Xarish-Chandras muntazamligi teoremasi - Harish-Chandras regularity theorem

Matematikada, Xarish-Chandraning muntazamlik teoremasitomonidan kiritilgan Xarish-Chandra  (1963 ), har bir o'zgarmas shaxsiy taqsimot a semisimple Lie group va xususan, har bir belgi qisqartirilmaydigan unitar vakillik a Hilbert maydoni, a tomonidan berilgan mahalliy darajada integral funktsiya. Xarish-Chandra (1978, 1999 ) shunga o'xshash teoremani yarim yarim uchun isbotladi p-adik guruhlar.

Xarish-Chandra (1955, 1956 ) ilgari har qanday o'zgarmas taqsimot guruhning muntazam elementlari bo'yicha analitik ekanligini ko'rsatib, bu elementlarda bu elliptik eritma ekanligini ko'rsatdi differentsial tenglama. Muammo shundaki, u guruhning birlik elementlarida o'ziga xos xususiyatlarga ega bo'lishi mumkin; muntazamlik teoremasi bu o'ziga xosliklarning unchalik jiddiy emasligini anglatadi.

Bayonot

Guruh bo'yicha tarqatish G yoki uning Lie algebrasi deyiladi o'zgarmas tomonidan konjugatsiya ostida o'zgarmas bo'lsa G.

Guruh bo'yicha tarqatish G yoki uning Lie algebrasi an deyiladi shaxsiy taqsimlash agar u universal o'ralgan algebra markazining o'ziga xos vektori bo'lsa G (ning chap va o'ng o'zgarmas differentsial operatorlari bilan aniqlangan G.

Xarish-Chandraning muntazamlik teoremasi shuni ta'kidlaydiki, yarim yarim guruhdagi yoki Lie algebrasidagi har qanday o'zgarmas o'zaro taqsimlash mahalliy darajada integral funktsiya hisoblanadi. Uni taqsimlash sharti, uning universal o'rab turgan algebra markazi ostidagi tasviri cheklangan o'lchovli bo'lishi sharti bilan biroz yumshatilishi mumkin. Muntazamlik teoremasi, shuningdek, har bir karton subalgebrasida taqsimotni eksponentlarning cheklangan yig'indisi sifatida, funktsiyaga bo'lingan $ f $ funktsiyasiga bo'linishi mumkin. Weyl belgilar formulasi.

Isbot

Xarish-Chandraning muntazamlik teoremasining asl isboti beshta hujjat ketma-ketligida keltirilgan (Xarish-Chandra)1964a, 1964b, 1964 yil, 1965a, 1965b ).Atiya (1988) SL ishi uchun Xarish-Chandraning muntazamlik teoremasini isbotlovchi ekspozitsiyani taqdim etdi2(R) va uni umumlashtirishni yuqori darajadagi guruhlarga eskiz qildi.

Ko'pgina dalillarni quyidagi bosqichlarga bo'lish mumkin.

  • 1-qadam. Agar $ mathbb {g} $ o'zgarmas taqsimot bo'lsa, u $ ning muntazam elementlari bo'yicha analitik hisoblanadi G. Bu quyidagidan kelib chiqadi elliptik muntazamlik, universal o'ralgan algebra markazida har qanday muntazam orbitada "G orbitasiga elliptik ko'ndalang" elementi borligini ko'rsatish orqali.
  • 2-qadam. Agar $ infty $ o'zgarmaydigan o'zaro taqsimot bo'lsa, unda uning oddiy elementlari bilan cheklanishi G mahalliy sifatida birlashtirilishi mumkin G. (Bu odatiy bo'lmagan elementlar sifatida mantiqiy G nol o'lchovga ega bo'ling.) Buning natijasida har bir karton subalgebrasida $ Delta $ eksponentlarning cheklangan yig'indisi bo'lib, bu erda $ mathbb {L} $ asosan Veyl denominatori formulasining maxraji bo'lib, $ 1 / phi $ mahalliy darajada integrallanadi.
  • 3-qadam. 1 va 2-bosqichlar bo'yicha o'zgarmaydigan o'zaro taqsimlash Θ yig'indidir S+F qayerda F mahalliy darajada integral funktsiya va S ning birlik elementlarida qo'llab-quvvatlanadi G. Muammo shundan iborat S yo'qoladi. Bu birlik elementlari to'plamini tabaqalash orqali amalga oshiriladi G ning mahalliy yopiq submanifoldlari birlashmasi sifatida G va qatlamlarning kodimensiyasida induksiyadan foydalanish. Differentsial tenglamaning o'ziga xos funktsiyasi shaklga ega bo'lishi mumkin S+F bilan F mahalliy darajada integral va S submanifoldda yagona qo'llab-quvvatlashga ega bo'lish, bu faqat differentsial operator ba'zi cheklash shartlarini qondirgan taqdirdagina mumkin. Keyin Casimir operatorini tekshirib ko'rish mumkin G majbur qiladigan birliklar to'plamida bu shartlarni qondirmaydi S yo'q bo'lib ketmoq.

Adabiyotlar