Algebra o'zgarmasligi - Hasse invariant of an algebra

Yilda matematika, Algebra o'zgarmasligi ga biriktirilgan invariant Brauer sinfi ning dala ustida algebralar. Kontseptsiya nomi bilan nomlangan Helmut Hasse. O'zgarmas rol o'ynaydi mahalliy sinf maydon nazariyasi.

Mahalliy dalalar

Ruxsat bering K bo'lishi a mahalliy dala baho bilan v va D. a K-algebra. Biz taxmin qilishimiz mumkin D. a bo'linish algebra markaz bilan K daraja n. Baholash v ga kengaytirilishi mumkin D.Masalan, uni har bir komutativ pastki maydonga mos ravishda kengaytirish orqali D.: ushbu bahoning qiymat guruhi (1 /n)Z.[1]

Kommutativ subfild mavjud L ning D. bu raqamlanmagan Kva D. bo'linadi L.[2] Maydon L noyob emas, ammo barcha bunday kengaytmalar Skolem-Noeter teoremasi, bundan tashqari har qanday avtomorfizm L in kelishigi bilan vujudga keladi D.. Kiring D. conj bilan konjugatsiya Frobenius avtomorfizmini keltirib chiqaradi L/K va ruxsat bering v(γ) = k/n. Keyin k/n modulo 1 ning Hasse o'zgarmasidir D.. Bu faqat Brauer sinfiga bog'liq D..[3]

Shunday qilib Hasse invariant -da aniqlangan xarita Brauer guruhi a mahalliy dala K uchun bo'linadigan guruh Q/Z.[3][4] Brauer guruhidagi har bir sinf Brauer guruhidagi raqamlanmagan kengaytmali sinf bilan ifodalanadi L/K daraja n,[5] qaysi tomonidan Grunvald - Vang teoremasi va Albert – Brauer – Xass – Noeter teoremasi a bo'lishi mumkin tsiklik algebra (L, φ, πk) ba'zi uchun k mod n, bu erda φ Frobenius xaritasi va π birlashtiruvchi.[6] O'zgarmas xarita elementni biriktiradi k/n sinfga mod 1. Bu o'zgarmas xaritani homomorfizm sifatida namoyish etadi

O'zgarmas xarita Br (K) har bir sinfni ba'zi bir Br (L/K) yuqoridagi kabi.[3][4]

Arximed bo'lmagan mahalliy maydon uchun invariant xarita guruh izomorfizmi.[3][7]

Maydon holatida R ning haqiqiy raqamlar, algebra bilan ifodalanadigan ikkita Brauer klassi mavjud R o'zi va kvaternion algebra H.[8] Ning sinfiga o'zgarmas nolni berish qulay R va kvaternion sinfiga o'zgarmas 1/2 modul 1.

Maydon holatida C murakkab sonlarning yagona Brauer klassi ahamiyatsiz, o'zgarmas nolga ega.[9]

Global maydonlar

Global maydon uchun K, markaziy oddiy algebra berilgan D. ustida K keyin har bir baholash uchun v ning K skalar kengayishini ko'rib chiqishimiz mumkin D.v = D. ⊗ Kv Kengaytma D.v hamma uchun bo'linadi, lekin ko'plari uchun v, shunday qilib mahalliy o'zgarmas ning D.v deyarli har doim nolga teng. Brauer guruhi Br (K) ga to'g'ri keladi aniq ketma-ketlik[8][9]

qayerda S ning barcha qiymatlari to'plamidir K va o'ng o'q mahalliy invariantlarning yig'indisidir. Chap o'qning in'ektsionligi - ning mazmuni Albert – Brauer – Xass – Noeter teoremasi. O'rta muddatli istiqbolda aniqlik chuqur faktdir global sinf maydon nazariyasi.

Adabiyotlar

  1. ^ Serre (1967) p.137
  2. ^ Serre (1967) s.130,138
  3. ^ a b v d Serre (1967) p.138
  4. ^ a b Lorenz (2008) s.232
  5. ^ Lorenz (2008) s.225-226
  6. ^ Lorenz (2008) s.226
  7. ^ Lorenz (2008) s.233
  8. ^ a b Serre (1979) s.163
  9. ^ a b Gille va Szamuely (2006) 159-bet
  • Gill, Filipp; Szamuely, Tamás (2006). Markaziy oddiy algebralar va Galois kohomologiyasi. Kengaytirilgan matematikadan Kembrij tadqiqotlari. 101. Kembrij: Kembrij universiteti matbuoti. ISBN  0-521-86103-9. Zbl  1137.12001.
  • Lorenz, Falko (2008). Algebra. II jild: tuzilishga ega maydonlar, algebralar va rivojlangan mavzular. Springer. 231-238 betlar. ISBN  978-0-387-72487-4. Zbl  1130.12001.
  • Ser, Jan-Per (1967). "VI. Mahalliy sinf maydon nazariyasi". Yilda Kassellar, J.W.S.; Fruhlich, A. (tahr.). Algebraik sonlar nazariyasi. London Matematik Jamiyati (NATOning Kengaytirilgan O'rganish Instituti) tomonidan Xalqaro Matematik Ittifoqi ko'magida tashkil etilgan o'quv-uslubiy konferentsiya materiallari.. London: Academic Press. 128–161 betlar. Zbl  0153.07403.
  • Ser, Jan-Per (1979). Mahalliy dalalar. Matematikadan aspirantura matnlari. 67. Tarjima qilingan Grinberg, Marvin Jey. Springer-Verlag. ISBN  0-387-90424-7. Zbl  0423.12016.

Qo'shimcha o'qish