Klassik Wiener makoni uchun integral tasvirlash teoremasi - Integral representation theorem for classical Wiener space

Yilda matematika, mumtoz Wiener makoni uchun integral tasvirlash teoremasi maydonlaridagi natijadir o'lchov nazariyasi va stoxastik tahlil. Aslida, bu qanday parchalanishini ko'rsatadi funktsiya kuni klassik Wiener maydoni uning yig'indisiga kutilayotgan qiymat va Bu ajralmas.

Teorema bayoni

Ruxsat bering ${displaystyle C_ {0} ([0, T]; mathbb {R})}$ (yoki oddiygina) ${displaystyle C_ {0}}$ qisqacha) klassik Wiener o'lchovi bilan klassik Wiener maydoni bo'ling ${displaystyle gamma}$. Agar ${displaystyle Fin L ^ {2} (C_ {0}; mathbb {R})}$, unda noyob ITô integratsiya jarayoni mavjud ${displaystyle alfa ^ {F}: [0, T] imes C_ {0} o mathbb {R}}$ (ya'ni. ichida ${displaystyle L ^ {2} (B)}$, qayerda ${displaystyle B}$ kanonikdir Braun harakati ) shu kabi

${displaystyle F (sigma) = int _ {C_ {0}} F (p), mathrm {d} gamma (p) + int _ {0} ^ {T} alfa ^ {F} (sigma) _ {t} , mathrm {d} sigma _ {t}}$

uchun ${displaystyle gamma}$- deyarli barchasi ${C_da displaystyle sigma {0}}$.

Yuqorida,

• ${displaystyle int _ {C_ {0}} F (p), mathrm {d} gamma (p) = mathbb {E} [F]}$ kutilayotgan qiymati ${displaystyle F}$; va
• ajralmas ${displaystyle int _ {0} ^ {T} cdots, mathrm {d} sigma _ {t}}$ Itô integralidir.

Integral vakillik teoremasining isboti quyidagilarni talab qiladi Klark-Ocon teoremasi dan Malliavin hisobi.

Xulosa: ixtiyoriy ehtimollik maydoni uchun integral tasvir

Ruxsat bering ${displaystyle (Omega, {mathcal {F}}, mathbb {P})}$ bo'lishi a ehtimollik maydoni. Ruxsat bering ${displaystyle B: [0, T] imes Omega o mathbb {R}}$ bo'lishi a Braun harakati (ya'ni a stoxastik jarayon kimning qonuni Wiener o'lchovi ). Ruxsat bering ${displaystyle {{mathcal {F}} _ {t} | 0leq tleq T}}$ tabiiy bo'lish filtrlash ning ${displaystyle {mathcal {F}}}$ Braun harakati bilan ${displaystyle B}$:

${displaystyle {mathcal {F}} _ {t} = sigma {B_ {s} ^ {- 1} (A) | Ain mathrm {Borel} (mathbb {R}), 0leq sleq t}.}$

Aytaylik ${displaystyle fin L ^ {2} (Omega; mathbb {R})}$ bu ${displaystyle {mathcal {F}} _ {T}}$- o'lchovli. Keyin noyob Itôe integratsiyalashadigan jarayon mavjud ${displaystyle a ^ {f} L ^ {2} (B)} da$ shu kabi

${displaystyle f = mathbb {E} [f] + int _ {0} ^ {T} a_ {t} ^ {f}, mathrm {d} B_ {t}}$ ${displaystyle mathbb {P}}$- deyarli aniq.

Adabiyotlar

• Mao Xuerong. Stoxastik differentsial tenglamalar va ularning qo'llanilishi. Chichester: Xorvud. (1997)