Bir hil taqsimot - Homogeneous distribution

Ushbu maqolada a foydalanilgan adabiyotlar ro'yxati, tegishli o'qish yoki tashqi havolalar, ammo uning manbalari noma'lum bo'lib qolmoqda, chunki u etishmayapti satrda keltirilgan. Iltimos yordam bering takomillashtirish tomonidan ushbu maqola tanishtirish aniqroq iqtiboslar. (Avgust 2019) (Ushbu shablon xabarini qanday va qachon olib tashlashni bilib oling)

Yilda matematika, a bir hil taqsimot a tarqatish S kuni Evklid fazosi Rⁿ yoki Rⁿ \ {0} anavi bir hil ma'noda, taxminan aytganda,

${ displaystyle S (tx) = t ^ {m} S (x) ,}$

Barcha uchun t > 0.

Aniqrog'i, ruxsat bering ${ displaystyle mu _ {t}: x mapsto x / t}$ skalyar bo'linish operatori bo'ling Rⁿ. Tarqatish S kuni Rⁿ yoki Rⁿ \ {0} daraja bir hil m sharti bilan

${ displaystyle S [t ^ {- n} varphi circ mu _ {t}] = t ^ {m} S [ varphi]}$

barcha ijobiy real uchun t va barcha sinov funktsiyalari φ. Ning qo'shimcha omili t⁻ⁿ mahalliy integratsiyalashgan funktsiyalar uchun odatdagi bir xillik tushunchasini qayta ishlab chiqarish uchun kerak va Yakobiyan o'zgaruvchilari. Raqam m haqiqiy yoki murakkab bo'lishi mumkin.

Berilgan bir hil taqsimotni kengaytirish uchun ahamiyatsiz muammo bo'lishi mumkin Rⁿ {0} ga tarqatish kerak Rⁿ, garchi bu ko'plab texnikalar uchun zarur bo'lsa Furye tahlili, xususan Furye konvertatsiyasi, ko'tarish uchun. Bunday kengaytma ko'p hollarda mavjud, ammo u noyob bo'lmasligi mumkin.

Xususiyatlari

Agar S bir hil taqsimot Rⁿ A daraja {0}, keyin zaif birinchi qismli hosila ning S

${ displaystyle { frac { kısmi S} { qisman x_ {i}}}}$

a − 1 darajaga ega. Bundan tashqari, ning versiyasi Eylerning bir xil funktsiya teoremasi ushlab turadi: tarqatish S a darajadagi bir hil bo'ladi va agar shunday bo'lsa

${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} { frac { qismli S} { qisman x_ {i}}} = alfa S.}$

Bitta o'lchov

Bir o'lchovdagi bir hil taqsimotlarning to'liq tasnifi mumkin. Bir hil taqsimot R \ {0} har xil tomonidan berilgan quvvat funktsiyalari. Quvvat funktsiyalaridan tashqari, bir hil taqsimotlar R o'z ichiga oladi Dirac delta funktsiyasi va uning hosilalari.

Dirac delta funktsiyasi −1 darajadagi bir hil. Intuitiv ravishda,

${ displaystyle int _ { mathbb {R}} delta (tx) varphi (x) , dx = int _ { mathbb {R}} delta (y) varphi (y / t) , { frac {dy} {t}} = t ^ {- 1} varphi (0)}$

o'zgaruvchini o'zgartirish orqali y = tx "integral" da. Bundan tashqari, kdelta funktsiyasining zaif hosilasi δ^(k) daraja bir hil -k−1. Ushbu tarqatishlarning barchasi faqat kelib chiqish manbasidan iborat bo'lgan qo'llab-quvvatlashga ega: mahalliylashtirish tugagandan so'ng R \ {0}, bu taqsimotlarning barchasi bir xil nolga teng.

x^a
₊

Bir o'lchovda funktsiya

${ displaystyle x _ {+} ^ { alpha} = { begin {case} x ^ { alpha} & { text {if}} x> 0 0 & { text {aks holda}} end {case }}}$

mahalliy sifatida birlashtirilishi mumkin R \ {0} va shu bilan taqsimotni belgilaydi. Tarqatish a daraja bir hil. Xuddi shunday ${ displaystyle x _ {-} ^ { alfa} = (- x) _ {+} ^ { alfa}}$ va ${ displaystyle | x | ^ { alpha} = x _ {+} ^ { alpha} + x _ {-} ^ { alpha}}$ a darajasining bir hil taqsimotlari.

Biroq, ushbu taqsimotlarning har biri faqatgina barchasida mahalliy darajada birlashtirilishi mumkin R $ Re (a)> -1 $ bilan ta'minlangan. Ammo funktsiyasi bo'lsa ham ${ displaystyle x _ {+} ^ { alpha}}$ yuqoridagi formula bilan sodda tarzda aniqlangan Re a α-1, xaritalash uchun mahalliy darajada integral bo'la olmaydi

${ displaystyle alpha mapsto x _ {+} ^ { alpha}}$

a holomorfik funktsiya o'ng yarim tekislikdan to topologik vektor maydoni temperaturali taqsimotlar. Bu noyob narsani tan oladi meromorfik har bir salbiy butun sonda oddiy qutblar bilan kengaytma a = -1, -2, .... Olingan kengaytma a darajadagi bir hil bo'lib, a salbiy butun son bo'lmasligi sharti bilan, chunki bir tomondan munosabat

${ displaystyle x _ {+} ^ { alpha} [ varphi circ mu _ {t}] = t ^ { alpha +1} x _ {+} ^ { alpha} [ varphi]}$

tutadi va a> 0 da holomorfik bo'ladi. Boshqa tomondan, ikkala tomon ham a-ga meromorfik ravishda cho'ziladi va shuning uchun aniqlanish sohasi davomida teng bo'lib qoladi.

Ta'rif sohasi bo'ylab, x^a
₊ shuningdek quyidagi xususiyatlarni qondiradi:

• ${ displaystyle { frac {d} {dx}} x _ {+} ^ { alpha} = alfa x _ {+} ^ { alfa -1}}$
• ${ displaystyle xx _ {+} ^ { alpha} = x _ {+} ^ { alfa +1}}$

Boshqa kengaytmalar

Quvvat funktsiyalari ta'rifini bir hil taqsimotlarga etkazishning bir necha aniq usullari mavjud R salbiy butun sonlarda.

χ^a
₊

Ustunlar x^a
₊ salbiy butun sonlarni renormalizatsiya qilish yo'li bilan olib tashlash mumkin. Qo'y

${ displaystyle chi _ {+} ^ { alpha} = { frac {x _ {+} ^ { alpha}} { Gamma (1+ alpha)}}.}$

Bu butun funktsiya a ning Salbiy tamsayılarda,

${ displaystyle chi _ {+} ^ {- k} = delta ^ {(k-1)}.}$

Tarqatish ${ displaystyle chi _ {+} ^ {a}}$ xususiyatlarga ega

• ${ displaystyle { frac {d} {dx}} chi _ {+} ^ { alpha} = chi _ {+} ^ { alpha -1}}$
• ${ displaystyle x chi _ {+} ^ { alpha} = alfa chi _ {+} ^ { alfa +1}.}$

${ displaystyle { tagiga chizish {x}} ^ {k}}$

Ikkinchi yondashuv - tarqatishni aniqlash ${ displaystyle { pastki chizig'i {x}} ^ {- k}}$, uchun k = 1, 2, ...,

${ displaystyle { chizig'i {x}} ^ {- k} = { frac {(-1) ^ {k-1}} {(k-1)!}} { frac {d ^ {k}} {dx ^ {k}}} log | x |.}$

Bu kuch funktsiyalarining asl xususiyatlarini aniq saqlab qoladi:

• ${ displaystyle { frac {d} {dx}} { pastki chizig'i {x}} ^ {- k} = - k { pastki chizig'i {x}} ^ {- k-1}}$
• ${ displaystyle x { pastki chizig'i {x}} ^ {- k} = { pastki chizig'i {x}} ^ {- k + 1}, quad { text {if}} k> 1.}$

Ushbu taqsimotlar, shuningdek, ularning sinov funktsiyalariga ta'siri bilan tavsiflanadi

${ displaystyle { chizig'i {x}} ^ {- k} = int _ {- infty} ^ { infty} { frac { phi (x) - sum _ {j = 0} ^ {k -1} x ^ {j} phi ^ {(j)} (0) / j!} {X ^ {k}}} , dx,}$

va shuning uchun Koshining asosiy qiymati 1 / ning taqsimlanishix da paydo bo'lgan Hilbert o'zgarishi.

(x ± i0)^a

Boshqa bir hil taqsimot tarqatish chegarasi bilan berilgan

${ displaystyle (x + i0) ^ { alpha} = lim _ { epsilon downarrow 0} (x + i epsilon) ^ { alpha}.}$

Ya'ni, sinov funktsiyalari bo'yicha harakat qilish

${ displaystyle (x + i0) ^ { alpha} [ varphi] = lim _ { epsilon downarrow 0} int _ { mathbb {R}} (x + i epsilon) ^ { alpha} varphi (x) , dx.}$

Logaritma filiali yuqori yarim tekislikda bitta qiymatga ega bo'lishi va musbat real o'q bo'ylab tabiiy log bilan kelishish uchun tanlangan. Barcha funktsiyalar chegarasi sifatida, (x + i0)^a[φ] a ning butun funktsiyasi. Xuddi shunday,

${ displaystyle (x-i0) ^ { alpha} = lim _ { epsilon downarrow 0} (x-i epsilon) ^ { alpha}}$

shuningdek, barcha a uchun aniq belgilangan taqsimotdir

Re a> 0 bo'lganda,

${ displaystyle (x pm i0) ^ { alpha} = x _ {+} ^ { alpha} + e ^ { pm i pi alpha} x _ {-} ^ { alpha},}$

keyin a salbiy butun son bo'lmaganda analitik davom ettirish bilan davom etadi. Funktsional munosabatlarning doimiyligi bo'yicha,

${ displaystyle { frac {d} {dx}} (x pm i0) ^ { alpha} = alpha (x pm i0) ^ { alpha -1}.}$

Salbiy tamsayılarda identifikator (tarqatish darajasida) bo'ladi R \ {0})

${ displaystyle (x pm i0) ^ {- k} = x _ {+} ^ {- k} + (- 1) ^ {k} x _ {-} ^ {- k} pm pi i (-1) ) ^ {k} { frac { delta ^ {(k-1)}} {(k-1)!}},}$

va birliklar aniq belgilangan taqsimot berish uchun bekor qilinadi R. Ikki tarqatishning o'rtacha qiymati mos keladi ${ displaystyle { pastki chizig'i {x}} ^ {- k}}$:

${ displaystyle { frac {(x + i0) ^ {- k} + (x-i0) ^ {- k}} {2}} = { underline {x}} ^ {- k}.}$

Ikki taqsimotning farqi delta funktsiyasining ko'paytmasidir:

${ displaystyle (x + i0) ^ {- k} - (x-i0) ^ {- k} = 2 pi i (-1) ^ {k} { frac { delta ^ {(k-1) }} {(k-1)!}},}$

deb nomlanuvchi Plemelj sakrash munosabati.

Tasnifi

Quyidagi tasnif teoremasi (Gel'fand va Shilov 1966 yil, §3.11). Ruxsat bering S a darajadagi bir hil taqsimot bo'ling R \ {0}. Keyin ${ displaystyle S = ax _ {+} ^ { alpha} + bx _ {-} ^ { alpha}}$ ba'zi bir doimiy uchun a, b. Har qanday tarqatish S kuni R daraja bir hil a ≠ −1, ,2, ... ham shu shaklda. Natijada, darajaning har bir hil taqsimoti a ≠ −1, ,2, ... kuni R \ {0} ga kengayadi R.

Va nihoyat, darajani bir hil taqsimoti -k, salbiy butun son, kuni R barcha shakllar:

${ displaystyle a { pastki chizig'i {x}} ^ {- k} + b delta ^ {(k-1)}.}$

Yuqori o'lchamlar

Evklid fazosidagi bir hil taqsimotlar Rⁿ \ {0} kelib chiqishi o'chirilgan har doim formada bo'ladi

${ displaystyle S (x) = f (x / | x |) | x | ^ { lambda} ,}$

(1)

qayerda ƒ birlik sferasida taqsimlanishdir Sⁿ⁻¹. Bir hil taqsimot darajasi bo'lgan λ raqami S, haqiqiy yoki murakkab bo'lishi mumkin.

Shaklning har qanday bir hil taqsimoti (1) ustida Rⁿ \ {0} faqat bir hil taqsimotgacha tarqaladi Rⁿ taqdim etilgan Qayta λ> -n. Aslida, bir o'lchovli holatga o'xshash analitik davom etish argumenti buni hamma uchun kengaytiradi λ ≠ -n, −n−1, ....

Adabiyotlar

• Gel'fand, I.M .; Shilov, G.E. (1966), Umumlashtirilgan funktsiyalar, 1, Academic Press.
• Xormander, L. (1976), Lineer qisman differentsial operatorlar, 1-jild, Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-00662-6.
• Teylor, Maykl (1996), Qisman differentsial tenglamalar, vol. 1, Springer-Verlag.