Harish-Chandras c-funktsiyasi - Harish-Chandras c-function

Yilda matematika, Xarish-Chandraning v-funktsiya bilan bog'liq funktsiya aralashish operatori ikkitasi o'rtasida asosiy seriyalar da ko'rinadigan vakolatxonalar Plancherel o'lchovi uchun semisimple Yolg'on guruhlari. Xarish-Chandra (1958a, 1958b a) ning asimptotik harakati nuqtai nazaridan aniqlangan uning alohida holatini kiritdi zonal sferik funktsiya Yolg'on guruhi va Xarish-Chandra (1970 ) umumiyroq ma'noga ega v-funktsiya chaqirildi Xarish-Chandraning (umumlashtirilgan) C-funktsiya. Gindikin va Karpelevich (1962, 1969 ) bilan tanishtirdi Gindikin-Karpelevich formulasi, Xarish-Chandraning mahsulot formulasi v-funktsiya.

Xarish-Chandraning v-funktsiya

Gindikin-Karpelevich formulasi

C-funktsiyasi umumlashtirishga ega v_w(λ) elementga qarab w ning Veyl guruhi Eng katta uzunlikdagi noyob elements₀, Veyl kamerasini olib yuruvchi noyob element ${ displaystyle { mathfrak {a}} _ {+} ^ {*}}$ ustiga ${ displaystyle - { mathfrak {a}} _ {+} ^ {*}}$ . Xarish-Chandraning integral formulasi bo'yicha v_s₀ Xarish-Chandranikidir v-funktsiya:

{ displaystyle c ( lambda) = c_ {s_ {0}} ( lambda).}

The v-funktsiyalar umuman tenglama bilan belgilanadi

{ displaystyle displaystyle A (s, lambda) xi _ {0} = c_ {s} ( lambda) xi _ {0},}

qaerda ξ₀ $ L $ ning doimiy funktsiyasi²(K/M). Bir-biriga bog'langan operatorlarning koksikulyar xususiyati uchun shunga o'xshash multiplikatsion xususiyatni nazarda tutadi v-funktsiyalari:

{ displaystyle c_ {s_ {1} s_ {2}} ( lambda) = c_ {s_ {1}} (s_ {2} lambda) c_ {s_ {2}} ( lambda)}

taqdim etilgan

{ displaystyle ell (s_ {1} s_ {2}) = ell (s_ {1}) + ell (s_ {2}).}

Bu hisoblashni kamaytiradi v_s holatga qachon s = s_a, a (oddiy) ildizdagi aks, ya'ni "darajadagi pasayish" Gindikin va Karpelevich (1962). Aslida integral faqat yopiq bog'langan kichik guruhni o'z ichiga oladi G^a tomonidan yaratilgan Lie subalgebrasiga mos keladi ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ { pm alpha}}$ bu erda $ a $ $ phi $ ga to'g'ri keladi₀⁺. Keyin G^a Haqiqiy yarim martabali yolg'on guruhi, bu birinchi darajali, ya'ni xira A^a = 1 va v_s shunchaki Xarish-Chandra v-funktsiyasi G^a. Bu holda v-funktsiyani to'g'ridan-to'g'ri hisoblash mumkin va tomonidan berilgan

{ displaystyle c_ {s _ { alpha}} ( lambda) = c_ {0} {2 ^ {- i ( lambda, alfa _ {0})}} Gamma (i ( lambda, alpha _ {) 0})) over Gamma ({1 over 2} ({1 over 2} m _ { alpha} + 1 + i ( lambda, alpha _ {0}))) Gamma ({1 over 2} ({1 2} dan ortiq m _ { alfa} + m_ {2 alfa} + i ( lambda, alfa _ {0}))},}

qayerda

{ displaystyle c_ {0} = 2 ^ {m _ { alpha} / 2 + m_ {2 alfa}} Gamma left ({1 over 2} (m _ { alpha} + m_ {2 alpha}) +1) o'ng)}

va a₀= a / a a, a b.

Uchun umumiy Gindikin-Karpelevich formulasi v(λ) - bu formulaning bevosita natijasi va ning multiplikativ xususiyatlari v_s(λ), quyidagicha:

{ displaystyle c ( lambda) = c_ {0} prod _ { alpha in Sigma _ {0} ^ {+}} {2 ^ {- i ( lambda, alpha _ {0})} Gamma (i ( lambda, alfa _ {0})) over Gamma ({1 over 2} ({1 over 2} m _ { alpha} + + 1 + i ( lambda, alpha _) {0})) Gamma ({1 2} dan yuqori ({1 2} dan ortiq m _ { alfa} + m_ {2 alfa} + i ( lambda, alfa _ {0}))},}

qaerda doimiy v₀ shunday tanlangan v(–Ir) = 1 (Helgason 2000, s.447).

Plancherel o'lchovi

The v-funktsiya paydo bo'ladi Sferik funktsiyalar uchun Plancherel teoremasi va Plancherel o'lchovi 1 /v² Lebesg o'lchovi.

Umumlashtirilgan C funktsiyasi

p-adic Lie guruhlari

Shunga o'xshash narsa bor vuchun funktsiya p-adiy yolg'on guruhlari. Makdonald (1968, 1971 ) va Langlendlar (1971) uchun o'xshash mahsulot formulasini topdi va funktsiyasi p-adik yolg'on guruhi.

Adabiyotlar

Kon, Lesli (1974), Xarish-Chandra C-funktsiyasining analitik nazariyasi, Matematikadan ma'ruza matnlari, 429, Berlin, Nyu-York: Springer-Verlag, doi:10.1007 / BFb0064335, JANOB 0422509
Doran, Robert S.; Varadarajan, V. S., nashr. (2000), "Xarish-Chandraning matematik merosi", Harish-Chandraning tavalludining 75 yilligi munosabati bilan o'tkazilgan Vakillik nazariyasi va noaniq harmonik tahlil bo'yicha AMS maxsus sessiyasining materiallari, MD, Baltimor, 9-10 yanvar, 1998, Sof matematikadan simpoziumlar to'plami, 68, Providence, R.I .: Amerika matematik jamiyati, xii + 551, ISBN 978-0-8218-1197-9, JANOB 1767886
Gindikin, S. G.; Karpelevich, F. I. (1962), "Ijobiy bo'lmagan egrilikning simmetrik Riemann bo'shliqlari uchun plancherel o'lchovi", Sovet matematikasi. Dokl., 3: 962–965, ISSN 0002-3264, JANOB 0150239
Gindikin, S. G.; Karpelevich, F. I. (1969) [1966], "Riemann simmetrik bo'shliqlari bilan bog'liq integral haqida", Funktsional tahlil va geometriya bo'yicha o'n ikkita maqola, Amerika matematik jamiyati tarjimalari, 85, 249–258 betlar, ISBN 978-0-8218-1785-8, JANOB 0222219
Xarish-Chandra (1958a), "Yarim sodda yolg'on guruhidagi sferik funktsiyalar. Men", Amerika matematika jurnali, 80: 241–310, doi:10.2307/2372786, ISSN 0002-9327, JSTOR 2372786, JANOB 0094407
Xarish-Chandra (1958b), "Yarim simsiz yolg'on guruhdagi sferik funktsiyalar II", Amerika matematika jurnali, Jons Xopkins universiteti matbuoti, 80 (3): 553–613, doi:10.2307/2372772, ISSN 0002-9327, JSTOR 2372772
Xarish-Chandra (1970), "Yarimsozli yolg'on guruhlaridagi harmonik tahlil", Amerika Matematik Jamiyati Axborotnomasi, 76: 529–551, doi:10.1090 / S0002-9904-1970-12442-9, ISSN 0002-9904, JANOB 0257282
Helgason, Sigurdur (1994), "Xarish-Chandraning c-funktsiyasi. Matematik marvarid", Tannerda, Elizabeth A.; Uilson., Raj (tahrir), Kompakt bo'lmagan yolg'on guruhlar va ularning ba'zi ilovalari (San-Antonio, TX, 1993), NATO Adv. Ilmiy ish. Inst. Ser. S matematikasi. Fizika. Ilmiy., 429, Dordrext: Kluwer Acad. Publ., 55-67 betlar, ISBN 978-0-7923-2787-5, JANOB 1306516, Qayta chop etilgan (Doran va Varadarajan 2000 yil )
Helgason, Sigurdur (2000) [1984], Guruhlar va geometrik tahlil, Matematik tadqiqotlar va monografiyalar, 83, Providence, R.I .: Amerika matematik jamiyati, ISBN 978-0-8218-2673-7, JANOB 1790156
Knapp, Entoni V. (2003), "Gindikin-Karpelevich formulasi va o'zaro bog'liq operatorlar", Gindikin, S. G. (tahr.), Yolg'on guruhlari va nosimmetrik bo'shliqlar. F. I. Karpelevich xotirasi uchun, Amer. Matematika. Soc. Tarjima. Ser. 2, 210, Providence, R.I .: Amerika matematik jamiyati, 145-159 betlar, ISBN 978-0-8218-3472-5, JANOB 2018359
Langlendlar, Robert P. (1971) [1967], Eyler mahsulotlari, Yel universiteti matbuoti, ISBN 978-0-300-01395-5, JANOB 0419366
Makdonald, I. G. (1968), "P-adic Chevalley guruhidagi sferik funktsiyalar", Amerika Matematik Jamiyati Axborotnomasi, 74 (3): 520–525, doi:10.1090 / S0002-9904-1968-11989-5, ISSN 0002-9904, JANOB 0222089
Makdonald, I. G. (1971), P-adic tipidagi sferik funktsiyalar, Ramanujan instituti ma'ruza yozuvlari, 2, Ramanujan instituti, Madras universiteti, Madras, Matematika bo'yicha ilg'or tadqiqotlar markazi, JANOB 0435301
Uolach, Nolan R (1975), "Xarish-Chandraning umumlashtirilgan S funktsiyalari to'g'risida", Amerika matematika jurnali, 97: 386–403, doi:10.2307/2373718, ISSN 0002-9327, JSTOR 2373718, JANOB 0399357