Umumiy sonli gamma taqsimoti - Generalized integer gamma distribution

Bu maqola manbalarga haddan tashqari ishonishi mumkin mavzu bilan juda chambarchas bog'liq, maqolaning mavjud bo'lishiga to'sqinlik qiladi tekshirilishi mumkin va neytral. Iltimos yordam bering uni yaxshilang ularni yanada mosroq bilan almashtirish orqali iqtiboslar ga ishonchli, mustaqil, uchinchi tomon manbalari. (2012 yil fevral) (Ushbu shablon xabarini qanday va qachon olib tashlashni bilib oling)

Yilda ehtimollik va statistika, umumlashtirilgan butun sonli gamma taqsimoti (GIG) - bu mustaqil yig'indining taqsimlanishi gamma taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchilar, barchasi tamsayı shakli parametrlari va har xil tezlik parametrlari bilan. Bu alohida holat umumlashtirilgan xi-kvadrat taqsimot. Tegishli tushuncha umumiy songa yaqin gamma taqsimoti (GNIG).

Ta'rif

The tasodifiy o'zgaruvchi ${ displaystyle X !}$ bor gamma taqsimoti bilan shakl parametri ${ displaystyle r}$ va tezlik parametri ${ displaystyle lambda}$ agar u bo'lsa ehtimollik zichligi funktsiyasi bu

${ displaystyle f_ {X} ^ {} (x) = { frac { lambda ^ {r}} { Gamma (r)}} , e ^ {- lambda x} x ^ {r-1} ~~~~~~ (x> 0; , lambda, r> 0)}$

va bu haqiqat bilan belgilanadi ${ displaystyle X sim Gamma (r, lambda) !.}$

Ruxsat bering ${ displaystyle X_ {j} sim Gamma (r_ {j}, lambda _ {j}) !}$, qayerda ${ displaystyle (j = 1, dots, p),}$ bo'lishi ${ displaystyle p}$ mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar, barchasi bilan ${ displaystyle r_ {j}}$ musbat tamsayılar va barchasi ${ displaystyle lambda _ {j} !}$ boshqacha. Boshqacha qilib aytganda, har bir o'zgaruvchiga Erlang tarqatish turli xil shakl parametrlari bilan. Har bir shakl parametrining o'ziga xosligi umumiylikni yo'qotmasdan keladi, chunki har qanday holatda ham ba'zi ${ displaystyle lambda _ {j}}$ teng bo'lsa, avval mos keladigan o'zgaruvchilarni qo'shish orqali muomala qilinadi: bu yig'indida bir xil tezlik parametri bo'lgan gamma taqsimoti va shakl taqsimoti dastlabki taqsimotlarda shakl parametrlari yig'indisiga teng bo'ladi.

Keyin tasodifiy o'zgaruvchi Y tomonidan belgilanadi

${ displaystyle Y = sum _ {j = 1} ^ {p} X_ {j}}$

chuqurlikning GIG (umumlashtirilgan tamsayıli gamma) taqsimotiga ega ${ displaystyle p}$ bilan shakl parametrlari ${ displaystyle r_ {j} !}$ va tezlik parametrlari ${ displaystyle lambda _ {j} !}$ ${ displaystyle (j = 1, nuqta, p)}$. Ushbu fakt bilan belgilanadi

${ displaystyle Y sim GIG (r_ {j}, lambda _ {j}; p) !.}$

Shuningdek, bu alohida holat umumlashtirilgan xi-kvadrat taqsimot.

Xususiyatlari

Ehtimollik zichligi funktsiyasi va kümülatif taqsimlash funktsiyasi ning Y tegishlicha tomonidan berilgan^[1][2][3]

${ displaystyle f_ {Y} ^ { text {GIG}} (y ​​| r_ {1}, nuqtalar, r_ {p}; lambda _ {1}, nuqtalar, lambda _ {p}) , = , K sum _ {j = 1} ^ {p} P_ {j} (y) , e ^ {- lambda _ {j} , y} ,, ~~~~ (y> 0 )}$

va

${ displaystyle F_ {Y} ^ { text {GIG}} (y ​​| r_ {1}, nuqtalar, r_ {j}; lambda _ {1}, nuqtalar, lambda _ {p}) , = , 1-K sum _ {j = 1} ^ {p} P_ {j} ^ {*} (y) , e ^ {- lambda _ {j} , y} ,, ~~ ~~ (y> 0)}$

qayerda

${ displaystyle K = prod _ {j = 1} ^ {p} lambda _ {j} ^ {r_ {j}} ~, ~~~~~ P_ {j} (y) = sum _ {k = 1} ^ {r_ {j}} c_ {j, k} , y ^ {k-1}}$

va

${ displaystyle P_ {j} ^ {*} (y) = sum _ {k = 1} ^ {r_ {j}} c_ {j, k} , (k-1)! sum _ {i = 0} ^ {k-1} { frac {y ^ {i}} {i! , Lambda _ {j} ^ {ki}}}}$

bilan

${ displaystyle c_ {j, r_ {j}} = { frac {1} {(r_ {j} -1)!}} , mathop { prod _ {i = 1} ^ {p}} _ {i neq j} ( lambda _ {i} - lambda _ {j}) ^ {- r_ {i}} ~, ~~~~~~ j = 1, ldots, p ,,}$

(1)

va

${ displaystyle c_ {j, r_ {j} -k} = { frac {1} {k}} sum _ {i = 1} ^ {k} { frac {(r_ {j} -k + i -1)!} {(R_ {j} -k-1)!}} , R (i, j, p) , c_ {j, r_ {j} - (ki)} ,, ~~~ ~~~ (k = 1, ldots, r_ {j} -1; , j = 1, ldots, p)}$

(2)

qayerda

${ displaystyle R (i, j, p) = mathop { sum _ {k = 1} ^ {p}} _ {k neq j} r_ {k} left ( lambda _ {j} - lambda _ {k} o'ng) ^ {- i} ~~~ (i = 1, ldots, r_ {j} -1) ,.}$

(3)

Muqobil iboralar bo'yicha adabiyotlarda mavjud umumlashtirilgan xi-kvadrat taqsimot, bu bir qator kompyuter algoritmlari bo'lgan maydon bir necha yillardan beri mavjud.

Umumlashtirish

Chuqurlikning GNIG (umumlashtirilgan tamsayali gamma) taqsimoti ${ displaystyle p + 1}$ tasodifiy o'zgaruvchining taqsimlanishi^[4]

${ displaystyle Z = Y_ {1} + Y_ {2} !,}$

qayerda ${ displaystyle Y_ {1} sim GIG (r_ {j}, lambda _ {j}; p) !}$ va ${ displaystyle Y_ {2} sim Gamma (r, lambda) !}$ ikkita mustaqil tasodifiy o'zgaruvchidir, bu erda ${ displaystyle r}$ musbat butun son bo'lmagan haqiqiy va qaerda ${ displaystyle lambda neq lambda _ {j}}$ ${ displaystyle (j = 1, nuqta, p)}$.

Xususiyatlari

Ning ehtimollik zichligi funktsiyasi ${ displaystyle Z !}$ tomonidan berilgan

${ displaystyle { begin {array} {l} displaystyle f_ {Z} ^ { text {GNIG}} (z | r_ {1}, dots, r_ {p}, r; , lambda _ { 1}, dots, lambda _ {p}, lambda) = [5pt] displaystyle quad quad quad K lambda ^ {r} sum limitlar _ {j = 1} ^ {p } {e ^ {- lambda _ {j} z}} sum limit _ {k = 1} ^ {r_ {j}} { left {{c_ {j, k} { frac { Gamma (k)} { Gamma (k + r)}} z ^ {k + r-1} {} _ {1} F_ {1} (r, k + r, - ( lambda - lambda _ {j }) z)} right }} { rm {,}} ~~~~ (z> 0) end {qator}}}$

va kumulyativ taqsimlash funktsiyasi tomonidan berilgan

${ displaystyle { begin {array} {l} displaystyle F_ {Z} ^ { text {GNIG}} (z | r_ {1}, ldots, r_ {p}, r; , lambda _ { 1}, ldots, lambda _ {p}, lambda) = { frac { lambda ^ {r} , {z ^ {r}}} { Gamma (r + 1)}} {} _ {1} F_ {1} (r, r + 1, - lambda z) [12pt] quad quad displaystyle -K lambda ^ {r} sum limitlar _ {j = 1} ^ { p} {e ^ {- lambda _ {j} z}} sum limitlar _ {k = 1} ^ {r_ {j}} {c_ {j, k} ^ {*}} sum limitlar _ {i = 0} ^ {k-1} { frac {z ^ {r + i} lambda _ {j} ^ {i}} { Gamma (r + 1 + i)}} {} _ {1 } F_ {1} (r, r + 1 + i, - ( lambda - lambda _ {j}) z) ~~~~ (z> 0) end {qator}}}$

qayerda

${ displaystyle c_ {j, k} ^ {*} = { frac {c_ {j, k}} { lambda _ {j} ^ {k}}} Gamma (k)}$

bilan ${ displaystyle c_ {j, k}}$ tomonidan berilgan (1)-(3) yuqorida. Yuqoridagi iboralarda ${ displaystyle _ {1} F_ {1} (a, b; z)}$ bu Qummerga biriktirilgan gipergeometrik funktsiya. Ushbu funktsiya odatda juda yaxshi konvergentsiya xususiyatlariga ega va bugungi kunda bir qator dasturiy ta'minot to'plamlari tomonidan osonlikcha boshqariladi.

Ilovalar

GIG va GNIG taqsimotlari ko'p sonli ehtimollik nisbati test statistikasi va tegishli statistik ma'lumotlarning aniq va aniq taqsimlanishi uchun asosdir. ko'p o'zgaruvchan tahlil. ^{[5][6][7][8][9]} Aniqrog'i, ushbu dastur odatda bunday statistikaning salbiy logaritmasini aniq va aniq taqsimlash uchun mo'ljallangan. Agar kerak bo'lsa, oddiy o'zgarish orqali tegishli ehtimollik nisbati test statistikasi uchun mos aniq yoki aniq taqsimotlarni olish oson. ^[4][10][11]

GIG tarqatish, shuningdek, bir qator uchun asosdir o'ralgan tarqatish o'ralgan gamma oilasida.^[12]

Maxsus hodisa sifatida umumlashtirilgan xi-kvadrat taqsimot, boshqa ko'plab dasturlar mavjud; masalan, yangilanish nazariyasida^[1] va ko'p antennali simsiz aloqada.^{[13][14][15][16]}

Kompyuter modullari

P.d.f.ni hisoblash uchun modullar. va c.d.f. ikkala GIG va GNIG taqsimotlari mavjud ushbu veb-sahifani aniq taqsimotlarda.

Adabiyotlar