GHK algoritmi - GHK algorithm

The GHK algoritmi (Gyuke, Xajivassiliou va Kin)^[1] bu ahamiyatni tanlash da ehtimolliklarni simulyatsiya qilish usuli ko'p o'zgaruvchan probit modeli. Ushbu taqlid qilingan ehtimolliklar odatdagi ma'lum bo'lgan maksimallashtirish usullaridan foydalangan holda maksimal ehtimollik tenglamasidan parametrlarni baholashni tiklash uchun ishlatilishi mumkin (Nyuton usuli, BFGS, va boshqalar.). Poezd^[2] ushbu multitomial probit modeli uchun ushbu algoritmni amalga oshirish uchun yaxshi hujjatlashtirilgan qadamlar mavjud. Bu erda keltirilgan narsa ikkilik ko'p o'zgaruvchan probit modeliga tegishli bo'ladi.

Tanlash ehtimolligini baholashga urinayotgan vaziyatni ko'rib chiqing ${ displaystyle Pr ( mathbf {y_ {i}} | mathbf {X_ {i} beta}, Sigma)}$ qayerda ${ displaystyle mathbf {y_ {i}} = (y_ {1}, ..., y_ {J}), (i = 1, ..., N)}$ va biz qaerga borishimiz mumkin ${ displaystyle j}$ tanlov sifatida va ${ displaystyle i}$ shaxslar yoki kuzatuvlar sifatida, ${ displaystyle mathbf {X_ {i} beta}}$ o'rtacha va ${ displaystyle Sigma}$ bu modelning kovaryans matritsasi. Tanlovni kuzatish ehtimoli ${ displaystyle mathbf {y_ {i}}}$ bu

${ displaystyle { begin {aligned} Pr ( mathbf {y_ {i}} | mathbf {X_ {i} beta}, Sigma) = & int _ {A_ {J}} cdots int _ {A_ {1}} f_ {N} ( mathbf {y} _ {i} ^ {*} | mathbf {X_ {i} beta}, Sigma) dy_ {1} ^ {*} nuqta dy_ {J} ^ {*} Pr ( mathbf {y_ {i}} | mathbf {X_ {i} beta}, Sigma) = & int mathbb {1} _ {y ^ { *} in A} f_ {N} ( mathbf {y} _ {i} ^ {*} | mathbf {X_ {i} beta}, Sigma) d mathbf {y} _ {i} ^ {*} end {hizalangan}}}$

Qaerda ${ displaystyle A = A_ {1} times cdots times A_ {J}}$ va,

${ displaystyle A_ {j} = { begin {case} (- infty, 0] & y_ {j} = 0 (0, infty) & y_ {j} = 1 end {case}}}$

Agar bo'lmasa ${ displaystyle J}$ kichik (2 ga teng yoki teng) yuqorida aniqlangan integrallar uchun yopiq shakldagi echim yo'q (ba'zi ishlar ${ displaystyle J = 3}$^[3]). Ushbu integrallarni yopiq shaklda yoki to'rtburchak usullar bilan baholashning alternativasi simulyatsiyadan foydalanishdir. GHK - ahamiyatni tanlash usullari yordamida yuqoridagi ehtimollikni simulyatsiya qilish uchun simulyatsiya usuli.

Baholash ${ displaystyle Pr ( mathbf {y_ {i}} | mathbf {X_ {i} beta}, Sigma) = int mathbb {1} _ {y ^ {*} A} f_ {da N} ( mathbf {y} _ {i} ^ {*} | mathbf {X_ {i} beta}, Sigma) d mathbf {y} _ {i} ^ {*}}$ maxfiy ma'lumotlar modeli ekanligini tan olish orqali soddalashtirilgan ${ displaystyle mathbf {y_ {i} ^ {*}} = mathbf {X_ {i} beta} + epsilon}$ Cholesky faktorizatsiyasi yordamida qayta yozish mumkin, ${ displaystyle Sigma = CC '}$. Bu beradi ${ displaystyle mathbf {y_ {i} ^ {*}} = mathbf {X_ {i} beta} + C eta _ {i}}$ qaerda ${ displaystyle eta _ {i}}$ shartlar taqsimlanadi ${ displaystyle N (0, mathbf {I})}$.

Ushbu faktorizatsiya va ${ displaystyle eta _ {i}}$ mustaqil ravishda taqsimlanadi, bitta o'zgaruvchan tasodifiy normadan tortishish yordamida qisqartirilgan ko'p o'zgaruvchan normal taqsimotdan tortishishlarni simulyatsiya qilish mumkin.

Masalan, agar qisqartirish mintaqasi bo'lsa ${ displaystyle mathbf {A}}$ ga teng pastki va yuqori chegaralariga ega ${ displaystyle [a, b]}$ (shu jumladan, a, b = ${ displaystyle pm infty}$) keyin vazifa bo'ladi

${ displaystyle { begin {array} {lcl} a <& y_ {1} ^ {*} &$

Eslatma: ${ displaystyle mathbf {y_ {i} ^ {*}} = mathbf {X_ {i} beta} + C eta _ {i}}$, o'rnini bosuvchi:

${ displaystyle { begin {array} {lcl} a <& x_ {1} beta _ {1} + c_ {11} eta _ {1} &$

Yuqorida tartibga solish,

${ displaystyle { begin {array} {ccc} { frac {a-x_ {1} beta _ {1}} {c_ {11}}} & < eta _ {1} <& { frac { b-x_ {1} beta _ {1}} {c_ {11}}} { frac {a- (x_ {2} beta _ {2} + c_ {21} eta _ {1} )} {c_ {22}}} & < eta _ {2} <& { frac {b- (x_ {2} beta _ {2} + c_ {21} eta _ {1})}} c_ {22}}} vdots & vdots & vdots { frac {a- (x_ {J} beta _ {J} + sum _ {k = 1} ^ {J-1} c_ {J, k})} {c_ {J, J}}} & < eta _ {k} <& { frac {b- (x_ {J} beta _ {J} + sum _ {k = 1} ^ {J-1} c_ {J, k})} {c_ {J, J}}} end {array}}}$

Endi yuqorida keltirilgan chegaralar bilan qisqartirilgan bir xil o'zgaruvchan normal taqsimotdan takroriy ravishda olish kifoya. Buni teskari CDF usuli bilan amalga oshirish mumkin va kesilgan normal taqsimot quyidagicha berilgan:

${ displaystyle u = { frac { Phi ({ frac {x- mu} { sigma}}) - Phi ({ frac {a- mu} { sigma}})} { Phi ({ frac {b- mu} { sigma}}) - Phi ({ frac {a- mu} { sigma}})}}}$

Qaerda ${ displaystyle u}$ 0 va 1 orasidagi raqam bo'ladi, chunki yuqoridagi CDF. Bu hal qilish kerak bo'lgan qisqartirilgan taqsimotdan tasodifiy chizmalar hosil qilishni taklif qiladi ${ displaystyle x}$ berib,

${ displaystyle x = sigma F ^ {- 1} (u * (F ( beta) -F ( alfa)) + F ( alfa)) + mu}$

qayerda ${ displaystyle alpha = { frac {a- mu} { sigma}}}$ va ${ displaystyle beta = { frac {b- mu} { sigma}}}$ va ${ displaystyle F}$ standart normal CDF hisoblanadi. Bunday duranglar yordamida rekonstruksiya qilish mumkin ${ displaystyle mathbf {y_ {i} ^ {*}}}$ Xoleskiy faktorizatsiyasi yordamida soddalashtirilgan tenglamasi orqali. Ushbu tirajlar avvalgi tirajlarga bog'liq bo'ladi va normallarning xususiyatlaridan foydalangan holda, shartli PDF-larning mahsuloti birgalikda taqsimlanadi. ${ displaystyle mathbf {y_ {i} ^ {*}}}$,

${ displaystyle q ( mathbf {y_ {i} ^ {*}} | mathbf {X_ {1} beta}, Sigma) = q (y_ {1} ^ {*} | mathbf {X_ {1 } beta}, Sigma) q (y_ {2} ^ {*} | y_ {1} ^ {*}, mathbf {X_ {1} beta}, Sigma) nuqtalar q (y_ {J} ^ {*} | y_ {1} ^ {*}, nuqtalar, y_ {J-1} ^ {*}, mathbf {X_ {1} beta}, Sigma)}$

Qaerda ${ displaystyle q ( cdot)}$ ko'p o'zgaruvchan normal taqsimotdir.

Chunki ${ displaystyle y_ {j} ^ {*}}$ shartli ${ displaystyle y_ {k}, k$ to'plam bilan cheklangan ${ displaystyle A}$ Choleskiy faktorizatsiyasi yordamida o'rnatish orqali biz buni bilamiz ${ displaystyle q ( cdot)}$ qisqartirilgan ko'p o'zgaruvchan normal hisoblanadi. A ning tarqatish funktsiyasi normal kesilgan bu,

${ displaystyle { frac { phi ({ frac {x- mu} { sigma}})} { sigma ( Phi ({ frac {b- mu} { sigma}}) - Phi ({ frac {a- mu} { sigma}}))}}}$

Shuning uchun, ${ displaystyle y_ {j} ^ {*}}$ tarqatish,

${ displaystyle { begin {aligned} q ( mathbf {y_ {i} ^ {*}} | mathbf {X_ {i} beta}, Sigma) & = { frac {{ frac {1} {c_ {11}}} phi _ {1} { Big (} { frac {y_ {j} ^ {*} - x_ {1} beta} {c_ {11}}} { Big)} } {{ Big (} Phi _ {1} { Big (} { frac {b-x_ {1} beta} {c_ {11}}} { Big)} - Phi _ {1} { Big (} { frac {a-x_ {1} beta} {c_ {11}}} { Big)} { Big)}}} times dots times { frac {{ frac {1} {c_ {JJ}}} phi _ {J} { Big (} { frac {y_ {J} ^ {*} - (x_ {J} beta + c_ {J1} eta _ { 1} + c_ {J2} eta _ {2} + dots + c_ {JJ-1} eta _ {J-1})} {c_ {JJ}}} { Big)}} {{ Big (} Phi _ {J} { Big (} { frac {b- (x_ {J} beta + c_ {J1} eta _ {1} + c_ {J2} eta _ {2} + nuqtalar + c_ {JJ-1} eta _ {J-1})} {c_ {JJ}}} { Big)} - Phi _ {J} { Big (} { frac {a- (x_ {J} beta + c_ {J1} eta _ {1} + c_ {J2} eta _ {2} + dots + c_ {JJ-1} eta _ {J-1}} {c_ {JJ }}} { Big)} { Big)}}} & = { frac { prod _ {j = 1} ^ {J} { frac {1} {c_ {jj}}} phi _ {j} { Big (} { frac {y_ {j} ^ {*} - sum _ {k = 1} ^ {k$

qayerda ${ displaystyle phi _ {j}}$ tanlov uchun standart normal pdf ${ displaystyle j}$.

Chunki ${ displaystyle y_ {j | {y_ {k$ yuqoridagi standartlashtirish har bir atamani 0 dispersiyani 1 degan ma'noni anglatadi.

Ayiruvchiga ruxsat bering ${ displaystyle prod _ {j = 1} ^ {J} Phi _ {j} { Big (} { frac {b- sum _ {k = 1} ^ {k$ va raqamlovchi ${ displaystyle prod _ {j = 1} ^ {J} { frac {1} {c_ {jj}}} phi _ {j} { Big (} { frac {y_ {j} ^ {* } - sum _ {k = 1} ^ {k$ qayerda ${ displaystyle f_ {N} ( cdot)}$ ko'p o'zgaruvchan normal PDF.

Dastlabki maqsadga qaytish, baholash

${ displaystyle { begin {aligned} Pr ( mathbf {y_ {i}} | mathbf {X_ {i} beta}, Sigma) = & int _ {A_ {j}} f_ {N} ( mathbf {y} _ {i} ^ {*} | mathbf {X_ {i} beta}, Sigma) dy_ {j} ^ {*} end {aligned}}}$

Muhimlik namunalarini olishdan foydalanib biz ushbu integralni baholashimiz mumkin

${ displaystyle { begin {aligned} Pr ( mathbf {y_ {i}} | mathbf {X_ {i} beta}, Sigma) = & int _ {A_ {j}} f_ {N} ( mathbf {y} _ {i} ^ {*} | mathbf {X_ {i} beta}, Sigma) dy_ {j} ^ {*} = & int _ {A_ {j}} { frac {f_ {N} ( mathbf {y} _ {i} ^ {*} | mathbf {X_ {i} beta}, Sigma)} {q ( mathbf {y_ {i} ^ { *}} | mathbf {X_ {i} beta}, Sigma)}} q ( mathbf {y_ {i} ^ {*}} | mathbf {X_ {i} beta}, Sigma) dy_ {j} ^ {*} = & int _ {A_ {j}} { frac {f_ {N} ( mathbf {y} _ {i} ^ {*} | mathbf {X_ {i} beta}, Sigma)} { frac {f_ {N} ( mathbf {y} _ {i} ^ {*} | mathbf {X_ {i} beta}, Sigma)} { prod _ {j = 1} ^ {J} l_ {jj}}}} q ( mathbf {y_ {i} ^ {*}} | mathbf {X_ {i} beta}, Sigma) dy_ {j} ^ {*} = & mathbb {E} _ { mathbf {q}} { Big (} prod _ {j = 1} ^ {J} l_ {jj} { Big)} end {moslashtirilgan}}}$

Bu taxminan taxmin qilingan ${ displaystyle { frac {1} {S}} sum _ {s = 1} ^ {S} prod _ {j = 1} ^ {J} l_ {jj}}$.

Adabiyotlar