya, faqat bitta ekanligini ta'kidlaydi kvadratik juftlashtirish funktsiyalari Kantor polinomlar.

Kirish

1873 yilda, Jorj Kantor Kantor polinomasi deb nomlanganligini ko'rsatdi^[1]

${ displaystyle P (x, y): = { frac {1} {2}} ((x + y) ^ {2} + 3x + y) = { frac {x ^ {2} + 2xy + 3x + y ^ {2} + y} {2}} = x + { frac {(x + y) (x + y + 1)} {2}} = { binom {x} {1}} + { binom {x + y + 1} {2}}}$

a ikki tomonlama xaritalash ${ displaystyle mathbb {N} ^ {2}}$ ga ${ displaystyle mathbb {N}}$.Ozgaruvchilarni almashtirish orqali berilgan polinom ham juftlash funktsiyasidir.

Fueter ushbu xususiyatga ega bo'lgan boshqa kvadratik polinomlar mavjudligini tekshirib ko'rdi va bu shunday emas deb taxmin qildi ${ displaystyle P (0,0) = 0}$. Keyin u Poliyaga yozdi, u teorema bu shartni talab qilmasligini ko'rsatdi.^[2]

Bayonot

Agar ${ displaystyle P}$ ga cheklov qo'yilgan ikkita o'zgaruvchida haqiqiy kvadratik polinom ${ displaystyle mathbb {N} ^ {2}}$ dan olingan bijection hisoblanadi ${ displaystyle mathbb {N} ^ {2}}$ ga ${ displaystyle mathbb {N}}$ u holda

${ displaystyle P (x, y): = { frac {1} {2}} ((x + y) ^ {2} + 3x + y)}$

yoki

${ displaystyle P (x, y): = { frac {1} {2}} ((y + x) ^ {2} + 3y + x).}$

Isbot

Dan foydalanib, asl dalil hayratlanarli darajada qiyin Lindemann – Vaystrassass teoremasi ning transsendentsiyasini isbotlash uchun${ displaystyle e ^ {a}}$ nolga teng bo'lmagan algebraik son uchun ${ displaystyle a}$.^[3]2002 yilda M. A. Vsemirnov ushbu natijaning oddiy dalilini nashr etdi.^[4]

Fueter - Polya gumoni

Teorema, Kantor polinomining ning yagona kvadratik ayiruvchi polinomidir ${ displaystyle mathbb {N} ^ {2}}$ va ${ displaystyle mathbb {N}}$. Kantor polinomini ℕ ning biektsiyasi sifatida yuqori darajada umumlashtirish mumkin^k uchun ℕ bilan k > 2. Gipoteza shundan iboratki, bu faqat shu juftlik polinomlari.

Yuqori o'lchamlar

Kantor polinomini yuqori o'lchamlarda umumlashtirish quyidagicha:^[5]

${ displaystyle P_ {n} (x_ {1}, ldots, x_ {n}) = sum _ {k = 1} ^ {n} { binom {k-1 + sum _ {j = 1} ^ {k} x_ {j}} {k}} = x_ {1} + { binom {x_ {1} + x_ {2} +1} {2}} + cdots + { binom {x_ {1 } + cdots + x_ {n} + n-1} {n}}}$

Bularning yig'indisi binomial koeffitsientlar daraja polinomini beradi ${ displaystyle n}$ yilda ${ displaystyle n}$ o'zgaruvchilar. Har bir daraja bo'ladimi, bu ochiq savol ${ displaystyle n}$ biinatsiya bo'lgan polinom ${ displaystyle mathbb {N} ^ {n} rightarrow mathbb {N}}$ polinomning o'zgaruvchilarini almashtirish sifatida paydo bo'ladi ${ displaystyle P_ {n}}$.^[6]

Adabiyotlar