Uch o'zgaruvchan Laplas tenglamasi uchun Yashillar funktsiyasi - Greens function for the three-variable Laplace equation

Bu maqola uchun qo'shimcha iqtiboslar kerak tekshirish. Iltimos yordam bering ushbu maqolani yaxshilang tomonidan ishonchli manbalarga iqtiboslarni qo'shish. Ma'lumot manbasi bo'lmagan material shubha ostiga olinishi va olib tashlanishi mumkin. Manbalarni toping: "Uch o'zgaruvchan Laplas tenglamasi uchun Yashilning funktsiyasi"  – Yangiliklar  · gazetalar  · kitoblar  · olim  · JSTOR (2012 yil oktyabr) (Ushbu shablon xabarini qanday va qachon olib tashlashni bilib oling)

Yilda fizika, Yashilning funktsiyasi (yoki asosiy echim ) uchta o'zgaruvchida Laplas tenglamasi uchun ma'lum bir turdagi fizik tizimning a ga bo'lgan munosabatini tavsiflash uchun ishlatiladi nuqta manbai. Xususan, bu Yashilning vazifasi tomonidan tavsiflanishi mumkin bo'lgan tizimlarda paydo bo'ladi Puasson tenglamasi, a qisman differentsial tenglama (PDE) shakl

${ displaystyle nabla ^ {2} u ( mathbf {x}) = f ( mathbf {x})}$

qayerda ${ displaystyle nabla ^ {2}}$ bo'ladi Laplas operatori yilda ${ displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$, ${ displaystyle f ( mathbf {x})}$ tizimning manba atamasidir va ${ displaystyle u ( mathbf {x})}$ - bu tenglamaning echimi. Chunki ${ displaystyle nabla ^ {2}}$ chiziqli differentsial operator, echim ${ displaystyle u ( mathbf {x})}$ Ushbu turdagi umumiy tizimga manba taqsimoti bo'yicha integral sifatida yozish mumkin ${ displaystyle f ( mathbf {x})}$:

${ displaystyle u ( mathbf {x}) = int _ { mathbf {x} '} G ( mathbf {x}, mathbf {x'}) f ( mathbf {x '}) d mathbf {x} '}$

qaerda Yashilning vazifasi Laplas tenglamasi uchun uchta o'zgaruvchida ${ displaystyle G ( mathbf {x}, mathbf {x '})}$ tizimning javob nuqtasini tavsiflaydi ${ displaystyle mathbf {x}}$ da joylashgan nuqta manbasiga ${ displaystyle mathbf {x '}}$:

${ displaystyle nabla ^ {2} G ( mathbf {x}, mathbf {x '}) = delta ( mathbf {x} - mathbf {x'})}$

va nuqta manbai tomonidan berilgan ${ displaystyle delta ( mathbf {x} - mathbf {x '})}$, Dirac delta funktsiyasi.

Motivatsiya

Ushbu turdagi fizik tizim zaryadlarni taqsimlashdir elektrostatik. Bunday tizimda elektr maydoni .ning salbiy gradiyenti sifatida ifodalanadi elektr potentsiali va Gauss qonuni differentsial shaklda qo'llaniladi:

${ displaystyle mathbf {E} = - mathbf { nabla} phi ( mathbf {x})}$

${ displaystyle mathbf { nabla} cdot mathbf {E} = { frac { rho ( mathbf {x})} { varepsilon _ {0}}}}$

Ushbu iboralarni birlashtirish beradi

${ displaystyle - mathbf { nabla} ^ {2} phi ( mathbf {x}) = { frac { rho ( mathbf {x})} { varepsilon _ {0}}}}$ (Puasson tenglamasi.)

Buning echimini topishimiz mumkin ${ displaystyle phi ( mathbf {x})}$ ixtiyoriy zaryad taqsimotining ushbu tenglamasiga nuqta zaryadi tomonidan yaratilgan taqsimotni vaqtincha ko'rib chiqib ${ displaystyle q}$ joylashgan ${ displaystyle mathbf {x '}}$:

${ displaystyle rho ( mathbf {x}) = q delta ( mathbf {x} - mathbf {x '})}$

Ushbu holatda,

${ displaystyle - { frac { varepsilon _ {0}} {q}} mathbf { nabla} ^ {2} phi ( mathbf {x}) = delta ( mathbf {x} - mathbf {x '})}$

buni ko'rsatib turibdi ${ displaystyle G ( mathbf {x}, mathbf {x '})}$ uchun ${ displaystyle - { frac { varepsilon _ {0}} {q}} nabla ^ {2}}$ tizimning nuqta zaryadiga javobini beradi ${ displaystyle q}$. Shuning uchun, yuqoridagi munozaradan, agar biz ushbu operatorning Green funktsiyasini topsak, topamiz ${ displaystyle phi ( mathbf {x})}$ bolmoq

${ displaystyle phi ( mathbf {x}) = int _ { mathbf {x} '} G ( mathbf {x}, mathbf {x'}) rho ( mathbf {x '}) d mathbf {x} '}$

umumiy zaryad taqsimoti uchun.

Matematik ekspozitsiya

Bo'sh joy Yashilning vazifasi uchun Laplas tenglamasi uchta o'zgaruvchida ikki nuqta orasidagi o'zaro masofa berilgan va "nomi bilan tanilganNyuton yadrosi "yoki"Nyuton salohiyati ". Demak, tenglamaning echimi

${ displaystyle nabla ^ {2} G ( mathbf {x}, mathbf {x '}) = delta ( mathbf {x} - mathbf {x'})}$

bu

${ displaystyle G ( mathbf {x}, mathbf {x '}) = - { frac {1} {4 pi}} cdot { frac {1} {| mathbf {x} - mathbf {x '} |}},}$

qayerda ${ displaystyle mathbf {x} = (x, y, z)}$ uch o'lchovli kosmosdagi standart dekartian koordinatalari va ${ displaystyle , ! delta}$ bo'ladi Dirac delta funktsiyasi.

The algebraik ifoda doimiy o'zgaruvchidan tashqari uch o'zgaruvchan Laplas tenglamasi uchun Yashil funktsiyasining ${ displaystyle , ! - 1 / (4 pi)}$ ichida ifodalangan Dekart koordinatalari deb nomlanishi kerak

${ displaystyle { frac {1} {| mathbf {x} - mathbf {x '} |}} = [(xx ^ { prime}) ^ {2} + (yy ^ { prime}) ^ {2} + (zz ^ { prime}) ^ {2}] ^ {- { frac {1} {2}}}.}$

Yashilning funktsiyasi algebraik ifodasini hisobga olgan holda ko'plab kengayish formulalari mumkin. Ulardan eng taniqlilaridan biri Laplas kengayishi uch o'zgaruvchili Laplas tenglamasi uchun ishlab chiqarish funktsiyasi uchun Legendre polinomlari,

${ displaystyle { frac {1} {| mathbf {x} - mathbf {x '} |}} = sum _ {l = 0} ^ { infty} { frac {r _ {<} ^ { l}} {r _ {>} ^ {l + 1}}} P_ {l} ( cos gamma),}$

sferik koordinatalar bo'yicha yozilgan ${ displaystyle , ! (r, theta, varphi)}$. Belgilanishdan kichik (kattaroq) degani, ikkinchisidan (kattaroq) kichikligiga qarab, astarlangan yoki kesilmagan sferik radiusni oling. The ${ displaystyle , ! gamma}$ ikkita ixtiyoriy vektor orasidagi burchakni ifodalaydi ${ displaystyle ( mathbf {x}, mathbf {x '})}$ tomonidan berilgan

${ displaystyle cos gamma = cos theta cos theta ^ { prime} + sin theta sin theta ^ { prime} cos ( varphi - varphi ^ { prime}). }$

Erkin bo'shliqli dumaloq silindrsimon Yashilning funktsiyasi (pastga qarang) ikki nuqta orasidagi o'zaro masofa bo'yicha berilgan. Ushbu ibora Jeksonnikidan olingan Klassik elektrodinamika.^[1] Uch o'zgaruvchan Laplas tenglamasi uchun Green funktsiyasidan foydalanib, ni integrallash mumkin Puasson tenglamasi potentsial funktsiyani aniqlash maqsadida. Yashilning funktsiyalari ajratiladigan yordamida aniqlanadigan asosiy elementlar (harmonik funktsiyalar) bo'yicha kengaytirilishi mumkin koordinatali tizimlar uchun chiziqli qisman differentsial tenglama. Yashil funktsiyasi uchun maxsus funktsiyalar bo'yicha ko'plab kengayishlar mavjud. Chegaraga chegara qo'yilgan chegara sharti bilan chegara yechimni nolga tenglashtiradigan bo'lsa, u holda cheksiz darajada Green funktsiyasi mavjud. Uch o'zgaruvchan Laplas tenglamasi uchun, masalan, uni o'zgaruvchan o'zgarmas koordinatali tizimlarda kengaytirish mumkin o'zgaruvchilarni ajratish. Masalan; misol uchun:

${ displaystyle { frac {1} {| mathbf {x} - mathbf {x '} |}} = { frac {1} { pi { sqrt {RR ^ { prime}}}}}} sum _ {m = - infty} ^ { infty} e ^ {im ( varphi - varphi ^ { prime})} Q_ {m - { frac {1} {2}}} ( chi )}$

qayerda

${ displaystyle chi = { frac {R ^ {2} + {R ^ { prime}} ^ {2} + (zz ^ { prime}) ^ {2}} {2RR ^ { prime}} }}$

va ${ displaystyle , ! Q_ {m - { frac {1} {2}}} ( chi)}$ toq yarim butun daraja Legendre funktsiyasi toroidal garmonik bo'lgan ikkinchi turdagi. Bu erda kengayish silindrsimon koordinatalar bo'yicha yozilgan ${ displaystyle , ! (R, varphi, z)}$. Masalan, qarang Toroidal koordinatalar.

Ulardan birini ishlatish Whipple formulalari toroidal harmonikalar uchun biz Green funktsiyasining muqobil shaklini olishimiz mumkin

${ displaystyle { frac {1} {| mathbf {x} - mathbf {x '} |}} = { sqrt { frac { pi} {2RR ^ { prime} ( chi ^ {2 } -1) ^ {1/2}}}} sum _ {m = - infty} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {m}} { Gamma (m + 1/2) )}} P _ {- { frac {1} {2}}} ^ {m} { biggl (} { frac { chi} { sqrt { chi ^ {2} -1}}} { biggr)} e ^ {im ( varphi - varphi ^ { prime})}}$

birinchi turdagi toroidal harmonika uchun.

Ushbu formuladan 1999 yilda nashr etilgan maqolada astrofizikani qo'llash uchun foydalanilgan Astrofizika jurnali, Howard Cohl va Joel Tohline tomonidan nashr etilgan.^[2] Yuqorida aytib o'tilgan formulalar muhandislar jamoasida ham ma'lum. Masalan, .da yozilgan qog'oz Amaliy fizika jurnali 1947 yil 18-jildda 562-577 betlarda N.G. De Bruijn va C.J.Bukamp yuqoridagi munosabatlarni bilishgan. Darhaqiqat, so'nggi matematikalarda deyarli barcha matematikani allaqachon Chester Snow amalga oshirgan. Bu uning nomli kitobida uchraydi Potentsial nazariyasining integral tenglamalariga qo'llaniladigan gipergeometrik va Legendre funktsiyalar, Amaliy matematika milliy standartlar byurosi 1952 yil 19-seriya. 228-263-betlarga qarang. Chester Snouning "Silindrsimon bobinlar va halqasimon bobinlarning magnit maydonlari" (Milliy standartlar byurosi, Amaliy matematik seriya 38, 1953 yil 30-dekabr) maqolasida, bo'shliqning Greenning silindrsimon koordinatalardagi funktsiyasi bilan Q o'rtasidagi bog'liqlik aniq ko'rsatilgan. -funktsiya ifodasi. Xuddi shu tarzda, Snoudning yana bir asarini ko'ring, u "Hisoblash qobiliyati va induktivani hisoblash formulalari" deb nomlangan, Milliy standartlar byurosi Dumaloq 544, 1954 yil 10 sentyabr, 13-41 bet. Darhaqiqat, toroidal funktsiyalar va ularning muhandislik yoki fizikada qo'llanilishi haqida yaqinda ko'p narsa chop etilmadi. Biroq, bir qator muhandislik dasturlari mavjud. Bitta ariza e'lon qilindi; maqola J.P.Selvaggi, S. Salon, O. Kvon va M.V.K tomonidan yozilgan. Chari, "Doimiy magnitli dvigatellarda doimiy magnitdan tashqi magnit maydonni hisoblash - alternativ usul", IEEE Magnetic on Transaction, Vol. 40, № 5, 2004 yil sentyabr. Ushbu mualliflar ikkinchi turdagi Legendre funktsiyalari va nol darajadagi yarim integral darajalari yoki toroidal funktsiyalari bilan katta ish olib bordilar. Toroidal funktsiyalarni ishlatadigan dairesel silindrsimon simmetriyani namoyish etadigan ko'plab muammolarni hal qildilar.

Uch o'zgaruvchan Laplas tenglamasi uchun Yashil funktsiyasi uchun yuqoridagi iboralar ushbu Yashil funktsiyasi uchun bitta yig'indisi ifodalariga misol bo'la oladi. Ushbu Yashilning funktsiyasi uchun bitta integralli iboralar ham mavjud. Bunga misollar aylanma silindrsimon koordinatalarda integral sifatida mavjudligini ko'rish mumkin Laplasning o'zgarishi vertikal balandliklar farqida, uning yadrosi tartib-nol tartibida birinchi turdagi Bessel funktsiyasi bo'yicha berilgan

${ displaystyle { frac {1} {| mathbf {x} - mathbf {x '} |}} = int _ {0} ^ { infty} J_ {0} { biggl (} k { sqrt {R ^ {2} + {R ^ { prime}} ^ {2} -2RR ^ { prime} cos ( varphi - varphi ^ { prime})}} { biggr)} e ^ {-k (z _ {>} - z _ {<})} , dk,}$

qayerda ${ displaystyle , ! z _ {>} (z _ {<})}$ katta (kichik) o'zgaruvchilar ${ displaystyle , ! z}$ va ${ displaystyle , ! z ^ { prime}}$.Shunga o'xshab, uch o'zgaruvchan Laplas tenglamasi uchun Yashilning vazifasini Furye integrali sifatida berish mumkin kosinus o'zgarishi yadrosi ikkinchi darajali tartibli-nolga o'zgartirilgan Bessel funktsiyasi bo'yicha berilgan vertikal balandliklar farqining

${ displaystyle { frac {1} {| mathbf {x} - mathbf {x '} |}} = { frac {2} { pi}} int _ {0} ^ { infty} K_ {0} { biggl (} k { sqrt {R ^ {2} + {R ^ { prime}} ^ {2} -2RR ^ { prime} cos ( varphi - varphi ^ { prime })}} { biggr)} cos {k (zz ^ { prime})} , dk.}$

Uch o'zgaruvchan Laplas tenglamasi uchun aylanma o'zgarmas Green funktsiyalari

Yashilning funktsiyasini kengaytirish barcha o'zgaruvchan koordinatali tizimlarda mavjud bo'lib, ular o'zgaruvchini ajratish texnikasi orqali uchta o'zgaruvchan Laplas tenglamasiga echimlarni berishi ma'lum.

Shuningdek qarang

• Nyuton salohiyati
• Laplas kengayishi

Adabiyotlar