Umumiy to'rtburchak - Generalized quadrangle

Yilda geometriya, a umumlashtirilgan to'rtburchak bu insidensiya tuzilishi uning asosiy xususiyati - bu uchburchaklarning etishmasligi (hali ko'p to'rtburchaklar mavjud). Umumlashgan to'rtburchak ta'rifi bo'yicha a qutb maydoni ikkinchi darajali. Ular umumlashtirilgan n-gons bilan n = 4 va 2n-gons yaqinida bilan n = 2. Ular ham aniq qisman geometriyalar pg (s,t, a) a = 1 bilan.

Ta'rif

Umumlashgan to'rtburchak bu insidensiya tuzilishi (P,B, I), I with bilan P × B an insidans munosabati, aniq qondirish aksiomalar. Ning elementlari P ta'rifi bo'yicha ochkolar umumiy to'rtburchakning elementlari B The chiziqlar. Aksiomalar quyidagilar:

• Bor s (s ≥ 1) har bir satrda aynan shunday bo'lishi kerak s + 1 ball. Ikki alohida chiziqda ko'pi bilan bitta nuqta bor.
• Bor t (t ≥ 1) shundayki, har bir nuqta orqali aniq bo'ladi t + 1 qator. Ikki alohida nuqta orqali eng ko'pi bitta chiziq mavjud.
• Har bir nuqta uchun p bir qatorda emas L, noyob chiziq mavjud M va noyob nuqta q, shu kabi p yoniq Mva q kuni M va L.

(s,t) parametrlar umumlashtirilgan to'rtburchakning. Parametrlar cheksiz bo'lishiga ruxsat beriladi. Agar shunday bo'lsa s yoki t bitta, umumlashtirilgan to'rtburchak deyiladi ahamiyatsiz. Masalan, 3x3 katak P = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} va B = {123, 456, 789, 147, 258, 369} - bu ahamiyatsiz GQ s = 2 va t = 1. Parametrlari bilan umumlashtirilgan to'rtburchak (s,t) ko'pincha GQ bilan belgilanadi (s,t).

Eng kichik ahamiyatsiz umumlashtirilgan to'rtburchak GQ (2,2), uning vakili 1973 yilda Sten Peyn tomonidan "choyshab" deb nomlangan.

Xususiyatlari

• ${ displaystyle | P | = (st + 1) (s + 1)}$
• ${ displaystyle | B | = (st + 1) (t + 1)}$
• ${ displaystyle (s + t) | st (s + 1) (t + 1)}$
• ${ displaystyle s neq 1 Longrightarrow t leq s ^ {2}}$
• ${ displaystyle t neq 1 Longrightarrow s leq t ^ {2}}$

Graflar

Umumlashtirilgan to'rtburchakdan olinadigan ikkita qiziqarli grafik mavjud.

• The kollinearlik grafigi umumiy burchakli to'rtburchakning nuqtalarini vertikal qilib, kollinear nuqtalarini ulagan holda. Ushbu grafik a qat'iy muntazam grafik parametrlari bilan ((s + 1) (st + 1), s (t + 1), s-1, t + 1) bu erda (s, t) GQ tartibi.
• The kasallanish grafigi ularning tepalari umumlashtirilgan to'rtburchakning nuqtalari va chiziqlari bo'lib, ikkita nuqta qo'shni, agar bittasi nuqta bo'lsa, ikkinchisi chiziq va nuqta chiziqda yotadi. Umumlashtirilgan to'rtburchakning tushish grafigi a bo'lishi bilan tavsiflanadi ulangan, ikki tomonlama grafik bilan diametri to'rt va atrofi sakkiz. Shuning uchun bu a Qafas. Bugungi kunda konfiguratsiyalarning grafika odatda chaqiriladi Levi grafikalari, lekin asl Levi grafigi GQ (2,2) ning tushish grafigi edi.

Ikkilik

Agar (P,B, I) - bu parametrlarga ega bo'lgan umumlashtirilgan to'rtburchak (s,t), keyin (B,P, Men⁻¹), men bilan⁻¹ teskari insidans munosabati, shuningdek, umumlashtirilgan to'rtburchakdir. Bu dual umumlashtirilgan to'rtburchak. Uning parametrlari (t,s). Xatto .. bo'lganda ham s = t, ikkilangan tuzilish asl tuzilish bilan izomorf bo'lmasligi kerak.

3 o'lchamdagi chiziqlar bilan umumlashtirilgan to'rtburchaklar

To'liq to'rtta to'rtburchaklar mavjud, ular har bir satrda uchta nuqta bor, to'rtburchak bo'sh chiziqlar to'plami, to'rtburchaklar barcha chiziqlar bilan belgilangan sobit nuqta orqali Wd (3, n) shamol tegirmoni grafigi, 3x3 o'lchamdagi panjara, W (2) to'rtburchak va noyob GQ (2,4). Ushbu beshta to'rtburchak beshtasiga to'g'ri keladi ildiz tizimlari ichida ADE darslari A_n, D._n, E₆, E₇ va E₈ , ya'ni oddiygina bog'langan ildiz tizimlari. Qarang ^[1] va.^[2]

Klassik umumlashtirilgan to'rtburchaklar

Uchun turli xil holatlarni ko'rib chiqayotganda qutb bo'shliqlari kamida uchta daraja va ularni 2-darajaga ekstrapolyatsiya qilganda, bu (cheklangan) umumlashtirilgan to'rtburchaklar topiladi:

• Giperbolik to'rtburchak ${ displaystyle Q ^ {+} (3, q)}$, parabolik to'rtburchak ${ displaystyle Q (4, q)}$ va elliptik to'rtburchak ${ displaystyle Q ^ {-} (5, q)}$ proektsion indeksli cheklangan maydonlar ustida proektsion bo'shliqlarda yagona mumkin bo'lgan kvadrikalar. Biz quyidagi parametrlarni topamiz:

${ displaystyle Q (3, q): s = q, t = 1}$ (bu shunchaki panjara)

${ displaystyle Q (4, q): s = q, t = q}$

${ displaystyle Q (5, q): s = q, t = q ^ {2}}$

• A hermitian xilma-xilligi ${ displaystyle H (n, q ^ {2})}$ agar u n 3 yoki 4 ga teng bo'lsa, proektiv ko'rsatkich 1 ga ega.

${ displaystyle H (3, q ^ {2}): s = q ^ {2}, t = q}$

${ displaystyle H (4, q ^ {2}): s = q ^ {2}, t = q ^ {3}}$

• Simpektik kutupluluk ${ displaystyle PG (2d + 1, q)}$ 1-o'lchamdagi maksimal izotropik pastki bo'shliqqa ega va agar shunday bo'lsa ${ displaystyle d = 1}$. Bu erda biz umumlashtirilgan to'rtburchakni topamiz ${ displaystyle W (3, q)}$, bilan ${ displaystyle s = q, t = q}$.

Dan olingan umumlashtirilgan to'rtburchak ${ displaystyle Q (4, q)}$ ning duali bilan har doim izomorfik bo'ladi ${ displaystyle W (3, q)}$va ular ikkalasi ham o'z-o'ziga xosdir va shu bilan bir-biriga izomorfdir va agar shunday bo'lsa ${ displaystyle q}$ hatto.

Klassik bo'lmagan misollar

• Ruxsat bering O bo'lishi a giperoval yilda ${ displaystyle PG (2, q)}$ bilan q juft asosiy kuch va proektsion (desarguesian) tekislikni joylashtiring ${ displaystyle pi}$ ichiga ${ displaystyle PG (3, q)}$. Endi insidensiya tuzilishini ko'rib chiqing ${ displaystyle T_ {2} ^ {*} (O)}$ bu erda barcha ballar emas ${ displaystyle pi}$, chiziqlar yoniq emas ${ displaystyle pi}$, kesishgan ${ displaystyle pi}$ bir nuqtada Ova kasallik tabiiydir. Bu (q-1, q + 1)-generalizatsiya qilingan to'rtburchak.
• Ruxsat bering q bo'lishi a asosiy kuch (toq yoki juft) va simpektik kutupluluğu ko'rib chiqing ${ displaystyle theta}$ yilda ${ displaystyle PG (3, q)}$. Ixtiyoriy nuqtani tanlang p va aniqlang ${ displaystyle pi = p ^ { theta}}$. Bizning tushish strukturamizning chiziqlari mutlaq chiziqlar yoniq bo'lmasin ${ displaystyle pi}$ orqali barcha chiziqlar bilan birga p yoqilmagan ${ displaystyle pi}$, va nuqtalar barcha nuqtalari bo'lsin ${ displaystyle PG (3, q)}$ ichida bo'lganlardan tashqari ${ displaystyle pi}$. Hodisa yana tabiiy holat. Biz yana bir bor a (q-1, q + 1)-generalizatsiya qilingan to'rtburchak

Parametrlar bo'yicha cheklovlar

Panjara va ikkita panjara yordamida har qanday tamsayı z, z ≥ 1 (1, parametrlari bilan umumlashtirilgan to'rtburchaklarga ruxsat beradiz) va (z, 1). Bundan tashqari, hozirgi kunga qadar faqat quyidagi parametrlarni topish mumkin edi q o'zboshimchalik bilan asosiy kuch  :

${ displaystyle (q, q)}$

${ displaystyle (q, q ^ {2})}$ va ${ displaystyle (q ^ {2}, q)}$

${ displaystyle (q ^ {2}, q ^ {3})}$ va ${ displaystyle (q ^ {3}, q ^ {2})}$

${ displaystyle (q-1, q + 1)}$ va ${ displaystyle (q + 1, q-1)}$

Adabiyotlar

• S. E. Peyn va J. A. Thas. Sonli umumlashtirilgan to'rtburchaklar. Matematikadagi ilmiy izohlar, 110. Pitman (Advanced Publishing Program), Boston, MA, 1984. vi + 312 pp. ISBN  0-273-08655-3, havola http://cage.ugent.be/~bamberg/FGQ.pdf