Infrastruktura (sonlar nazariyasi) - Infrastructure (number theory)

Yilda matematika, an infratuzilma a guruh ichida ko'rinadigan tuzilishga o'xshaydi global maydonlar.

Tarixiy rivojlanish

1972 yilda, D. Shanks birinchi marta a infratuzilmasini kashf etdi haqiqiy kvadrat sonlar maydoni va uni qo'llagan go'dak qadami ulkan qadam hisoblash algoritmi regulyator bunday maydon ${ displaystyle { mathcal {O}} (D ^ {1/4 + varepsilon})}$ ikkilik operatsiyalar (har biri uchun ${ displaystyle varepsilon> 0}$), qaerda ${ displaystyle D}$ bo'ladi diskriminant kvadratik maydon; oldingi usullar talab qilinadi ${ displaystyle { mathcal {O}} (D ^ {1/2 + varepsilon})}$ ikkilik operatsiyalar.^[1] O'n yildan so'ng, H. V. Lenstra nashr etilgan^[2] haqiqiy kvadrat sonlar maydonining infratuzilmasini "doiraviy guruhlar" nuqtai nazaridan tavsiflovchi matematik ramka. Bu shuningdek, R. Shof tomonidan tasvirlangan^[3] va H. C. Uilyams,^[4] va keyinchalik H. C. Uilyams, G. V. Dyuk va B. K. Shmid tomonidan kengaytirilgan kub sonli maydonlar ning birlik darajasi bitta^[5][6] J. Buchmann va H. C. Uilyams tomonidan birlik darajasining barcha sonli maydonlariga.^[7] Uning ichida habilitatsiya tezisi, J. Buchmann bir qator maydon regulyatorini hisoblash uchun go'dak qadam gigant qadam algoritmini taqdim etdi o'zboshimchalik bilan birlik darajasi.^[8] Ixtiyoriy birlik darajasining sonli sohalarida infratuzilmalarning birinchi tavsifi R. Shof tomonidan berilgan Arakelov bo'linuvchilari 2008 yilda.^[9]

Infratuzilma boshqalari uchun ham tavsiflangan global maydonlar, ya'ni uchun algebraik funktsiya maydonlari ustida cheklangan maydonlar. Buni birinchi navbatda A. Shtayn va H. G. Zimmer real holatida amalga oshirdilar giperelliptik funktsiya maydonlari.^[10] U R. Sxaydler va A. Shteyn tomonidan birlik darajasining ma'lum kub funktsiyalari maydonlariga kengaytirildi.^[11][12] 1999 yilda S. Paulus va H.-G. Ruk haqiqiy kvadratik funktsiya maydonining infratuzilmasini bo'linuvchi sinf guruhiga bog'ladi.^[13] Ushbu ulanishni o'zboshimchalik bilan ishlaydigan maydonlarga va R. Shof natijalari bilan birlashganda barcha global maydonlarga umumlashtirish mumkin.^[14]

Bir o'lchovli ish

Xulosa ta'rifi

A bir o'lchovli (mavhum) infratuzilma ${ displaystyle (X, d)}$ dan iborat haqiqiy raqam ${ displaystyle R> 0}$, a cheklangan to'plam ${ displaystyle X neq emptyset}$ bilan birga in'ektsion xarita ${ displaystyle d: X to mathbb {R} / R mathbb {Z}}$.^[15] Xarita ${ displaystyle d}$ ko'pincha masofa xaritasi.

Tarjima qilish orqali ${ displaystyle mathbb {R} / R mathbb {Z}}$ kabi doira ning atrofi ${ displaystyle R}$ va aniqlash orqali ${ displaystyle X}$ bilan ${ displaystyle d (X)}$, bir o'lchovli infratuzilmani, uning ustida cheklangan nuqtalar to'plami bo'lgan aylana sifatida ko'rish mumkin.

Chaqaloq qadamlari

A go'dak qadami a bir martalik operatsiya ${ displaystyle bs: X to X}$ bir o'lchovli infratuzilma bo'yicha ${ displaystyle (X, d)}$. Infrastrukturani aylana shaklida tasavvur qilib, chaqaloq qadam har bir nuqtani belgilaydi ${ displaystyle d (X)}$ keyingisi. Rasmiy ravishda, buni tayinlash orqali aniqlash mumkin ${ displaystyle x in X}$ haqiqiy raqam ${ displaystyle f_ {x}: = inf {f '> 0 mid d (x) + f' in d (X) }}$; keyin aniqlash mumkin ${ displaystyle bs (x): = d ^ {- 1} (d (x) + f_ {x})}$.

Gigant qadamlar va qisqartirish xaritalari

Buni kuzatish ${ displaystyle mathbb {R} / R mathbb {Z}}$ tabiiy ravishda an abeliy guruhi, summani ko'rib chiqish mumkin ${ displaystyle d (x) + d (y) in mathbb {R} / R mathbb {Z}}$ uchun ${ displaystyle x, y in X}$. Umuman olganda, bu element emas ${ displaystyle d (X)}$. Ammo buning o'rniga, ning elementini olish mumkin ${ displaystyle d (X)}$ qaysi yolg'on yaqin. Ushbu kontseptsiyani rasmiylashtirish uchun xarita bor deb taxmin qiling ${ displaystyle red: mathbb {R} / R mathbb {Z} to X}$; keyin aniqlash mumkin ${ displaystyle gs (x, y): = qizil (d (x) + d (y))}$ olish uchun ikkilik operatsiya ${ displaystyle gs: X times X to X}$, deb nomlangan ulkan qadam operatsiya. Ushbu operatsiyani umuman olganda amalga oshirilishini unutmang emas assotsiativ.

Asosiy qiyinchilik xaritani qanday tanlashda ${ displaystyle red}$. Biror kishi bu shartga ega bo'lishni xohlaydi deb faraz qilsak ${ displaystyle red circ d = mathrm {id} _ {X}}$, bir qator imkoniyatlar qolmoqda. Mumkin bo'lgan bitta tanlov^[15] quyidagicha berilgan: uchun ${ displaystyle v in mathbb {R} / R mathbb {Z}}$, aniqlang ${ displaystyle f_ {v}: = inf {f geq 0 mid v-f in d (X) }}$; keyin birini aniqlash mumkin ${ displaystyle red (v): = d ^ {- 1} (v-f_ {v})}$. Ushbu tanlov, o'zboshimchalik bilan ko'rinadigan, global maydonlardan infratuzilmani olishga harakat qilganda tabiiy ravishda paydo bo'ladi.^[14] Boshqa tanlovlar ham mumkin, masalan, elementni tanlash ${ displaystyle x in d (X)}$ shu kabi ${ displaystyle | d (x) -v |}$ minimal (bu erda, ${ displaystyle | d (x) -v |}$ degan ma'noni anglatadi ${ displaystyle inf {| f-v | mid f in d (x) }}$, kabi ${ displaystyle d (x)}$ shakldadir ${ displaystyle v + R mathbb {Z}}$); haqiqiy kvadratik giperelliptik funktsiya maydonlari uchun mumkin bo'lgan bitta qurilish S. D. Galbraith, M. Harrison va D. J. Mireles Morales tomonidan berilgan.^[16]

Haqiqiy kvadratik maydonlar bilan bog'liqlik

D. Shanks kamaytirilgan tsikllarni ko'rib chiqayotganda infratuzilmani haqiqiy kvadratik sonlar maydonlarida kuzatgan ikkilik kvadratik shakllar. Ikkilik kvadratik shakllarni qisqartirish va ularning o'rtasida yaqin bog'liqlik borligini unutmang davom etgan kasr kengaytirish; ma'lum birining davomli fraksiya kengayishida bir qadam kvadratik irratsionallik beradi bir martalik operatsiya bitta ekvivalentlik sinfidagi barcha qisqartirilgan shakllar bo'ylab aylanadigan qisqartirilgan shakllar to'plamida. Ushbu barcha qisqartirilgan shakllarni tsiklda tartibga solib, Shank, aylananing boshidan uzoqlashib, qisqartirilgan shakllarga tezda o'tish mumkinligini payqadi. bastakorlik ikkita shunday shakl va natijani kamaytirish. U buni chaqirdi ikkilik operatsiya qisqartirilgan shakllar to'plamida a ulkan qadam, va tsikldagi keyingi qisqartirilgan shaklga o'tish uchun operatsiya go'dak qadami.

Bilan bog'liqlik ${ displaystyle mathbb {R} / R mathbb {Z}}$

To'plam ${ displaystyle mathbb {R} / R mathbb {Z}}$ tabiiy guruh operatsiyasiga ega va ulkan qadam operatsiyasi unga qarab belgilanadi. Demak, infratuzilmadagi arifmetikani in arifmetikasi bilan taqqoslash mantiqan to'g'ri keladi ${ displaystyle mathbb {R} / R mathbb {Z}}$. Guruh operatsiyasi ${ displaystyle mathbb {R} / R mathbb {Z}}$ elementlarini ifodalovchi ulkan qadamlar va bolalar qadamlari yordamida tasvirlash mumkin ${ displaystyle mathbb {R} / R mathbb {Z}}$ elementlari bo'yicha ${ displaystyle X}$ nisbatan kichik haqiqiy raqam bilan birgalikda; buni birinchi bo'lib D. Xyunlayn va S. Poluslar tasvirlab berishgan^[17] M. J. Jacobson, Jr., R. Scheidler va H. C. Williams^[18] haqiqiy kvadrat sonlar maydonlaridan olingan infratuzilmalar holatida. Haqiqiy sonlarni ko'rsatish uchun ular suzuvchi nuqta raqamlaridan foydalanganlar va bu vakilliklarni CRIAD-vakilliklarni resp deb atashgan. ${ displaystyle (f, p)}$- taqdimotlar. Umuman olganda, barcha bir o'lchovli infratuzilmalar uchun o'xshash kontseptsiyani aniqlash mumkin; ba'zan ularni chaqirishadi ${ displaystyle f}$- taqdimotlar.^[15]

A to'plami ${ displaystyle f}$- taqdimotlar pastki qismdir ${ displaystyle fRep}$ ning ${ displaystyle X times mathbb {R} / R mathbb {Z}}$ xarita shunday ${ displaystyle Psi _ {fRep}: fRep to mathbb {R} / R mathbb {Z}, ; (x, f) mapsto d (x) + f}$ bijection va bu ${ displaystyle (x, 0) in fRep}$ har bir kishi uchun ${ displaystyle x in X}$. Agar ${ displaystyle red: mathbb {R} / R mathbb {Z} to X}$ kamaytirish xaritasi, ${ displaystyle fRep_ {red}: = {(x, f) in X times mathbb {R} / R mathbb {Z} mid red (d (x) + f) = x }}$ to'plamidir ${ displaystyle f}$- taqdimotlar; aksincha, agar ${ displaystyle fRep}$ to'plamidir ${ displaystyle f}$-prezentatsiyalarni sozlash orqali qisqartirish xaritasini olish mumkin ${ displaystyle red (f) = pi _ {1} ( Psi _ {fRep} ^ {- 1} (f))}$, qayerda ${ displaystyle pi _ {1}: X times mathbb {R} / R mathbb {Z} to X, ; (x, f) mapsto x}$ $ X $ proektsiyasidir. Demak, to'plamlar ${ displaystyle f}$- taqdimotlar va qisqartirish xaritalari a birma-bir yozishmalar.

Ikkilanishdan foydalanish ${ displaystyle Psi _ {fRep}: fRep to mathbb {R} / R mathbb {Z}}$, guruh operatsiyasini tortib olish mumkin ${ displaystyle mathbb {R} / R mathbb {Z}}$ ga ${ displaystyle fRep}$, shuning uchun burilish ${ displaystyle fRep}$ abeliya guruhiga ${ displaystyle (fRep, +)}$ tomonidan ${ displaystyle x + y: = Psi _ {fRep} ^ {- 1} ( Psi _ {fRep} (x) + Psi _ {fRep} (y))}$, ${ displaystyle x, y in fRep}$. Ba'zi hollarda, ushbu guruh operatsiyasini ishlatmasdan aniq tavsiflash mumkin ${ displaystyle Psi _ {fRep}}$ va ${ displaystyle d}$.

Agar kichraytirish xaritasidan foydalanilsa ${ displaystyle red: mathbb {R} / R mathbb {Z} to X, ; v mapsto d ^ {- 1} (v- inf {f geq 0 mid vf in d ( X) })}$, biri oladi ${ displaystyle fRep_ {red} = {(x, f) mid f geq 0, ; forall f ' in [0, f): d (x) + f' not in d (X) }}$. Berilgan ${ displaystyle (x, f), (x ', f') fRep_ {red}} da$, o'ylab ko'rish mumkin ${ displaystyle (x '', f '')}$ bilan ${ displaystyle x '' = gs (x, x ')}$ va ${ displaystyle f '' = f + f '+ (d (x) + d (x') - d (gs (x, x '))) geq 0}$; umuman bu hech qanday element emas ${ displaystyle fRep_ {red}}$, lekin uni quyidagicha kamaytirish mumkin: biri hisoblaydi ${ displaystyle bs ^ {- 1} (x '')}$ va ${ displaystyle f '' - (d (x '') - d (bs ^ {- 1} (x '')))}$; agar ikkinchisi salbiy bo'lmasa, uni almashtiradi ${ displaystyle (x '', f '')}$ bilan ${ displaystyle (bs ^ {- 1} (x ''), f '' - (d (x '') - d (bs ^ {- 1} (x '')))}}$ va davom etmoqda. Agar qiymat salbiy bo'lsa, unda shunday narsa bor ${ displaystyle (x '', f '') fRep_ {red}} da$ va bu ${ displaystyle Psi _ {fRep_ {red}} (x, f) + Psi _ {fRep_ {red}} (x ', f') = Psi _ {fRep_ {red}} (x '', f '')}$, ya'ni ${ displaystyle (x, f) + (x ', f') = (x '', f '')}$.

Adabiyotlar