Geodezik xarita - Geodesic map

Yilda matematika - aniq, ichida differentsial geometriya - a geodeziya xaritasi (yoki geodezik xaritalash yoki geodezik diffeomorfizm) a funktsiya bu "saqlaydi geodeziya ". Aniqrog'i, ikkita (psevdo -)Riemann manifoldlari (M, g) va (N, h), funktsiya φ : M → N agar geodezik xarita deb aytilgan bo'lsa

  • φ a diffeomorfizm ning M ustiga N; va
  • ostidagi rasm φ har qanday geodeziya yoyi M geodezik yoydir N; va
  • ostidagi rasm teskari funktsiya φ−1 har qanday geodeziya yoyi N geodezik yoydir M.

Misollar

  • Agar (M, g) va (N, h) ikkalasi ham n-o'lchovli Evklid fazosi En odatdagi kvartirasi bilan metrik, keyin har qanday evklid izometriya ning geodezik xaritasi En o'zi ustiga.
  • Xuddi shunday, agar (M, g) va (N, h) ikkalasi ham no'lchov birligi soha Sn odatdagi dumaloq metrikasi bilan, sohaning har qanday izometriyasi geodezik xaritadir Sn o'zi ustiga.
  • Agar (M, g) birlik sharidir Sn odatdagi dumaloq metrikasi bilan va (N, h) ning sharidir radius 2 odatiy dumaloq metrikasi bilan, ikkalasi ham atrof-muhit koordinatalari maydonining pastki to'plamlari deb o'ylashadi Rn+1, keyin "kengayish" xaritasi φ : Rn+1 → Rn+1 tomonidan berilgan φ(x) = 2x ning geodezik xaritasini keltirib chiqaradi M ustiga N.
  • Evklid fazosidan geodezik xarita mavjud emas En birlik shariga Sn, chunki ular yo'q gomeomorfik, diffeomorfik u yoqda tursin.
  • The gnomonik proektsiya yarim sharning tekislikka geodezik xaritasi, chunki u katta doiralarni chiziqlarga, uning teskari yo'nalishi esa katta doiralarga olib boradi.
  • Ruxsat bering (D., g) bo'lishi birlik disk D. ⊂ R2 Evklid metrikasi bilan jihozlangan va (D., h) bilan jihozlangan bir xil disk bo'lishi kerak giperbolik metrik Poincaré disk modeli giperbolik geometriya. So'ngra, garchi ikkala struktura orqali diffeomorfik bo'lsa ham hisobga olish xaritasi men : D. → D., men bu emas beri geodeziya xaritasi g-geodeziya har doim to'g'ri chiziqlardir R2, aksincha h-geodeziya egri chiziqli bo'lishi mumkin.
  • Boshqa tomondan, giperbolik metrik yoqilganda D. tomonidan berilgan Klein modeli, identifikator men : D. → D. bu geodeziya xaritasi, chunki Klein modelidagi giperbolik geodeziya (evklid) to'g'ri chiziqli segmentlardir.

Adabiyotlar

  • Ambartzumian, R. V. (1982). Kombinatorial integral geometriya. Wiley seriyasi ehtimollar va matematik statistikada: ehtimolliklar va statistikaga oid traktlar. Nyu-York: John Wiley & Sons Inc. xvii + 221-betlar. ISBN  0-471-27977-3. JANOB  0679133.
  • Kreytsig, Ervin (1991). Differentsial geometriya. Nyu-York: Dover Publications Inc. xiv + 352-betlar. ISBN  0-486-66721-9. JANOB  1118149.

Tashqi havolalar