Fukaya toifasi - Fukaya category

Yilda simpektik topologiya, matematika bo'yicha intizom, a Fukaya toifasi a simpektik manifold ${ displaystyle (M, omega)}$ a toifasi ${ displaystyle { mathcal {F}} (M)}$ kimning ob'ektlari Lagranj submanifoldlari ning ${ displaystyle M}$va morfizmlar bor Zamin zanjiri guruhlari: ${ displaystyle mathrm {Hom} (L_ {0}, L_ {1}) = FC (L_ {0}, L_ {1})}$. Uning ingichka tuzilishini tilida tasvirlash mumkin kvazi toifalari sifatida A_∞- toifasi.

Ularning nomi berilgan Kenji Fukaya kim tanishtirdi ${ displaystyle A _ { infty}}$ kontekstida avval til Morse gomologiyasi,^[1] va bir qator variantlarda mavjud. Fukaya toifalari A_∞- toifalar, ular bog'langan olingan toifalar nishonlanadigan mavzular gomologik ko'zgu simmetriyasi taxmin Maksim Kontsevich.^[2] Ushbu taxmin bir qator nisbatan sodda misollar uchun kompyuter tomonidan tasdiqlangan.

Rasmiy ta'rif

Ruxsat bering ${ displaystyle (X, omega)}$ simpektik manifold bo'ling. Har bir juftlik uchun Lagranj submanifoldlari ${ displaystyle L_ {0}, L_ {1} subset X}$, ular ko'ndalang kesishadi deylik, keyin Floer kokain kompleksini aniqlang ${ displaystyle CF ^ {*} (L_ {0}, L_ {1})}$ bu kesishish nuqtalari tomonidan yaratilgan modul ${ displaystyle L_ {0} cap L_ {1}}$. Floer kokain kompleksi morfizmlarning to'plami sifatida qaraladi ${ displaystyle L_ {0}}$ ga ${ displaystyle L_ {1}}$. Fukaya toifasi ${ displaystyle A _ { infty}}$ toifasi, ya'ni oddiy kompozitsiyalardan tashqari yuqori kompozitsion xaritalar mavjud

${ displaystyle mu _ {d}: CF ^ {*} (L_ {d-1}, L_ {d}) otimes CF ^ {*} (L_ {d-2}, L_ {d-1}) otimes cdots otimes CF ^ {*} (L_ {1}, L_ {2}) otimes CF ^ {*} (L_ {0}, L_ {1}) to CF ^ {*} (L_ {) 0}, L_ {d}).}$

U quyidagicha ta'riflanadi. Mos keluvchi tanlang deyarli murakkab tuzilish ${ displaystyle J}$ simpektik manifoldda ${ displaystyle (X, omega)}$. Jeneratörler uchun ${ displaystyle p_ {d-1d}, ldots, p_ {01}}$ chapdagi kokain komplekslari va har qanday generator ${ displaystyle q_ {0d}}$ o'ngdagi kokain kompleksining moduli maydoni ${ displaystyle J}$-golomorf ko'pburchaklar ${ displaystyle d + 1}$ har bir yuzi xaritada ko'rsatilgan yuzlar ${ displaystyle L_ {0}, L_ {1}, ldots, L_ {d}}$ hisob bor

${ displaystyle n (p_ {d-1d}, ldots, p_ {01}; q_ {0d})}$

koeffitsient halqasida. Keyin aniqlang

${ displaystyle mu _ {d} (p_ {d-1d}, ldots, p_ {01}) = sum _ {q_ {0d} in L_ {0} cap L_ {d}} n (p_) CF ^ {*} da {d-1d}, ldots, p_ {01}) cdot q_ {0d} (L_ {0}, L_ {d})}$

va uzaytiring ${ displaystyle mu _ {d}}$ ko'p qirrali usulda.

Yuqori kompozitsiyalar ketma-ketligi ${ displaystyle mu _ {1}, mu _ {2}, ldots,}$ qondirish ${ displaystyle A _ { infty}}$ munosabatlar, chunki holomorfik ko'pburchaklarning turli xil moduli bo'shliqlarining chegaralari buzilgan ko'pburchaklar konfiguratsiyasiga mos keladi.

Shuningdek qarang

• Homotopiya assotsiativ algebra

Adabiyotlar

• Denis Auroux, Fukaya toifalariga yangi boshlanuvchilar uchun kirish.

• Pol Zaydel, Fukaya toifalari va Pikard-Lefschetz nazariyasi. Tsyurix Kengaytirilgan matematikadan ma'ruzalar qiladi
• Fukaya, Kenji; Oh, Yong-Geun; Ohta, Xiroshi; Ono, Kaoru (2009), Lagrangiya kesishmasi Qavat nazariyasi: anomaliya va obstruktsiya. I qism, Kengaytirilgan matematikadan AMS / IP tadqiqotlari, 46, Amerika matematik jamiyati, Providence, RI; Xalqaro press, Somervil, MA, ISBN  978-0-8218-4836-4, JANOB  2553465
• Fukaya, Kenji; Oh, Yong-Geun; Ohta, Xiroshi; Ono, Kaoru (2009), Lagrangiya kesishmasi Qavat nazariyasi: anomaliya va obstruktsiya. II qism, Kengaytirilgan matematikadan AMS / IP tadqiqotlari, 46, Amerika matematik jamiyati, Providence, RI; Xalqaro press, Somervil, MA, ISBN  978-0-8218-4837-1, JANOB  2548482
• The ip kuni MathOverflow 'Fukaya toifasi "aniqlanganmi"?'