Gomoklinik orbitasi - Homoclinic orbit

Gomoklinika orbitasi

Yo'naltirilgan gomoklinika orbitasi

Bükülü gomoklinika orbitasi

Yilda matematika, a homoklinik orbitasi a ning traektoriyasidir oqim a dinamik tizim bu egarning muvozanat nuqtasini o'ziga qaratadi. Aniqrog'i, gomoklinika orbitasi ning kesishmasida yotadi barqaror manifold va beqaror manifold ning muvozanat.

Tomonidan tavsiflangan doimiy dinamik tizimni ko'rib chiqing ODE

{displaystyle {nuqta {x}} = f (x)}

Da muvozanat mavjud deylik ${displaystyle x = x_ {0}}$ , keyin echim ${displaystyle Phi (t)}$ agar gomoklinik orbitadir

{displaystyle Phi (t) qurol-yarog 'x_ {0} to'rtburchak mathrm {as} to'rtburchaklar tor soat pm infty}

Agar fazaviy bo'shliq uch yoki undan ortiq o'lchamlarga ega, keyin e'tiborga olish muhimdir topologiya egar nuqtasining beqaror kollektorining. Raqamlar ikkita holatni ko'rsatadi. Birinchidan, barqaror kollektor topologik jihatdan silindr bo'lsa, ikkinchidan, beqaror kollektor topologik jihatdan Mobius chizig'i; bu holda gomoklinika orbitasi chaqiriladi o'ralgan.

Diskret dinamik tizim

Gomoklinik orbitalar va gomoklinik punktlar uchun xuddi shu tarzda aniqlanadi takrorlanadigan funktsiyalar, ning kesishishi sifatida barqaror to'plam va beqaror to'plam ba'zilari sobit nuqta yoki davriy nuqta tizimning.

Diskret dinamik tizimlarni ko'rib chiqishda bizda ham homoklinika orbitasi tushunchasi mavjud. Bunday holatda, agar ${displaystyle f: Mightarrow M}$ a diffeomorfizm a ko'p qirrali ${displaystyle M}$ , biz buni aytamiz ${displaystyle x}$ agar u o'tmishi va kelajagi bir xil bo'lsa, aniqroq, agar doimiy (yoki davriy) nuqta bo'lsa, homoklinik nuqta ${displaystyle p}$ shu kabi

{displaystyle lim _ {nightarrow pm infty} f ^ {n} (x) = p.}

Xususiyatlari

Bitta gomoklinik nuqtaning mavjudligi ularning cheksiz ko'pligini anglatadi.^[1]Bu uning ta'rifidan kelib chiqadi: barqaror va beqaror to'plamning kesishishi. Ikkala to'plam ham o'zgarmas ta'rifi bo'yicha, ya'ni gomoklinik nuqtaning oldinga siljishi ham barqaror, ham beqaror to'plamda. N marta takrorlash orqali xarita muvozanat nuqtasiga barqaror to'plam orqali yaqinlashadi, ammo har bir takrorlanishda u beqaror manifoldda ham bo'ladi, bu bu xususiyatni ko'rsatadi.

Ushbu xususiyat gomoklinika punkti mavjudligi tufayli murakkab dinamikaning paydo bo'lishiga olib keladi. Darhaqiqat, Smale (1967)^[2] ushbu fikrlar olib borishini ko'rsatdi taqa xaritasi tartibsizlik bilan bog'liq bo'lgan dinamikaga o'xshaydi.

Simvolik dinamikasi

Yordamida Markov bo'limi, a-ning uzoq yillik xatti-harakati giperbolik tizim metodlari yordamida o'rganilishi mumkin ramziy dinamikasi. Bunday holda, gomoklinik orbit ayniqsa sodda va ravshan ko'rinishga ega. Aytaylik ${displaystyle S = {1,2, ldots, M}}$ a cheklangan to'plam ning M belgilar. Nuqtaning dinamikasi x keyin a bilan ifodalanadi ikki cheksiz mag'lubiyat ramzlar

{displaystyle sigma = {(ldots, s _ {- 1}, s_ {0}, s_ {1}, ldots): s_ {k} in S; forall kin mathbb {Z}}}

A davriy nuqta tizim shunchaki takrorlanadigan harflar ketma-ketligidir. A heteroklinik orbitasi keyin ikkita aniq davriy orbitaning birlashishi. Sifatida yozilishi mumkin

{displaystyle p ^ {omega} s_ {1} s_ {2} cdots s_ {n} q ^ {omega}}

qayerda ${displaystyle p = t_ {1} t_ {2} cdots t_ {k}}$ uzunlik belgilarining ketma-ketligi k, (albatta, ${displaystyle t_ {i} in S}$ ) va ${displaystyle q = r_ {1} r_ {2} cdots r_ {m}}$ uzunlik belgilarining yana bir ketma-ketligi m (xuddi shunday, ${displaystyle r_ {i} in S}$ ). Notation ${displaystyle p ^ {omega}}$ ning takrorlanishini anglatadi p cheksiz marta. Shunday qilib, geteroklinik orbitani bir davriy orbitadan boshqasiga o'tish deb tushunish mumkin. Aksincha, gomoklinik orbitani shunday yozish mumkin

{displaystyle p ^ {omega} s_ {1} s_ {2} cdots s_ {n} p ^ {omega}}

oraliq ketma-ketlik bilan ${displaystyle s_ {1} s_ {2} cdots s_ {n}}$ bo'sh bo'lmagan va, albatta, yo'q p, aks holda, orbit shunchaki bo'ladi ${displaystyle p ^ {omega}}$ .

Shuningdek qarang

Adabiyotlar

^ Ott, Edvard (1994). Dinamik tizimlardagi betartiblik. Kembrij universiteti matbuoti.
^ Smale, Stiven (1967). Differentsial dinamik tizimlar. Buqa. Amer. Matematika. Soc.73, 747-817.

Jon Gukkenxaymer va Filipp Xolms, Vektorli maydonlarning chiziqli bo'lmagan tebranishlari, dinamik tizimlari va bifurkatsiyalari (Amaliy matematika fanlari. 42-jild), Springer

Tashqi havolalar

Xenon xaritasida gomoklinika orbitalari Java dasturlari va sharhlari bilan

[1] Ott, Edvard (1994). Dinamik tizimlardagi betartiblik. Kembrij universiteti matbuoti.

[2] Smale, Stiven (1967). Differentsial dinamik tizimlar. Buqa. Amer. Matematika. Soc.73, 747-817.

[1]

[2]